高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲 数论综合提高一

第十五讲 数论综合提高一

本讲知识点汇总：

一． 整除

1． 整除的定义

如果整数a 除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作． 如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不整除a ．

2． 整除判定

（1） 尾数判断法

能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；

能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；

能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

（2） 截断求和法

能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

（3） 截断求差法

能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互

质的整数，分别验证整除性．

3． 常用整除性质

（1） 已知、，则以及．（b ＞c ） （2） 已知，则． （3） 已知且，则． （4） 已知且，则．

4． 整除的一些基本方法：

（1） 分解法：

①分解得到的数有整除特性；

②两两互质.

（2） 数字谜法：

①被除数的末位已知；

②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.

（3） 试除法：

[],a b c |b c |a c |a c (),1a b = |a bc

|b c |ab ac

()|a b c - ()|a b c +

|a c |a b |b a

()0b ≠

①除数比较大；

②被除数的首位已知.

（4） 同除法：

①被除数与除数同时除以相同的数；

②简化后的除数有整除特性.

二、质数与合数

1． 质数与合数的定义

质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．

2． 分解质因数

分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，． 典型题型

一．整除

1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；

（1） 9的考点：乱切法；

（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．

2． 整除性质的使用；

3． 整除与位值原理；

4． 整除方法在数字谜中的应用．

二．质数合数

1． 质数合数填数字：注意2和5的特殊性；

2． 判断大数是否为质数：逐一试除法；

3． 末尾0的个数问题：层除法．

例1． （1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？

（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？

（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？

3280257=⨯⨯ 2210025=⨯

「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．

练习1、（1）六位数1037没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？

（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？

（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？

例2．将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？

「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．

练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？

例3．已知370

⨯是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数abc

a b c

是多少？

「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？

练习3、已知0035

⨯是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三

a b c

位数abc是多少？

例4．一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？

「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确

定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．

练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？

例5．

72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．

例6．

在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n 最小是多少？

「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目

数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．

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