高考数学 数列专题复习

专题一 数列

【知识框架】

数列基础知识

定义项，通项

数列表示法数列分类

等差数列等比数列

定义通项公式前n 项和公式性质

特殊数列

其他特殊数列求和

数列

【知识要点1】

一、数列的概念

1. 数列是按一定顺序排列的一列数，记作a 1,a 2,a 3……a n ,……简记{a n }.

2. 数列{a n }的第n 项a n 与项数n 的关系若用一个公式a n =f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3. 如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n =f （a n-1）或a n =f （a n-1，a n-2），那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式.

4. 数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法：

列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、数列的分类

1. 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3. 从函数角度考虑分：（考点）

①递增数列：对于任何n ∈ N +，均有a n+1 > a n ②递减数列：对于任何n ∈ N +，均有a n+1 < a n ③摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-1… ④常数数列：例如:6，6，6，6，6，6… ⑤有界数列：存在正数M ，使a n

⑥无界数列：对于任何正数M,总有项a n ,使得|a n |>M 四、a n 与S n 的关系：（考点） 1. S n = a 1+a 2+a 3+…+a n =∑

=n

1

i i a 2. a n =

S 1 (n=1) S n -S n-1 (n≥2)

【例题1】已知数列{a n }是递增数列,其通项公式为a n =n 2+λn （n=1，2，3…） ,则实数λ的取值范围 。 [解析]：

∵数列{a n }的通项公式为a n =n 2+λn （n=1，2，3…） 数列是递增数列 ∴a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)- n 2-λn =2n+1+λ>0 恒成立

∵2n+1+λ的最小值是3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 实数λ的取值范围是（-3，+∞） 【例题2】数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n,则数列各项中最小项是（ B ） A ．第４项 B ．第５项 C ．第６项 D ．第７项

[解析1]：a n =f(n)= 3n 2-28n ，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是

6

28 由于n ∈ N +，故取n=4和n=5代入，得到a 4=-64，a 5=-65，故选择B [解析2]：

设a n 为数列的最小项，则有 代入化简得到

解得：6

31

n 625≤≤ 故n=5

【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x 的值为（ Ｄ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

【练习2】数列{a n }的前n 项和S n =n 2-4n+1，则a n a n =

【知识要点2等差数列】

1. 定义：如果数列{a n }从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即a n -a n-1=d （n ∈N +，且n≥2），或者a n+1-a n =d （n ∈N +）

2. 通项公式：

a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n-m)d (公式的变形) a n =an+

b 其中a=d ，b= a 1-d

3. 前n 项和公式：

2)a n(a S n 1n +=

d 21)-n(n na S 1n +

= (公式的变形) S n =An 2+Bn 其中A=2

d B=2d

a 1- 4. 性质：

（1）公式变形

（2）如果A=

a +b

2

,那么A 叫做a 和b 的等差中项. （3）若{a n }为等差数列，且有k+l=m+n, 则a k +a l =a m +a n

（4）若{a n },{b n }为等差数列则{pa n +qb n }是等差数列，其中p,q 均为常数

（5）若{a n }为等差数列，则a k ,a k +m ,a k +2m ,...（k,m ÎN *

）组成公差为md 的等差数列.

（6）若S m ,S 2m ,S 3m 分别为{a n }的前n 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列. （7）若{a n }设等差数列，则{

S n n }是等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12

（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd ，

1

n n a a S S +=奇偶 若项数为2n-1,则S 偶=(n-1)a n ，S 奇=na n ， 1-n n

S S =

奇偶 5. 判断：

①定义法：a n+1-a n =d （n ∈N +） ② 中项法： 2a n+1=a n + a n+2 {a n }为等差数列。 ③通项公式法：a n =an+b （a,b 为常数） ④前n 项和公式法：S n =An 2+Bn （A,B 为常数）

a n ≥a n-1 a n ≤a n+1 3n 2-28n ≥3(n-1)2-28(n-1)

3n 2-28n ≤3(n+1)2-28(n+1)

-2 (n=1) 2n-5 (n≥2)