内蒙古2021届高三数学11月月考试题 文

2021届高三数学11月月考试题 文第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

)1.已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B A （ ） A. {|24}x x <≤ B. ,3,4}2{ C. }4{3， D. }2|{>x x2.若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3.在区间[]1,1-上随机选取一个实数 x ,则事件“210x -< ”的概率为( ) A.12 B. 34 C. 23 D. 144.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若a ＝6，b ＝3，B ＝60°，则A =（ ） A ．45° B ．45°或135 C ．135° D ．60°或120°5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．x y 1=B ．1y x x =+C ．tan y x =D ． xxy +-=11lg 6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =.，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 7.函数1()()cos (,0)f x x x x x xππ=--≤≤≠的图象可能为( )8.已知点F 是双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点(1,3)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为( )A. 5B. 9C. 13D. 358+9.已知函数()f x 满足()01f =，且()()'cos sin f x x f x x >，则不等式()cos 10f x x ->的解集为（ ） A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. (),0-∞D. ()0,+∞10.已知点A ，B ，C 在圆x 2+y 2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为(2，0)，则PA PB PC ++的最大值为( )A. 6B.7C.8D.911.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成轨迹的长度为( ) A.82π+B.8+πC.12+2πD.12+π 12. 数列{}n a 的通项22(cossin)33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S =（ ）A.15B.465C.-465D.-600第Ⅱ卷二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为______．14.设→→b a ,是互相垂直的单位向量，且）（）（→→→→+⊥+b a b a 2λ，则实数λ的值是______． 15.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为______．16. 已知点(0,2)A ，抛物线21:(0)C y ax a =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若:1:5FM MN =，则a 的值等于________．三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

）17 ,（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，23a b +=.（1）求()cos αβ-的值； （2）若02πα<<，2πβπ<<，且4sin 5β=，求sin α的值. 18,（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点． （1）求证：PC AD ⊥； （2）求点D 到平面PAM 的距离.20.（本小题满分12分）已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y =-，求()f x 的单调区间； （2）若0x >时，()()2f x f x x '<恒成立，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．（1）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值；请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． [选修4-4：坐标系与参数方程]22、 （本小题满分10分） 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点M 的极坐标为(4,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为3π，圆C 以M 为圆心，4为半径。

（1）求直线l 关于t 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 与圆C 的位置关系。

[选修4-5：不等式选讲]23、（本小题满分10分） 已知函数()2log (12)f x x x m =++-- （1）当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集为R ，求m 的取值范围。

答案C D B A D A D CD B B A 13.20 14.-2 15.94 16.632 17（1）由1a =，1b =，()cos cos sin sin cos a b αβαβαβ⋅=+=-， 有()2224222cos 3a b a a b b αβ+=+⋅+=+-=，得()1cos 3αβ-=-. （2）∵2πβπ<<，4sin 5β=，∴3cos 5β=-， ∵02πα<<，2ππβ-<-<-，∴0παβ-<-<，又∵()cos 0αβ-<，故2ππαβ-<-<-，∴()2122sin 133αβ⎛⎫-=---=- ⎪⎝⎭，∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦22314624353515-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18(Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又10a >，故12,1q a == 12n n a -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ()()1111111411414...41 (22442114)441314nn n n n n n T n n n -----⎛⎫=++++++++=++=-++ ⎪-⎝⎭-19．解：（1）：取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥，又,OCOP O OC =⊂平面,POC OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC AD ⊥． ．．．．．．．．．．．5分（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，由（1）可知PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ABC -的体高．在Rt POC ∆中，3,6PO OC PC ===，在PAC ∆中2,6PA AC PC ===，边PC 上的高22102AM PA PM =-=，所以PAC ∆的面积11101562222PAC S PC AM ∆==⨯⨯=，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC P ACD V V --=得，1133PAC ACD S h S PO ∆∆=，又23234ACD S ∆=⨯=，，解得2155h =，所以点D 到平面PAM 的距离为215520．（1） 由已知得1()(1)f x ax a x'=+-+，则(1)0f '=， 而(1)ln1(1)122a a f a =+-+=--，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为12ay =--．则122a--=-，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2那么21()ln 3,()23f x x x x f x x x'=+-=+-，由21231()230x x f x x x x -+'=+-=>，得102x <<或1x >，因则()f x 的单调递增区间为1(0,)2与(1,)+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由1()230f x x x '=+-<，得112x <<，因而()f x 的单调递减区间为1(,1)2．．．．．．．．．．6分（2）若()()2f x f x x '<，得ln 11(1)2222x a ax a x a x x ++-+<+-， 即ln 1122x a x x +-<在区间(0,)+∞上恒成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设ln 1()2x h x x x =-，则2221ln 132ln ()22x x h x x x x--'=+=，由()0h x '>，得320x e <<，因而()h x 在32(0,)e 上单调递增，由()0h x '<，得32x e >，因而()h x 在32(,)e +∞上单调递减 ． ．．．．．．．10分 所以()h x 的最大值为32()h e ，因而3212a e -+>，从而实数a 的取值范围为32|21a a e -⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．．．．12分21．解：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即22016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为22(22)(22)8x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k -=+，化简得20122088y k k x -=-，因为点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141282x k k x -==--． 22. 解：（1）直线l 的参数方程为112352x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数）， （3分） 圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=． （5分） （2）因为M (4，π2 )对应的直角坐标为（0，4），直线l 的普通方程为3530x y ---=， ∴圆心到直线l 的距离|0453|935231d ---+==>+， 所以直线l 与圆C 相离． （10分）23．解：（I ）由题设知：|x+1|+|x ﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤-72121x x x ，或⎩⎨⎧>+----<7211x x x 解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）； ----------------（5分） （II ）不等式f （x ）≥2即|x+1|+|x ﹣2|≥m+4，∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3， 不等式|x+1|+|x ﹣2|≥m+4解集是R ，∴ m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。