线性代数 向量空间

第五节 向量空间

分布图示

★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5

内容要点

一、向量空间与子空间

定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即

(1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间.

记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.

注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;

2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象.

定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ⊂, 则称1V 是2V 的子空间.

二、向量空间的基与维数

定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关;

(2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示.

则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间.

注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;

(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩;

(3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为

}.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ

此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标.

注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为

,2211r r a a a x λλλ+++=

数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.

特别地, 在n 维向量空间n R 中取单位坐标向量组n e e e ,,,21 为基,则以n x x x ,,,21 为分量的向量x ,可表示为

,2211n n e x e x e x x +++= 可见向量在基n e e e ,,,21 中的坐标就是该向量的分量. 因此n e e e ,,,21 叫做n R 中的自然基.

例题选讲

例1 (E01) 判别下列集合是否为向量空间

},,|),,,0({221R x x x x x V n T n ∈== 解 1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素

,,,,T n a a )0(2 =α,,,,12)0(V b b T n ∈= β

有122)0(V b a b a T n n ∈++=+,,, βα.,,,12)0(V a a T n ∈=λλλα

例2 (E02) 判别下列集合是否为向量空间

},,|),,,1({222R x x x x x V n T n ∈==

解 2V 不是向量空间.

因为若,,,,,22)1(V a a T n ∈= α 则.,,,,22)222(2V a a T n ∉= α

例3 (E03) 设βα,为两个已知的n 维向量, 集合

},|{R V ∈+==μλμβλαξ

试判断集合V 是否为向量空间.

解 V 是一个向量空间. 因为若,βμαλξ111+=,βμαλξ222+= 则有,V ∈+++=+βμμαλλξξ)()(212121 .V k k k ∈+=βμαλξ)()(111 这个向量空间称为由向量βα,所生成的向量空间.

注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为

}.,,,|{212211R a a a V m m m ∈+++==λλλλλλξ

例4 (E04) 设向量组m αα,,1 与向量组s ββ,,1 等价, 记

}

,,,|{}

,,,|{21221122122111R V R V s s s m m m ∈+++==∈+++==μμμβμβμβμξλλλαλαλαλξ

试证: .21V V =

证 设,1V ∈ξ 则ξ可由m αα,, 1线性表示.因m αα,, 1可由s ββ,, 1线性表示,故ξ 可由

s ββ,, 1线性表示.2V ∈ξ 这就是说，若,1V ∈ξ则2V ∈ξ .21V V ⊂

类似地可证:若,

2V ∈ξ则1V ∈ξ .12V V ⊂ 因为,21V V ⊂,12V V ⊂所以.21V V =

例5 (E05) 考虑齐次线性方程组0=Ax ,全体解的集合为

}0|{==ααA S

显然, S 非空),0(S ∈ 任取k S ,,∈βα为任一常数, 则

S

k k kA k A S A A A ∈===∈+=+=+αααβαβαβα即即,00)(,0)(

故S 是一向量空间. 称S 为齐次线性方程组0=AX 的解空间.

例6 (E06) 3R 中过原点的平面是3R 的子空间 证明 3R 中过原点的平面可以看作集合

()(){}33,,0,,,V R x y z x y z R αβγαβγ=∈++=∈其中

若()111,,V αβγ∈,()222,,V αβγ∈,即

1112220,0x y z x y z αβγαβγ++=++= 则有

121212111()()()0,0x y z k x k y k z ααββγγαβγ+++++=++=

即

()()111222,,,,V αβγαβγ+∈,()111,,k V αβγ∈

故3

R 中过原点的平面是3

R 的子空间

例7 (E07) 向量空间2

R 不是3

R 的子空间,因为2

R 根本不是3

R 的子集(3

R 中的向量有三个分量,但2

R 中的分量却只有两个). 集合 (){},,0,H s t s t R =

∈

是3

R 的与2R 有相同表现的子集,尽管严格意义上H 不同于2

R ,见右图. 证明H 是3

R 的子空间.

证明 任取()()1122,,0,,,0s t s t H ∈,k 为任一常数,则

()()1122,,0,,0s t s t H +∈, ()11,,0k s t H ∈

因此H 是3

R 的子空间.

例8 (E08) 证明单位向量组

,)1,,0,0,0(,)0,,0,1,0(,)0,,0,0,1(21T n T T ===εεε

是n 维向量空间n R 的一个基.

证 (1)易见n 维向量组n εεε,,, 21线性无关;