图形的互补的概念和特征
专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(解析版)
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。
结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。
4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。
例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是 ；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
6_3余角、补角1
天王中学七年级数学教学案2022-8-7 第（）份主备人：李兰备课组长签名审核人签名内容：6.3余角、补角、对顶角1 课型：新授班级学生姓名: 执教人签名：【学习目标】1、理解互余、互补的概念，熟练掌握余角、补角的性质。
2、能准确地画出图形，掌握角的关系的应用。
3、树立严谨科学的学习态度，培养说理论证的水平，会实行图形语言和符号语言的相互转化。
【重点难点】互余、互补的概念，余角、补角的性质及应用。
【课前预习】1、互为余角的概念：假如 ,这两个角叫做互为余角.简称互余.其中一个角叫做另一个角的余角.2、互为补角的概念：假如 ,这两个角叫做互为补角.简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角.3、填表【合作探究】1、小组同学用相同的三角尺拼图。
（要求：用三角尺的两个不同锐角组成直角）2、将自己准备好的长方形纸片沿一条直线剪开。
∠α的度数∠α的余角∠α的补角5045120(0＜n＜90)n2【例题教学】 1、如图，（1）假如∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？ （2）假如∠1与∠ 2互补， ∠1与∠3互补，那么∠2与∠3相等吗？为什么？想一想1.如图，假如∠1与∠ 2互余， ∠ 3 与∠4互余， ∠1 =∠ 3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？2.如图，假如∠1与∠ 2互补， ∠ 3与∠4互补， ∠1 =∠ 3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？例2、如图， ∠AOB= ∠COD=90 °，则∠BOC 与∠AOD 有怎样的大小关系？为什么？例3、如图,∠AOC 和∠BOD 都是直角,假如∠AOB=140◦ 求∠DOC 的度数。
j43214321O D CB AODCBA【课堂检测】 1、判断：（1）假如两个角相等，则它们的补角相等。
（ ） （2）90°的角叫余角，180°的角叫补角。
（ ） （3）假如∠1+ ∠ 2 +∠3=180 ° ，那么∠1、 ∠ 2与∠3互补。
互补角鸟头模基本公式
互补角鸟头模基本公式一、互补角的概念。
1. 定义。
- 如果两个角的和为180^∘，那么这两个角互为补角。
例如，∠ A = 30^∘，∠ B = 150^∘，因为∠ A+∠ B = 30^∘+150^∘=180^∘，所以∠ A和∠ B互为补角。
二、鸟头模型。
1. 鸟头模型的基本图形。
- 鸟头模型是一种在三角形中常见的比例关系模型。
它由两个三角形组成，这两个三角形有一个公共角。
- 例如，在ABC和ADE中，∠ A是公共角。
2. 鸟头模型基本公式（共角定理）- 对于ABC和ADE，若∠ A=∠ A（公共角），则frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(AD× AE)/(AB× AC)。
- 证明（以人教版相似三角形知识为基础）：- 过D作DF∥ BC交AC于F。
- 因为DF∥ BC，所以ADFsim ABC，则(AD)/(AB)=(AF)/(AC)。
- 又因为∠ A=∠ A，∠ AED=∠ ACB（平行得同位角相等），所以ADEsim ABC。
- 设(AD)/(AB) = k_1，(AE)/(AC)=k_2，则S_ ADE=(1)/(2)AD× AE×sin A，S_ ABC=(1)/(2)AB× AC×sin A。
- 所以frac{S_ ADE}{S_ ABC}=(frac{1)/(2)AD× AE×sin A}{(1)/(2)AB×AC×sin A}=(AD× AE)/(AB× AC)。
这里并没有专门针对互补角与鸟头模型结合的特殊公式，如果在具体题目中有涉及互补角的鸟头模型问题，可能是在利用鸟头模型计算面积比例时，三角形的角之间存在互补关系，进而利用互补角的三角函数值关系（如sinα=sin(180^∘-α)）等知识来辅助解题。
对角互补+角相等模型
对角互补+角相等模型
简介
对角互补+角相等模型是一种几何模型，是视觉化和图形理解
的工具。
该模型可以帮助学生理解并解答几何问题，尤其是关于角
度的问题。
它基于两个主要概念：对角线互补和角相等。
对角线互补
当两条直线穿过一个点时，它们形成了四个角。
如果这两条直
线是对角线，则四个角是对角互补的。
这意味着它们可以分成两对，每一对的角度和为180度。
角相等
如果两个角是相等的，则它们具有相同的度数。
这意味着它们
可以互换，并且对于解答几何问题非常有用。
如何使用对角互补+角相等模型
步骤1
首先，需要在图形中找到对角线并确定它们是互补的。
步骤2
接下来，需要在图形中找到相同的角度，并使用角相等概念将它们匹配。
如果两个角相等，它们可以互换。
步骤3
使用这些相等的角度来建立方程式，并解决问题。
结论
对角互补+角相等模型是一种非常有用的几何工具，可以帮助学生解答几何问题。
理解这些概念并掌握这种模型可以提高几何学习成绩，并帮助学生在以后的数学和科学研究中受益。
人教版初中七年级上册数学《余角、补角的概念和性质》教案
教学目标知识与技能:1理解余角、补角的概念。
2理解掌握余角和补角的性质;3让学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述。
过程与方法:1经历观察、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,培养学生的推理能力和有条理的表达能力;2求某角的度数,使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理图形的数量关系。
情感态度价值观:1类比余角的概念,同桌合作,自主探索补角的概念及特点的过程中,培养学生合作探究精神。
2体验数学知识的发生、发展过程,敢于面对数学活动中的困难,建立学好数学的自信心。
2学情分析1、从心理特征来说,初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展,观察能力,记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时,这一阶段的学生好动,注意力易分散,易发表见解,希望得到老师的表扬,所以在教学中应抓住这些特点,一方面运用直观生动的图象,引发学生的兴趣,使他们的注意力始集中在课堂上;另一方面,要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性。
2、从认知状况来说,学生在此之前已经学习了线段、射线、直线和角的相关知识及表示方法,,对角已经有了初步的认识,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,但对于余角、补角的概念及性质的理解,学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明白,深入浅出的分析。
3重点难点1.互余、互补的概念及其性质.2.图形语言和符号语言之间的相互转化.4教学过程4.1 第3学时4.1.1教学目标知识与技能:1理解余角、补角的概念。
2理解掌握余角和补角的性质;3让学生初步接触和体会归纳演绎推理的方法和表述。
过程与方法:1经历观察、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,培养学生的推理能力和有条理的表达能力; 2求某角的度数,使学生初步会用简单的代数思想一方程来处理图形的数量关系。
情感态度价值观:1类比余角的概念,同桌合作,自主探索补角的概念及特点的过程中,培养学生合作探究精神。
2体验数学知识的发生、发展过程,敢于面对数学活动中的困难,建立学好数学的自信心。
人教版七年级上册数学4.3.3余角、补角的概念与性质教案
4.3.3 余角和补角教学目标1．知识与技能（1）在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角.（2）．掌握余角和补角的性质．2．过程与方法进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想．3．情感态度与价值观体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益．教学重点：认识角的互余、互补关系及其性质.教学难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质．关键：了解推理的意义和推理过程，是掌握性质的关键．教具准备：三角板、多媒体设备．教学过程一、引入新课1．（图片引入）比萨斜塔，从数学角度来看比萨斜塔最奇特的地方在于本应于地面垂直的塔身变倾斜了，图中的∠1与∠2有什么关系？二、新授1. 在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？学生活动：独立思考，小组交流，得出结论：都是90°．板书：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
2．观察图形，类比互余，得出互补的概念．如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
3.问题讨论问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题2：若∠1+∠2+∠3 =180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？问题3：互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？小结：互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。
互余、互补概念中的角是成对出现的。
三、试炼考验试炼1:：余角与补角．试炼2：例1：一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？教师活动：巡视学生完成练习的情况，并给予适当的评价．四、余角与补角的性质．1. 利用三角尺,只画一条线，画出∠1的余角同角的余角相等∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°∴∠2=∠32. 已知∠1与∠2互为余角,∠3与∠4互为余角,若∠1=∠3则∠2与∠4是什么关系?等角的余角相等∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余又∵∠1=∠3∴∠2=∠4 同（等）角的余角相等3. 师生互动：类比余角的性质，得出补角的性质：同（等）角的补角相等五、挑战大挑战1.如图，直线CD经过点O，且OC平分∠AOB。
余角和补角说明
余角和补角
教学目标
知识与技能
了解余角和补角的定义和性质，并能熟练应用
过程与方法
经历观察、操作、推理等活动，发展学生想象能力，培养学生推理能力和有条理的表达能力.
情感、态度与价值观：
体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的自信心.
教学重点：
理解互余、互补等概念并熟练应用
教学难点：
互余、互补等概念和性质，解题方法特殊与一般的关系及类比、几何代数化.
教学过程：
一、情景导入
问题1生活中的量墙角
问题2 比萨斜塔与角的猜想？
问题3 长方形与分割角的关系猜想？
二、新课概念及性质
1. 就说这两个角互为余角，
就说这两个角互为补角。
2.补角的性质：
余角的性质：
设计意图：
通过学生问题猜想，归纳出互为余角、互为补角的定义，加深对互余、互补的理解。
注意事项：
（1）钝角没有余角。
（2）余角与补角只与度数有关，与位置无关。
余角与补角指两个角的关系，是成对出现的，单独一个角是不能称其为余角或补角。
三、例题讲解及练习：知识的灵活运用及对图形、文字、符号的深入理解。
四、课堂检测：快速建立收获感，为课堂学习力加分。
五、课堂小结
1.本节主要学习了余角、补角的概念以及余角、补角的性质。
2.主要用到的思想是数形结合的思想、较难题目还需要特殊与一般及类比思想。
3.余角、补角的概念是从数和形两个角度进行描述的。
数学人教版七年级上册4.3.3余角和补角的概念和性质
《余角和补角》的教学设计【教材】人教版4.3角【课时安排】第1课时【教学对象】初一学生【授课教师】台山市越华中学高立琼【教材分析】这是人教版七年级上册第四章第三节第三课的内容，是研究余角、补角概念以及相关性质的一节课。
第四章《图形认识初步》是学生平面几何的基础入门课，这一课为以后论证角的相等打下了良好的基础，也为培养和发展学生的思维能力、观察分析能力、演绎归纳能力打下了坚实的基础。
【教材目标】1、知识目标了解余角和补角的概念，知道余角和补角的性质，能运用他们进行简单的说理，并能解决简单的实际问题。
2、能力目标经历观察、操作、说理、交流等活动，发展空间观念，初步形成有条理的几何推理以及表达能力。
能运用类比等数学方法研究问题，能运用方程思想解决几何问题。
3、情感目标体验数学知识的发生、发展的过程，参与到研究探索过程中，有目的的思考与表达，大胆发言，及时的鼓励表扬，激发学习兴趣，敢于面对数学中遇到的困难，建立学好数学的自信心。
【教材重、难点】教学重点：余角和补角的概念与性质。
教学难点：通过“观察、操作、猜想、探索”的过程，研究余角的性质，运用性质进行有条理的说理。
【学情分析】几何基础知识小学里已经初步接触，本节课是在认识直角、平角的基础上，进行角的和差倍分，比较角的大小后，通过数量关系和图形关系学习两角互余、互补的概念和性质。
七年级学生逻辑思维能力，抽象能力，几何表达能力都还比较弱，必须借助于形象思维。
【教法、学法】教法：在活动中教师着眼于“引”，尽力激发学生求知的欲望，引导学生自主探索、自主归纳，教学过程中最重要的是传授给他们数学意识、数学思维和研究方法。
因此本节课的教学中，力图让学生了解知识的形成和应用过程，让学生感知数学来源于生活又应用于生活。
学法：学生在活动中，着眼于“探”，根据学法指导自主性原则和差异性原则，让学生在观察、操作、猜想、探索、归纳、应用中，自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程。
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图形的互补的概念和特征
图形的互补是指在几何学中，两个图形互为互补当且仅当它们的和为一个完整图形。
互补图形可以是点、线、面或立体。
在不同的几何图形中，互补图形的特征也有所不同。
首先，点和线的互补是指一个点和线段的两个端点之间的线段。
例如，在一个直角三角形中，直角顶点对应于斜边中点的直角顶点是互补点。
在同样的直角三角形中，三条边的互补线段即是三角形的三个边。
其次，线和线的互补是指两条相交线段所形成的全部线。
例如，在平行线中，对应于交点的两条直线是互补线。
再次，线和面的互补是指相交线和相交面所形成的全部平面。
例如，在空间中两条相交的线与这两条线的交点所构成的平面是互补平面。
最后，面和面的互补是指相加之后形成的一个完整图形。
例如，在立方体中，相邻的面上的互补面加起来形成一个完整的立方体。
互补图形的特征有以下几点：
首先，互补图形之间存在某种关系，使它们之间的和为一个完整的图形。
这种关系可以是相交、并列、嵌套或其他。
其次，互补图形一定共享某些特征。
例如，在平行四边形中，对角线是互补的，而且两条对角线的长度相等。
再次，互补图形的特征可能是对称的。
例如，在对称图形中，互补图形可能是相互对称的，即一个图形是另一个图形的镜像。
最后，互补图形之间的关系往往是相互依存的。
例如，在一个正方形中，对边是互补的，也就是说每条边都依赖于它的对边。
总之，图形的互补是指两个图形之间的关系，使它们的和为一个完整的图形。
不同类型的互补图形具有不同的特征和属性。
通过理解互补图形的概念和特征，我们可以更好地研究和应用几何学。