习题与复习题详解线性空间高等代数

习题5. 1

1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．

答 是．

因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.

由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.

2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为

,,k a b ab k a a a b R k R

+⊕==∈∈o 其中

判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.

答 是. 设,R λμ∈.

因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,

,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈o ,

所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.

下面一一验证八条线性运算规律

(1) a b ab ba b a ⊕===⊕;

(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;

(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;

(4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==;

(5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ

μμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭

o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ;

所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.

3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间.

答 否.

A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.

4．在22P ⨯中，{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答 否.

121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.

习题5.2

1．讨论22P ⨯中

的线性相关性.

解 设11223344x A x A x A x A O +++=,

即12341

234

12341234

00ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111

(3)(1)111111a a a a a a

=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关；

2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++

由()1234

1

001

100101

11ααααα⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪

- ⎪-⎝⎭M M M M M

2111301010

00101000001010

0010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→

⎪- ⎪⎝⎭

M M M M

初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ). 解 设11223344x x x x ααααα=+++

则有12341234

1234123402030040007

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.

由1011210

0071110301001111004001021100

070

00130-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--

⎪ ⎪

−−−−→

⎪

⎪

-

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

M M M M M M M

M

初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为（-7，11，-21，30）.

4．已知3R 的两组基

（Ⅰ）： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

11=，=0，=0-11 （Ⅱ）：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

23=，=3，=443

（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；

（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1； （3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.

解（1）设C 是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C

即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

,

知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为1

111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. （2）首先计算得11

32220

1013122C -⎛⎫-- ⎪

⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪

⎛⎫

⎪ ⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪

-⎝⎭. （3）β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

. (4) 设γ

在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

=043k k ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.

231430,7k k k k γββ-⎛⎫

⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭

为任意常数. 5．已知P [x ]4的两组基

（Ⅰ）：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，

（Ⅱ）：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g