对数的换底公式及其推论

对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： 二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N

N m m a log log log =

( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0)

证明：设 a log N = x , 则 x

a = N

两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x

m log log log log =⇒=

从而得：a N x m m log log =

∴ a

N

N m m a log log log =

2.两个常用的推论:

①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m

n

b a n

a m log log =

（ a, b > 0且均不为1） 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=

⋅b

a

a b a b b a ②b m n

a m

b n a

b b a m

n n

a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：

例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1

3=a

, 又∵3log 7 = b, ∴1

3

12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==

b ab ab

例2计算：①3log 12.05- ② 42

19432log 2log 3log -⋅

解：①原式 =

153

15

5

5

553

1log 3

log 5

2.0==

= ②原式 =

2

345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z

y

x

643==

1? 求证

z

y x 1211=+ ； 2? 比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z

y

x

===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k

x =

， 4lg lg k y =， 6

lg lg k z = ∴

z

k k k k k y x 1

lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2? k y x lg )4lg 43lg 3(

43-=-04

lg 3lg 8164

lg

lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<

又：k z y lg )6lg 64lg 4(

64-=-06

lg 2lg 169

lg

lg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64< ∴z y x 643<<

例4已知a log x=a log c+b ，求x

分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，

或者将b 变为对数形式 解法一：

由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a

⋅=log b a c ⋅=

解法二：

由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c

x

a =log 由对数定义知：

b a c

x

= b a c x ⋅=∴ 解法三：

四、课堂练习：

①已知 18log 9 = a , b

18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 解：∵ 18log 9 = a ∴a =-=2log 12

18

log 1818

∴18log 2 = 1?a ∵ b

18 = 5 ∴ 18log 5 = b ∴ a

b

a -+=++==

22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836

②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5

解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p

31

2log 3=

又∵q =5log 3 ∴ 5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==

pq

pq

313+=

三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业： 1．证明：

b x

x

a a

b a log 1log log +=

证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log

则：p

a x = q

q

q

b a ab x ==)( r a b =

∴)

1()(r q q

p

a a

b a +== 从而 )1(r q p +=