函数的最值与导数教案-公开课

1.3.3

函数的最大 (小)值与导数 教学目标

1.

理解函数最值的特点。 2. 掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法。 教学重点：求函数最值的方法。

教学难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法。

教学方法：探究式教学讲练结合法

教学过程:

一•复旧知新：

问题一：函数极值概念 问题二：一般地，求函数 y=f(x) 的极值的方法是什么？

二•讲授新课

观察区间［a,b ］上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值，极小值吗？你能 找出它的最大值和最小值吗?

最值特点:

(1) 函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；

(2) 从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或

最小值；

(3)最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。

探究问题1:开区间上的最值问题

如图，观察(a, b )上的函数y=f(X)的图像，它们在(a, b )上有最大值、最

小值吗？如果有，最大值和最小值分别在什么位置取到？

点处取得。

探究问题2:闭区间上的最值问题

如图，观察［a, b］上的函数y=f(x)的图像，它们在［a, b］上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

结论：

一般地，如果在闭区间［a, b］上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。特别地，若函数y=f(x)在区间［a，b］上是单调函数, 则最值则在端点处取得。

一般地，求函数y=f(x)在区间［a, b］上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；

⑵计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

1. 典例精讲

例2求函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上的最值。

2 2

解：f '(x)=48-3x = -3(x -16)= -3(x-4)(x+4)

令f '(x)=0，得x=4 或x= -4 (舍)

当-3< x < 4时，f '(x) >0,函数单调递增；

当4< x <5时，f '(x)<0，函数单调递减;

所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128;

又f (-3)= -117, f (5)=115

所以函数f(x)=48x-x3在区间［-3, 5］上最大值为128,最小值为-117. 练习：求函

数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间［-2, 1］上的最值。

解：f '(X)=6X2-6X-12=6( X2-X-2) =6(x-2)(x+1)，

令f '(x)=0，得x=-1 或x=2 (舍)

当-2< x < -1时，f '(x)>0，函数单调递增；

当-1< x <1时，f '(x)<0，函数单调递减；

所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12；

又f (-2)=1, f (1)= -8

所以函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间［-2, 1］上最大值为12 ,最小值为-8.

课堂小结

1. 最值特点；

2. 函数存在最值的条件；

3. 一般地，求函数y=f(x)在区间［a, b］上的最大值与最小值的步骤。布置作业

课本P31页：练习 (2)(4)题板书设计