北京工业大学 期末考试 概率统计试题 概率统计(工)试题答案

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概率论与数理统计课程期末考试(工类)试题答案

一. 填空题(每空3分，共30分)

1. 设()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =，则()| 2/3 P A B =。

2. 若X 为[]1,0区间上均匀分布，记}

3.01.0{≤≤=X A ，Y 表示对X 进行25次独立观测时事件A 发生的次数。则=

)(Y E 5

, =)(Y Var 4 。

3. 若随机变量21,X X 相互独立，且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N ，令

212X X X -=,则X ～

)

5,1(2N ,{}46-<

6826.0。

注1：)(x Φ为正态分布N (0,1)的分布函数，8413.0)1(=Φ。

4. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5=Var X ,用切比雪夫不等式估计得{}212P X <<≥ 0.8 。

5. 若)2(,,,21>n X X X n 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记

∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1

22

1)(11,1. 则σμ/)(-X n ～ N （0，1） ，2/)(S X n μ-～

n-t 1

，22/)1(σS n -～

2

1

-n χ。

6．设10021,,,X X X 是抽自正态总体)1,( μN 的简单样本，则μ的置信系数为0.95

的置信区间为[,

0.1960.196X

X

]。

注2：Z 为正态分布N (0,1)的右分位点,0

1，96.1025.0=Z ，645.105.0=Z 。

二．计算题(每题14分，共70分，做题时须写出解题过程，否则不能得分) 1．有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；第二箱装8件，其中一件为次品。先从第一箱中随机抽取两件放入第二箱，再从第二箱中随机抽取一件。

(1). 求从第二箱中取出次品的概率；

(2). 若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。

解 以i A 表示从第一箱中取到i 件次品，2,1,0=i ；B 表示从第二箱中取到次品。 则 (1). )()()()(210B A P B A P B A P B P ++=

)|()()|()()|()(221100A B P A P A B P A P A B P A P ++=

10

3

1021012

12220102121211021202210C C C C C C C C C ++= 1011123

2101112810101112910???+

???+???= 15

2=

; (2). )()()|(00B P B A P B A P =

88

45

215101112910=

????=. 2. 设随机变量X 有概率密度函数 ??

???∈--∈+=其他，,0],1,0(,1],

0,1(,1)(x x x x x f 令2

X Y =。

(1). 求Y 的概率密度函数)(y f Y ；

(2). 求Y 的期望)(Y E 与方差)(Y Var 。

解 (1).记)(y F Y 为随机变量Y 的分布函数，则0≤y 时，0)(=y F Y ；]1,0(∈y 时，

y y dx x f y X y P y X P y Y P y F y

y

Y -==≤≤-=≤=≤=?

-2)()()()()(2；

1>y 时，1)(=y F Y 。于是，

?????∈-=-;,

0],

1,0(,1)(1其他y y y f Y

(2). ???=-++===--1

020

12

1

12

2

6

1

)1()1()()()(dx x x dx x x dx x f x X E Y E ；

由 ???=

-++==--1

040

141

1

4415

1

)1()1()()(dx x x dx x x dx x f x X E 及

22)]([)()(Y E Y E Y Var -=224)]([)(X E X E -=，

得 180

7

361151)(=

-=

Y Var .

3. 设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度函数为

??

?∞<≤≤?=-.,

00,),(其他，

y x e c y x f y (1). 求常数c ；

(2). 求X 和Y 的边缘概率密度)(x f X 和)(y f Y ； (3). 求)1(<+Y X P 。 解 (1). 由c dx ye c dx e c dy dy dx y x f y y y ==?==????

?

∞

-∞-∞

∞-∞

∞

-0

),(1，得1=c ；

(2). ??

?≤>=?????≤>==-∞-∞

∞

-??

,00,

000,0,),()(x x e

x x dy e dy y x f x f x x y X ，， ???≤>?=?????≤>==--∞

∞

-??

;

00,

000,0,

),()(0

y y e

y y y dx e dx y x f y f y

y y Y ，

，

(3). ???

------=-==<+5

.00

22/115.00

1)1()()1(e dx e e dy e dx Y X P x x x

x

y .

4．若)2(,,,21>n X X X n 为抽自总体X 的随机样本，总体X 有概率密度函数

,0, (;)0,

0,x e x f x x θθθ-?≥=?

其中θ＞0常数。求：(1).θ的矩估计θ

?; (2).θ的极大似然估计θ。 解 记 ∑==

n

i i X n X 1

1。由E --

1

()()d e d θx X x f x;x

x θx

。利用

)(X E X =，得1

?X

θ

. 解该式，得 1

?X

； 记 1

()

(;)e

n n n θX

i i

L f x θ为参数θ的似然函数,则对似然函数为

ln ()

ln L n n θ X .

进一步，有

dln ()d L θn nX θθ

. 令

0)

(ln =θ

θd L d ，得1

X

.

5. 设一批1000克包装袋装食盐的重量服从正态分布),(2σμN ，其中μ和σ为未知常数, 0>σ。为检查包装质量，从生产线上随机抽取食盐10袋，并称其重量，得样本均值998.4=x g , 样本方差2 5.76=s g 2。对检验水平05.0=α，做检验：

(1). 0:1000H μ=, 1:1000H μ≠；(2). '20: 4.0H σ=, '21

: 4.0H σ≠.

附 t 分布与2

χ分布表

解: 由10n =，05.0=α，998.4=x ，2 5.76=s , 2.4s =,01000μ=,0 2.0σ=.

(1). 因 11.6=|-1000|<((/2)=(2.4/10) 2.2622=1.7169-n x s t α，故，接受0H 为真，即接受“总体均值1000μ

”的假设；

(2). 因

22

22

01112.96=(1)/

(1-/2) , (/2)=(2.700, 19.023)n-n-n -s σχαχα，

故，接受0

H '为真，即接受“总体方差42σ”。