人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_提高(1)

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】要点一、几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D的测度的测度.说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二、均匀随机数的产生 1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数. (3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数. 【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率 ？【思路点拨】以两班车出发间隔( 0，10 )区间作为样本空间 S ，乘客随机地到达，即在这个长度是10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题.【答案】0.3【解析】 记“等车时间不超过3分钟”为事件a ，要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中a 包含的样本点，P=的长度的长度S a =103= 0.3 .【总结升华】在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0，60]上的均匀分布，X 为[0，60]上的均匀随机数. 举一反三：【变式1】 某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10 min 的概率． 【答案】13【解析】 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T=5，T 2T=10，如图所示．记“等车时间大于10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5． ∴11251()153T T P A T T ===的长度的长度．即乘客等车时间大于10 min 的概率是13． 0← S →10【变式2】在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率为（ ）． A ．14 B ．12 C ．34 D ．23【答案】C【变式3】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 【答案】16【解析】 因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．于是，设A={等待报时的时间不多于10分钟}．事件A 是打开收音机的时刻位于50～60的时间段内，因此由几何概型求概率的公式得60501()606P A -==． 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16．类型二：与面积有关的几何概型问题 【几何概型 例4】例2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率． 【思路点拨】两人不论谁先到最多只等40分钟，设两人到的时间分别为x 、y ，则当且仅当2||3x y -≤时，两人才能见面，所以此问题转化为面积性几何概型问题。

【答案】89【解析】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当两人到达约见地点所有时刻(x ，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为：【总结升华】 此类问题的难点是把两个时间分别用x ，y 表示，构成平面内的点（x ，y ），从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，从而转化成面积型几何概率问题．举一反三： 【变式1】 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．M2211()8319S P S -===阴影单位正方形【答案】a ra- 【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是[0,]a ，只有当r OM a <≤时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是 (,]()[0,]r a P A a =的长度的长度=ara -【变式2】甲、乙两人相约上午10点到1l 点在某地会面，先到者等候另一人15分钟，过时就离去，那么这两个人见面的机会多大？ 【答案】716【解析】两个人要想见面，一个人先到达后必须等待一段时间，设x ，y 分别表示甲、乙到达会面地点的时间，若甲先到需等15分钟，若乙先到也需等15分钟，两个人能见面必须满足|x －y|≤15．由于每个人到达地点的时间是任意的，所以在边长为60的正方形内的每一点都是等可能的，所求问题就转化为面积型的几何概型．如图，能见面的点的区域用阴影表示．记“两个人见面”为事件A ，根据几何概型。

得22260457()6016P A -==． 所以两个人见面的机会是716． 【变式3】（2015 贵州遵义一模）已知二次函数2()41(0)f x ax bx a =-+≠． （1）若a =1，b ∈[－1，1]，求函数y =f （x ）在[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设（a ，b ）是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数y =f （x ）在[1，+∞）上的增函数的概率．【思路点拨】（1）求出函数y =f （x ）在[1，+∞）上是增函数的b 的范围，利用区域长度比求概率． （2）画出区域，求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率． 【答案】（1）34；（2）13【解析】函数y =f （x ）在[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且21ba≤，即a ＞0且a ≥2b ； （1）因为a =1，则12b ≤时，函数f （x ）为增函数 所以函数y =f （x ）在[1，+∞）上是增函数的概率1(1)321(1)4p --==--； （2）由（1）知当且仅当a ≥2b ，且a ＞0时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1，+∞）上为增函数，依条件可知实验的全部结果所构成的区域为不等式组所表示的平面区域． 构成所求事件的区域为图中的阴影部分．由802a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，得交点的坐标为168(,)33，故所求事件的概率为18812313882p ⨯⨯==⨯⨯． 类型三：与体积有关的几何概型问题例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，在正方体内随机取点M ． （1）求M 落在三棱柱ABC —A 1B 1C 1内的概率； （2）求M 落在三棱锥B —A 1B 1C 1内的概率； （3）求M 与面ABCD 的距离大于3a的概率； （4）求M 与面ABCD 及面A 1B 1C 1D 1的距离都大于3a的概率； （5）求使四棱锥M —ABCD 的体积小于316a 的概率． 【思路点拨】此题是几何概型问题，求各部分的体积比即可。

【答案】（1）12（2）16（3）23（4）13（5）12【解析】正方体的体积为V=a 3．（1）∵231122V a a a =⋅=三棱柱，∴所求概率112P =． （2）∵11231111113326A BB V S B C a a a ∆=⋅⋅=⋅⋅=三棱锥，∴所求概率216P =．（3）3233a a P a -==． （4）41333a a a P a --==． （5）设M 到面ABCD 的距离为h ，则31136M ABCD ABCD V S h a -=⋅=底面，而2ABCD S a =底面，∴12h =．∴51122aP a ==． 【总结升华】 求体积时要注意选择适当的底，以使计算方便，本题综合考查了立体几何的体积计算及几何概型的计算．举一反三：【变式1】已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于2h的概率． 【答案】78【解析】如图，在SA 、SB 、SC 上取点A 1、B 1、C 1，使A 1、B 1、C 1分别为SA 、SB 、SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M到底面的距离小于2h ． 设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为4S ． 由题意，三棱锥S —ABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1—ABC 的体积为1117334438S h Sh Sh -⨯⨯=⨯．∴78P =． 【变式2】在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大.【答案】12【解析】设O 到三点的三线段长分别为x ，y ，z ，即相应的右端点坐标为x ，y ，z ，显然0,,1x y z ≤≤，这三条线段构成三角形的充要条件是：x z y y z x z y x >+>+>+,,.在线段[0，1]上任意投三点x ，y ，z 与立方体 10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z 中的点),,(z y x 一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x 边长为1的立方体T 中均匀地掷点，而点落在,,x y z x z y y z x +>+>+>区域中的概率；这也就是落在图中由△ADC ，△ADB ，△BDC ，△AOC ，△AOB ，△BOC 所围成的区域G 中的概率.由于,1)(=T V33111()131322V G =-⨯⨯⨯=，()1()2V G p V T ∴== 由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大. 类型四：几何概型问题在实际中的应用 例4．（2015 成都武侯区模拟）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X 表示．（1）若x =8，求乙组同学植树的棵数的平均数；（2）若x =9，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；（3）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面．一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半到8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率．【思路点拨】（1）直接根据平均数、方差、标准差的定义求出乙组同学植树棵数的平均数和标准差． （2）当X =9时，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，而这两名同学的植树总棵数为19的情况有2+2=4种，由此求得两名同学的植树总棵树为19的概率．（3）由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x ，y ）｜7≤x ≤8，7.5≤y ≤8}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A ={（x ，y ）｜7≤x ≤8，7.5≤y ≤8，10||60x y -≤}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解析】（1）135(88910)44x =+++=（2）当x =9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11，乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共4×4=16种可能， 其中满足这两名同学的植树总棵数为19的情况有2+2=4种， 这两名同学的植树总棵数为19的概率等于41164= （3）由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x ，y ）｜7≤x ≤8，7.5≤y ≤8} 事件对应的集合表示的面积是s =0.5，满足条件的事件是A ={（x ，y ）｜7≤x ≤8，7.5≤y ≤8，10||60x y -≤} 事件对应的集合表示的面积是39128， ∴他们在车站会面的概率为3964【总结升华】本题主要考查等可能事件的概率，茎叶图、平均数，几何概型问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结算．举一反三：【变式1】甲和乙都为货运公司工作，由于工作需要，他们都使用对讲机.他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：0O 时甲正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而乙在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？【答案】0.41【解析】设x 和y 分别代表甲和乙距基地的距离，于是400,300≤≤≤≤y x则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y)，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表甲和乙的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式2522≤+y x 的数对组成，此不等式等价于62522≤+y x右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方公里，而事件的面积为()462525412ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛，于是有625625240.411200480090p ππ====.类型五：用随机模拟的方法求几何概型问题的概率例5．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x －3y －4=0和正方形围成． 【解析】记事件A={飞镖落在阴影部分}．（1）用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x 1=RAND ，y 1=RAND ． （2）经过平移和伸缩变换，x=(x 1－0.5)*2，y=(y 1－0.5)*2得到两组[－1，1]上的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 及落在阴影部分的点数N 1[满足6x －3y －4＞0的点（x ，y ）的个数]． （4）计算频率()n f A =1N N即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值． 举一反三：【变式1】用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计π的近似值. 【解析】(1)利用计算机产生两组[]10，上的均匀随机数，RAND b RAND a ==11,. (2)进行平移和伸缩变换，()25.0,2)5.0(11*-=*-b b a ，得到两组[]1,1-上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数1N ）数）的点（（满足b a b a ,122≤+.(4)计算频率NN 1即为点落在圆内的概率近似值. (5)设圆面积为S ，则由几何概率公式得4S P =. ∴N N S 14≈，则N N S 14≈即为圆面积的近似值.又∵2S r ππ==圆.∴NN S 14≈=π即为圆周围率π的近似值.。