线性代数 空间向量的基和维

2 7 3 7 5 7 4 7 即得基础解系 ξ = ,ξ 2 = . 0 1 1 0 1
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5.3.2.2 非齐次方程组
本章定理1说明了方程组Ax=b即
并由此得到通解 x1 2 7 3 7 5 7 x2 = + 4 7 , ( , ∈ R ). c c 1 2 x 1 0 c1 c 2 3 0 1 x4
2 −1 0 2 x = + t , t ∈ R. 5 −6 −1 3
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dim N ( A) = n − r ( A) = 4 − 3 = 1
故若求得 N(A)的一个基向量， 的一个基向量，及方程组的某个解 xp,即可写出通解了.明显地， 明显地，可取xp =a1.同样明显 地，可验证a2+ a3-2a1必满足对应的齐次方程组. 因
2 3 0 2 a1 = , a2 + a3 = 5 4 1 1
2 3 = + , x1 7 x 3 7 x 4 便得 令x3 = c1 , x4 = c2 , =5 +4 . x x x 2 7 3 7 4
x1 2 7 3 7 x2 = c 5 7 + C 4 7 1 2 x 1 0 3 0 1 x4
注意：x1 + x2 ∉ S .
A( kx1 ) = kb (k≠0, k为常数） 注意：kx1 ∉ S .
(2) A( x1 − x2 ) = 0 即 x1 − x2 ∈ N ( A) (3) 对任意的 xh∈N(A),必 x1+ xh ∈S. 结论： 结论：非齐次方程组通解＝ 非齐次方程组通解＝ 对应齐次方程组通解＋ 对应齐次方程组通解＋非齐次方程的一个特解． 非齐次方程的一个特解．
2 3 x1 = 7 c1 + 7 c 2 =5 +4 x 2 7 c1 7 c 2 x 3 = c1 = c2 x4
1 1 −1 −1 1 0 − 2 7 − 3 7 A= 2 −5 3 2 ~ 0 1 − 5 7 − 4 7 , 7 −7 3 1 0 0 0 0
2 0 −5 −7 α1 = β1 − β 3 = 1 , α 2 = β 2 − β 3 = 0 −1 3 0 −1
容易验证他们线性无关， 容易验证他们线性无关，从而构成基础解系． 从而构成基础解系． 对应齐次方程组通解： 对应齐次方程组通解： c1α1 + c2α 2 非齐次方程组通解： 非齐次方程组通解： x = β1 + c1α1 + c2α 2
∴ r ( A) = r ( A).
反之， 反之，若 r ( A) = r ( A) ，则方程组（ 则方程组（2-12” 12”）有解， 有解，因 此 b∈R(A) .
定理8 设m × n相容非齐次方程组(2(2-12′)的解集 为S，对应齐次方程组的解空间为N(A),则有 若已知 x1、x2 ∈ S , 则 (1) A( x1 + x2 ) = 2b
还要检查这两个向量是否线性无关． 还要检查这两个向量是否线性无关．
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解 设方程组的系数矩阵为A,按所给条件知
例3 已知四元非齐次线性代数方程组的系数 矩阵之秩为 3，又已知该方程组有三个解向量 a1, a2, a3,其中
2 3 0 2 a1 = , a2 + a3 = 5 4 1 1
x1a1 + x2 a2 + ⋯ + xn an = b
r ( A) = r ( A).
(2(2-12′′)
相容性的充要条件是b∈R(A) . 这个条件等同于 事实上 A=[a1、a2、… 、an ], A=[a1、a2、… 、an、b ], 当 b∈R(A) 时，向量组 a1、a2、… 、an 与 向量组 a1、 a2、… 、an、b 是等价的， 是等价的，而等价的向量组的秩相等.
（5-17）
则称这组向量为空间 则称这组向量为空间V的一组基, 其中的向量 b1、 … 、bk都称基向量 都称基向量, 而称其展开式(5(5-17)中的系数
λ1 , λ2 , … , λk 为向量v对这组基的坐标 对这组基的坐标.
由定义知： 由定义知：向量空间V的一组基, 也就是V的 一个最大线性无关组. 定义9 向量空间V的任一基向量的个数, 称为 空间V的维（ 的维（dimension）, 记这个数为dimV.
求该方程组的通解． 求该方程组的通解． 解 非齐次方程组通解＝ 非齐次方程组通解＝ 齐次方程组通解＋ 齐次方程组通解＋非齐次方程的一个解． 非齐次方程的一个解．
现在只需要求齐次方程组的通解． 现在只需要求齐次方程组的通解． 为此， 为此，只需要求齐次方程组的一个基础解系． 只需要求齐次方程组的一个基础解系． 解解解的解数等程 n − r ( A) . 基础解系中有 5－3＝2个解． 个解． 因此， 因此，要求齐次方程组的两个线性无关解． 要求齐次方程组的两个线性无关解． 非齐次方程组的两个解之差是齐次方组的解． 非齐次方程组的两个解之差是齐次方组的解． 程是得到齐次方程组的两个解： 程是得到齐次方程组的两个解：
例2
某个某某线性非齐次方程组系数矩阵程等程 3 . 已知该方程组的三个解： 已知该方程组的三个解：
4 2 2 3 1 8 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 1 , 0 4 1 1 0 1
求该方程组的通解.
3 2 −1 2 0 2 a2 + a3 − 2a1 = − 2 = ≠ 0 4 5 −6 1 −1 3
故即为 N(A)的基向量， 的基向量，从而可写出所求非齐次 方程组的通解为
dim N ( A) = n − r ( A)
dim N ( A) + dim R ( A) = n
或 （5-20）
例1 求齐次线性方程组 x1 + x2 − x3 − x4 = 0 2 x1 − 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x − 7 x + 3 x + x = 0 2 3 4 1 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换， 作初等行变换，变为行最简矩阵， 变为行最简矩阵，有
α1 = β1 − β 3 , α 2 = β 2 − β 3
4 2 2 3 1 8 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 1 , 0 4 1 1 0 1
5.3.1 基和维
第三节 向量空间的基和维
基和维 再论线性代数方程组的解
定义8 给定向量空间V的一组向量b1、… 、bk 若满足条件： 若满足条件： (1) 线性无关； 线性无关； (2) 每个v∈V, 皆可依之线性表出, 即有数
λ1 , λ2 , … , λk使成立
v = λ1b1 + ⋯ + λk bk
5.3.2 再论线性代数方程组的解 5.3.2.1 齐次方程组 在本章前面的讨论中已经看到n个未知数的 (m× n)齐次线性代数方程组
Ax = 0
的解集N(A)是向量空间， 是向量空间，它的一个基称为齐次线性 方程组的基础解系 方程组的基础解系. 基础解系. 容易证明 n- r(A)就是N(A)的维数 dimN(A),即有