22.2二次根式的乘除(第二课时)教案
22 . 2二次根式的乘除
第2课时
教学内容
ya =匡(a> 0, b>0
),反过来
f
a = Va
(a> 0, b>0)及利用它们进行计算和化简.
b b
. b
教学目标
理解
.a=
a (a>0, b>0)和 a = a
(a>0, b>0)及利用它们进行运算.
利用具体数据，通过学生练习活动， 发现规律，归纳出除法规定， 并用逆向思维写出逆
向等式及利用它们进行计算和化简.
教学重难点关键
1 .重点：理解__a = a (a>0, b>0), a「=、a (a>0, b>0
)及利用它们进行计算
和化简.
2
•难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.
教学方法三疑三探
教学过程
、设疑自探一一解疑合探
自探1.(学生活动)请同学们完成下列各题:
1
.填空
每组推荐一名学生上台阐述运算结果.(老师点评)
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我 们进行合探：
二次根式的除法规定：
一般地，对二次根式的除法规定：
F
面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.
,
(2)
3
=—
,(4)
、
7
.8
规律:
—2——鳥；鳥；
(
2) _ 16] =
(
4) -3T =
J81
规律:
.36"
、
81
反过来,
合探1.计算：(1 )
^12
43
分析：上面4小题利用
'
9
= (a>0, b>0
)便可直接得出答案.
合探2.化简:
64b2
169y2
9
=空
9
(a>0, b>0)就可以达到化简之目的.
b .b
三、 质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问与同伴交流一下!
四、 应用拓展
_9_x，且x为偶数，求(1+x
) —5x—4的值.
—X—6 '■ x2 1
因此得到9-x > 0且x-6> 0,即6
本节课要掌握
=
9 (a> 0, b>0)和 9
= 9 (a> 0, b>0
)及其运用.
& ¥ b V b
点
六、 作业设计 一、选择题
1 .计算、J 2 <
1
2
的结果是().
A .—.5 B 2 C
.、.2 D .丄
7 7 ~7~
2.阅读下列运算过程： 1_ _ _
、
3 3 .3
().A . 2 B . 6 C . 1 -,6 D . J6 3
二、填空题1 .分母有理化
:(1) 1 =
3
旋
；
(2) 1 =
.12
；
(3)
2 .已知x=3, y=4, z=5
，那么寸yz ^xy的最后结果是 __________________
三、综合提高题 计算
分析：直接利用
分析：式子
呂
，只有a>0, b>0时才能成立.
b .b
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”
，那么,
2
化简的结果是
x 6
9 x
2
.利用计算器计算填空
(2) -3 3m2 3n2 2a2 (a>0
)
教后反思:
二次根式乘除教案
二次根式乘除教案教案标题：二次根式乘除教案教案目标：1. 学生能够理解和计算二次根式的乘法和除法；2. 学生能够应用二次根式的乘除法解决实际问题；3. 学生能够进行合作讨论和表达思想。
教学准备：1. 教师准备好白板、黑板、彩色粉笔或白板标记笔；2. 准备好示范习题和练习题；3. 确保学生有足够的纸、铅笔和计算器；4. 分组活动所需的素材。
教学步骤：引入活动：1. 教师提问学生：你们对二次根式的乘法和除法是什么理解？请举例说明。
2. 学生回答问题并分享自己的理解。
探索活动：3. 教师以简单的示例开始，如√2 × √3，并解释计算步骤。
教师强调在乘法过程中需要将根号内的数字相乘，并写下答案：√6。
4. 教师再举一个例子，如√5 × 2，并解释计算步骤。
教师提醒学生要将数字和根号相乘，并写下答案：2√5。
5. 学生自主练习乘法计算，教师巡回指导和纠正错误。
6. 教师提供一些挑战性的乘法题目，供学生尝试。
鼓励学生一起讨论解题思路。
拓展活动：7. 教师引导学生思考：如何进行二次根式的除法运算？让学生自由探索并提出想法。
8. 教师给出一个除法计算题目，如√12 ÷ √3，并解释计算步骤。
教师写下答案：2√3。
9. 学生自主练习除法计算，教师巡回指导和纠正错误。
10. 教师提供一些挑战性的除法题目，供学生尝试。
鼓励学生一起讨论解题思路。
实际应用：11. 教师设计一些实际生活中的问题，要求学生应用二次根式的乘除法进行计算，如计算园地的面积、房间的地板面积等等。
12. 学生分组合作解决这些实际问题，并展示解决过程和答案。
总结活动：13. 教师进行课堂总结，强调二次根式的乘除法的基本概念和计算方法。
14. 学生讲解自己解决实际问题的思路和答案。
15. 教师鼓励学生互相评价和提出改进建议。
巩固练习：16. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
17. 学生独立完成练习题，教师检查答案并提供反馈。
二次根式的乘除——知识讲解(教案)
二次根式的乘除法——知识讲解（教案）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.2.计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）（2014春·高安市期中）a 【答案与解析】 解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣ =﹣．(2)原式=a2222a a a=÷==【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三：【变式】b ba b a x x b a -÷+⋅-5433622222 【答案】原式=21⨯==3.计算：（1）（2014秋•门头沟区期末） 4÷（﹣）×．（2）（2014秋•松江区校级期中）计算：÷×．【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=43 ．（2）原式÷×==．【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.4.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、最简二次根式5. （2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】B ． 【解析】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B ．【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简（10,0)a b >>（2【答案】(1)原式2abc（2） 原式=46.已知0<a <b ,【答案与解析】原式a b a b +-=a =成立的条件是a >0;若a <0,a =-.7. （2016•黄石）观察下列等式： 第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = ； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ． 【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案． 【答案与解析】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1，第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1． 故答案为=﹣；﹣1．【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【变式】的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2=(2原式（又因为整数部分是a ，小数部分是b则a =13，b =6222213136)6)a ab b ∴-+=-⨯+=331-。
§22.2.2二次根式的除法
§22.2 二次根式的乘除法 ——二次根式的除法教学目标知识与技能：1.会进行简单的二次根式的除法运算．2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．过程与方法：3．引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题． 4．通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重点与难点重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：最简二次根式的概念. 教学过程一、问题情境如图，这是一块长方形绿地，已知长AD =m 7，这块绿地的面积为221m ，问宽AB 是多少? 解：)(721m AB ÷==ba ba（a ≥0，b ＞0）． 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除.三、尝试练习 1.计算: 315)1( 624)2( 解：5315315)1(== m7 DA24624624)2(===解决问题)(3721721m AB ==÷=四、对比归纳ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）．五、例题解析例1 计算与化简：672)1( 6152112)2(÷ 1003)3( a a 28)4(3解：3212672672)1(===569526123526152112)2(==÷=÷10310031003)3(== a a a a aa 242828)4(233===延伸拓展例2 计算与化简： （要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）32)1( 21)2( y x 32)3( 解：36363632)1(22===如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。
m7 DCBA()0,0>≥=b a b aba)0,0>≥=b a bba22)2(221)2(2==yxyy y x yx 36)3(3232)3(2=⋅=注：1.化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．2．像（2）(3)数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”六、达标反馈 1．使等式3535--=--x xx x 成立的x 的取值范围是 2.在横线上填写适当的数或式子使等式成立． (1)4)(8=⋅ (2)6)(23=3.计算与化简：1217)1( 838)2(- xy y 42)3(2七、回顾反思1、本节课你学到了什么？2、你还有什么不明白的？课后作业《补充习题》 §22.2 二次根式的乘除法 ——二次根式的除法。
二次根式乘除教学设计范文（精选3篇）
二次根式乘除教学设计范文（精选3篇）作为一名教师，常常需要准备教学设计，教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。
教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编为大家整理的二次根式乘除教学设计范文（精选3篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
二次根式乘除教学设计1一、内容和内容解析1、内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
2、内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式。
二、目标和目标解析1、教学目标（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算；（3）理解最简二次根式的概念、2、目标解析（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算。
（3）通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式。
三、教学问题诊断分析本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行、二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算、教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向。
本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用。
二次根式的乘除法 优秀教案
二次根式的乘除法【教学目标】1．使学生理解二次根式乘法法则；2．通过()0,0≥≥⋅=b a b a ab 及()0,0≥≥=⋅b a ab b a 的教学，培养学生的逆向思维。
【教学重点】进行简单的二次根式的乘法运算【教学难点】积的算术平方根及二次根式的乘法运算法则的综合运用【教学过程】一、复习1．用语言叙述并用式子表示积的算术平方根的性质。
2．化简：（1）180 （2）450 （3）3532n m二、新课 把式子()0,0≥≥⋅=b a b a ab 反过来，得到二次根式的乘法运算法则 ()0,0≥≥=⋅b a ab b a两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
运用这个法则，可以进行二次根式的乘法运算。
例1 计算 （1）714⋅ （2）10253⋅分析：第（2）题先把根号外面的有理数相乘，再利用一次根式的乘法法则进行计算。
解：（1）714⋅=27727727142=⨯=⨯⨯=⨯；（2）230526552610523102532=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅。
指出：（1）在实数一章里，我们已经时确了，有理数的乘法法则和运算律，在实数范围内也成立，如乘法的交换律及结合律等。
（2）在进行二次根式乘法运算时，应先考虑把被开方数进行因式分解。
例2 计算（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358 分析：在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
因此，第（1）题的运算结果应是负号，第（2）题的运算结果应是正号。
解：（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=782563843⨯⨯-=⨯⨯- （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358=()71035273135418⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- =21025225225522=⨯⨯=⨯=⨯⨯练习1 从课后习题中节选例3 计算（1）b a 10253⨯ （2）xy x 11010-⋅ （3）()mn m m 422212+-⋅ 分析：可以根据二次根式的乘法法则及乘法运算律进行计算。
二次根式乘除教案
二次根式乘除教案教学目标：学生能够掌握二次根式的乘法和除法运算法则。
教学重点：二次根式的乘法和除法运算。
教学难点：能够运用乘法和除法运算法则解决实际问题。
教学准备：教师准备黑板、粉笔、教辅资料和课件。
教学过程：Step 1：引入新知识教师通过引入新知识的方式，激发学生的兴趣，导入二次根式的乘法和除法运算。
可以从实际生活中的例子开始引入，让学生感受二次根式运算的重要性和实用性。
比如：小明要铺地板，已知房间的长度是√5米，宽度是√3米，请计算铺地板的面积是多少。
Step 2：二次根式乘法运算教师介绍二次根式的乘法运算法则，并结合具体例题进行讲解。
可以从简单的乘法运算开始，逐步引入复杂的运算。
例如：例题1：计算(√3 + √2) × (√3 - √2)。
解：根据二次根式乘法运算法则，可展开为(√3 × √3) + (√3 × -√2) + (√2 × √3) + (√2 × -√2)。
化简后的结果为 3 - √6 + √6 - 2。
合并相同项，得到最终结果 1。
Step 3：二次根式除法运算教师介绍二次根式的除法运算法则，并结合具体例题进行讲解。
同样，可以由简单的除法运算开始，逐步引入复杂的运算。
例如：例题2：计算(√5 + √2) ÷ (√5 - √2)。
解：根据二次根式除法运算法则，可将分子与分母分别乘以(√5 + √2)。
化简后的结果为(5 + √10 + 2) ÷ (5 - √10 - 2)。
合并相同项，得到最终结果7 + √10 ÷ 3 - √10。
Step 4：习题练习教师让学生独立完成一些习题，检验他们对二次根式的乘法和除法运算的掌握程度。
教师可以讲解每个小题的解题思路，并解答学生遇到的问题。
Step 5：拓展应用教师可以给学生一些拓展应用题，让他们运用乘法和除法运算法则解决实际问题。
例如：拓展题：小明种植了一块长宽分别是√6米和√2米的菜地，他要在菜地的上角画一个正方形区域，面积为√3米的一倍，求这个正方形区域的边长。
21.2二次根式的乘除【教案二】
二次根式的乘除法(2)三维目标知识与技能 (1) 使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
(2) 使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
(3) 使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。
过程与方法(1) 经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
(2) 体会用类比的思想研究二次根式的除法运算法则，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．情感、态度与价值观 教学中为学生创造大量的操作.思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑教学重点 掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
教学难点 经历知识产生的过程，探索新知识教学环节 知识内容一、情景创设问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、新课讲解让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：b a ＝ba 2、 题例分析例1、计算。
315324教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。
例2、化简21：(要求分母不带根号)做一做化简：51208教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
三、课堂练习P11 练习1、2、3四、课堂小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则， 即b a ＝ba (a ≥0，b>0)，并利用它进行计算和化简。
化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
五、布置作业P12页习题21.2 第2、3(3)(4) 、6(3)(4)。
华师大九年级(上)教案-第22章-二次根式(全)
22．1. 二次根式（1）教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例 x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展例当x +11x +在实数范围内有意义？分析11x +0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 布置作业1． 教材P422.1 二次根式（2）教学内容1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体数据2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 ［老师点评（略）．］ 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；（2=______；2=_______；）2=_______．4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4．2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P教学反思：22.1 二次根式（3）教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；=________．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=0=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习 教材P ．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0； （2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0，，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2 五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展． 六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学反思：22．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．a⨯，如=或关键：要讲清（a<0,b<0）=b．教学方法：三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______=________．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:合探1. 计算（1（2（3（4分析：（a≥0，b≥0）计算即可．合探2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计一、选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C．D．x-=）311A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．×D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．教后反思：22．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空（1；（2=_____；（3；（4=________．2．利用计算器计算填空:（1=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．合探1．计算：（1 （2 （3 （4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1 （2 （3 （4（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计 一、选择题1÷的结果是（ ）．A ．27B ．27C D2====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）． A ．2 B ．6 C ．13D二、填空题 1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）教后反思：22.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）B A C计算（1（2，（3自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1)合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，=，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计一、选择题1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A B =±12C 2D ．4的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．（x ≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y x y -的值．教后反思：22.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2））+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y 2-（x ）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 一、选择题1．以下二次根式：；；是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式-3的最后结果是________． 三、综合提高题1≈2.236）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 教后反思：22.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学方法 三疑三探 教学过程一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP（分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到）？（分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．BAC2m1m4mD解：由勾股定理，得=所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式3a a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式|b|类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式）A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示）A ．BC ．D ． 二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式） 三、综合提高题1与n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （-1）2=（）2-2·12 反之，-1）2 ∴=-1）2-1求：（1； （2（3（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教后反思：22.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3.计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=（x+1） =4x+2∵x b a -=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题1时，（结果用最简二次根式表示）2．当教后反思：。
二次根式的乘除法教学设计
二次根式的乘除法教学设计教学目标:1.学生能够理解二次根式的乘法和除法的概念；2.学生能够正确地进行二次根式的乘法和除法运算；3.学生能够运用所学知识解决实际问题。
教学准备:1.教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2.教师准备相关的教学示例和练习题。
教学过程:一、导入（5分钟）教师通过一个简单的问题导入本课的内容。
例如：“同学们，一个正方形的边长是2√3，那么这个正方形的面积是多少？请大家思考一下。
”同学们思考一分钟后，教师请其中一个同学回答问题，并引导其他同学进行讨论和确认。
二、概念讲解与示例解读（15分钟）1.二次根式乘法：教师引导学生回顾一下二次根式的概念，并向学生解释二次根式乘法的概念。
例如：“同学们，在我们之前的学习中，我们已经学过了二次根式的加法和减法。
你们还记得怎么进行二次根式的加法和减法吗？这个过程中，我们发现了什么规律呢？”同学们思考一段时间后，教师引导学生回忆和总结。
然后，教师给出一个例子：“现在，如果我们要计算(2√5)(3√7)，你们觉得应该怎么做？请同学们先思考一下。
”同学们思考一段时间后，教师请一个同学上黑板解答，并请同学们进行讨论和确认。
2.二次根式除法：教师向学生讲解二次根式的除法的概念。
例如：“同学们，我们知道，在进行数的除法运算时，我们可以先化简被除数和除数，然后进行整数的除法运算。
那么，对于二次根式来说，我们应该也可以先化简被除数和除数，然后进行二次根式的除法运算。
你们觉得是这样吗？”同学们思考一段时间后，教师请一个同学上黑板解答，并请同学们进行讨论和确认。
三、练习与实践（45分钟）1.练习题演练：教师向学生出示一些二次根式乘除法的练习题，并请学生在纸上作答。
然后，教师随机选择几个学生上黑板解答，并请其他同学进行讨论和确认。
教师及时给予学生指导和反馈。
2.实际问题解决：教师出示一些实际问题，并要求学生运用所学知识进行解决。
例如：“现在，假设一根绳子的长度是2√6米，我们需要用这根绳子把一个正方体卷起来。
数学《二次根式的乘除》的教案设计
数学《二次根式的乘除》的教案设计
数学《二次根式的乘除》的教案设计
教学设计思想
本小节内容首先介绍算术平方根的积和商的运算性质，然后再根据性质从具体例子引出积和商的'运算法则，渗透了从特殊到一般的方法，以提高学生的归纳总结能力。
考虑到初中三年级学生的逻辑思维能力，教材中对于积和商的算术平方根的性质只是用具体的例子进行了说明，而没有给出一般性的证明。
教学目标
知识与技能
熟记二次根式的乘法法则和除法法则;
能够运用二次根式的乘法法则和除法法则，进行二次根式的化简与运算;
过程与方法
通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高归纳总结的能力;
通过对公式的综合运用，培养实际应用能力;
情感态度价值观
通过算术平方根性质的学习，渗透公式的简单性、统一性的数学美;
通过利用数学知识解决实际问题，进一步体会学以致用的道理。
教学重点和难点
重点：二次根式的乘法和除法的运算
难点：二次根式乘除法的化简混合运算。
教学方法
引导式、讲练结合。
教学媒体
多媒体
课时安排
2课时。