第四章 速度瞬心及其应用
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一个构件的形状，直接求出另一个构件的形状。 凸轮机构中凸轮轮廓曲线设计采用的就是这种方 法。
从运动学的角度来看，高副机构与低副机
构之间可以通过瞬心线或共轭曲线建立联系， 两者之间可以相互转换。这样的转换往往不是 唯一的。
4.5 在机构运动和结构分析中的高副低代
❖ 平面机构中高副低代的目的:
为了使平面低副机构结构分析和运动分析的方法适用 于所有平面机构，需要进行平面机构的高副低代。
例题：如图所示的带有一移动副的平面四杆机构中,
已知原动件2以角速度w2等速度转动, 现需确定机构
在图示位置时从动件4的速度v4。
求解过程：确定机构瞬心如图所示
P24 在P23、P34 连线和P12、P14 连线上。
P24 P23
v4 vP24 2 P12P24l
P14→∞
2
P12
ω2
3
P13
P12
V2＝V P12＝μl(P13P12)·ω1
n
长度P13P12直接从图上量取。
如图所示凸轮机构，设已知各构件尺寸和凸
轮的角速度w2，求从动件3的速度v3。
n
3
K
ω2
2
求解过程： 确定构件2和3的相对瞬心P23
V3＝V P23＝μl(P12P23)·ω2
P12 P23 n
1
动画演示1、2
称K2为包络曲线， K1为被包络曲线 vr 12 QP
共轭曲线：两高副元素互为包络的曲线
采用的共轭曲线的设计和制造方法
通常有两种：
❖利用已知的形成高副的一个构件的形状和相对
瞬心线，用包络的原理求出另一个构件的形状。 在齿轮齿廓的设计和制造中，通常采用的就是这 种方法；
❖利用已知的两个构件的运动规律和形成高副的
第4章 速度瞬心及其应用
4.1 速度瞬心的概念及其确定方法
4.1.1 速度瞬心的概念
在作平面一般运动的两个构件上，总可以找到一点， 在该点两构件的相对速度为零、绝对速度相同。
速度瞬心——两构件作相对运动
时，其相对速度为零时的重合点 称为速度瞬心，简称瞬心。
vA1A2 B
A
12 vB1B2
❖ 也就是两构件在该瞬时具有
4.瞬心法的优缺点：
①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因 瞬心数急剧增加而求解过程复杂。
②有时瞬心点落在纸面外。 ③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。
4.3 瞬心线和瞬心线机构(自学）
动画链接
定瞬心线：速度瞬心点相对于机架上的轨迹
动瞬心线：速度瞬心点相对于活动构件上的轨迹
由速度瞬心的概念可知：在机构的运动过程 中，动瞬心线上的每一点都有一个在定瞬心 线上相对应的点与之作无滑动的接触。
B P31
P21 、 P 31 、 P 32 位于同一条直线上。
确定瞬心小结
4.2 速度瞬心在机构速度分析中的应用
情形1：求线速度
已知凸轮转速ω1，求推杆的速度。
求解过程：
3
P23
∞
①直接观察求瞬心P13、 P23 。
②根据三心定律和公法线
n2
n－n求瞬心的位置P12 。
ω1 1 V2
③求瞬心P12的速度 。
VP23＝μl(P23P13)·ω3
n 2 2
P12 ω2 1
3
P23
ω3 P13
n
∴ω3＝ω2·(P13P23/P12P23)
VP23
方向: ω3与ω2相反。
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
3.用瞬心法解题步骤:
①绘制机构运动简图； ②求瞬心的位置； ③求出相对瞬心的速度; ④求构件绝对速度V或角速度ω。
相同绝对速度的重合点.
❖ 两构件在任一瞬时的相对运动都可看
2
P12 1
成绕瞬心的相对运动。
VA21 21 P21 A
动画演示1、2
相对瞬心
速度瞬心 绝对瞬心
相对瞬心－重合点绝对速度不为零，
两构件都运动的。
A
vA1A2 B 12 vB1B2
Vp2=Vp1≠0
2
P12 1
绝对瞬心－重合点绝对速度为零，两
E’3
VE3
3 E3
P31
动画演示
三心定律的证明
由速度瞬心的定义可知以：
vP23 vP32（大小、方向相等）Vk 21
vP23 21 P21P23 vP32 31 P31P32
∵ 21 // 31
∴ P21P23 // P31P32
K
2
21
A P21
1
Vk 31
3 31
4
v2
P34
情形2：求角速度
铰链机构
已知构件2的转速ω2 ，求构件4的角速度ω4 。 求解过程：①瞬心数为 6个
②直接观察能求出 4个 余下的2个用三心定律求出。
③求瞬心P24的速度 。 VP24＝μl(P24P12)·ω2
VP24＝μl(P24P14)·ω4
ω4 ＝ω2·(P24P12)/ P24P14
❖ 高副低代的含义:
根据一定条件对平面高副机构的中高副虚拟地用低 副来代替的方法。
❖ 高副低代的条件：
①代替前后机构的自由度不变； ②代替前后机构的瞬时速度和瞬时加速度不变。
高副低代的方法1
用一个含有两个低副的虚拟构件来代替高副，且两低 副位置分别在两高副两元素接触点处的曲率中心。
高副两元素均为圆弧
构件之一是静止构件。
Vp2=Vp1=0
情形1：两构件直接用运动副连接
Βιβλιοθήκη Baidu1 2
A（P12）
A 1B
2
n
1M t
t
2
P12
1 p12
M2
❖若两构件1、2以转动P1副2 相联接，则瞬心nP12位于转动副的中
心；
❖若两构件1、2以移动副相联接，则瞬心P12位于垂直于导
路线方向的无穷远处；
❖若两构件1、2以高副相联接，
高副元素为非圆曲线
高副两元素均为圆弧
高副低代的方法2
因其曲率半径为零，其中一 个转动副就在该点处。
因其曲率中心在无穷远处，则其 中的一个转动副变为移动副；
高副两元素之一为直线
高副两元素之一为一点
高副两元素之一为 直线
高副两元素之一为 一点
作业4-2,4-3,44
第4章结束
在接触点M处作纯滚动，则接触点M就是它们的瞬心，
在接触点M处有相对滑动，则瞬心位于过接触点M的
公法线上，
动画链接1 、2、3、4
情形2：两构件不直接连接（三心定理）
三心定理：作平面运动的三个构件之间的三个速度
瞬心必定在同一条直线上。
VB2
B2
P21
A2’2
VA2 A2
P32 1
D V 3 作者：D潘3 存云教授
P13
VP24
P23 3 ω2
2 1
P34 4 ω4
P24 P12
P14
方向: ω4与ω2相同。
动画链接
相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
高副机构
已知构件2的转速ω2 ，求构件3的角速度ω3 。 求解过程:
用三心定律求出P23 。 求瞬心P23的速度 : VP23＝μl(P23P12)·ω2
结论:动瞬心线沿定瞬心线作无滑动的滚动。
4.4 共轭曲线与共轭曲线机构（自学）
构件1、2之间的速度瞬心 在点P
瞬心线S1是速度瞬心P 相对 于构件1的轨迹线。
瞬心线S2是速度瞬心P 相对 于构件2的轨迹线。 构件1曲线K1和构件2曲线K2 在点Q高副接触。 曲线K2包络了曲线K1的各个位置，
从运动学的角度来看，高副机构与低副机
构之间可以通过瞬心线或共轭曲线建立联系， 两者之间可以相互转换。这样的转换往往不是 唯一的。
4.5 在机构运动和结构分析中的高副低代
❖ 平面机构中高副低代的目的:
为了使平面低副机构结构分析和运动分析的方法适用 于所有平面机构，需要进行平面机构的高副低代。
例题：如图所示的带有一移动副的平面四杆机构中,
已知原动件2以角速度w2等速度转动, 现需确定机构
在图示位置时从动件4的速度v4。
求解过程：确定机构瞬心如图所示
P24 在P23、P34 连线和P12、P14 连线上。
P24 P23
v4 vP24 2 P12P24l
P14→∞
2
P12
ω2
3
P13
P12
V2＝V P12＝μl(P13P12)·ω1
n
长度P13P12直接从图上量取。
如图所示凸轮机构，设已知各构件尺寸和凸
轮的角速度w2，求从动件3的速度v3。
n
3
K
ω2
2
求解过程： 确定构件2和3的相对瞬心P23
V3＝V P23＝μl(P12P23)·ω2
P12 P23 n
1
动画演示1、2
称K2为包络曲线， K1为被包络曲线 vr 12 QP
共轭曲线：两高副元素互为包络的曲线
采用的共轭曲线的设计和制造方法
通常有两种：
❖利用已知的形成高副的一个构件的形状和相对
瞬心线，用包络的原理求出另一个构件的形状。 在齿轮齿廓的设计和制造中，通常采用的就是这 种方法；
❖利用已知的两个构件的运动规律和形成高副的
第4章 速度瞬心及其应用
4.1 速度瞬心的概念及其确定方法
4.1.1 速度瞬心的概念
在作平面一般运动的两个构件上，总可以找到一点， 在该点两构件的相对速度为零、绝对速度相同。
速度瞬心——两构件作相对运动
时，其相对速度为零时的重合点 称为速度瞬心，简称瞬心。
vA1A2 B
A
12 vB1B2
❖ 也就是两构件在该瞬时具有
4.瞬心法的优缺点：
①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因 瞬心数急剧增加而求解过程复杂。
②有时瞬心点落在纸面外。 ③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。
4.3 瞬心线和瞬心线机构(自学）
动画链接
定瞬心线：速度瞬心点相对于机架上的轨迹
动瞬心线：速度瞬心点相对于活动构件上的轨迹
由速度瞬心的概念可知：在机构的运动过程 中，动瞬心线上的每一点都有一个在定瞬心 线上相对应的点与之作无滑动的接触。
B P31
P21 、 P 31 、 P 32 位于同一条直线上。
确定瞬心小结
4.2 速度瞬心在机构速度分析中的应用
情形1：求线速度
已知凸轮转速ω1，求推杆的速度。
求解过程：
3
P23
∞
①直接观察求瞬心P13、 P23 。
②根据三心定律和公法线
n2
n－n求瞬心的位置P12 。
ω1 1 V2
③求瞬心P12的速度 。
VP23＝μl(P23P13)·ω3
n 2 2
P12 ω2 1
3
P23
ω3 P13
n
∴ω3＝ω2·(P13P23/P12P23)
VP23
方向: ω3与ω2相反。
相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。
3.用瞬心法解题步骤:
①绘制机构运动简图； ②求瞬心的位置； ③求出相对瞬心的速度; ④求构件绝对速度V或角速度ω。
相同绝对速度的重合点.
❖ 两构件在任一瞬时的相对运动都可看
2
P12 1
成绕瞬心的相对运动。
VA21 21 P21 A
动画演示1、2
相对瞬心
速度瞬心 绝对瞬心
相对瞬心－重合点绝对速度不为零，
两构件都运动的。
A
vA1A2 B 12 vB1B2
Vp2=Vp1≠0
2
P12 1
绝对瞬心－重合点绝对速度为零，两
E’3
VE3
3 E3
P31
动画演示
三心定律的证明
由速度瞬心的定义可知以：
vP23 vP32（大小、方向相等）Vk 21
vP23 21 P21P23 vP32 31 P31P32
∵ 21 // 31
∴ P21P23 // P31P32
K
2
21
A P21
1
Vk 31
3 31
4
v2
P34
情形2：求角速度
铰链机构
已知构件2的转速ω2 ，求构件4的角速度ω4 。 求解过程：①瞬心数为 6个
②直接观察能求出 4个 余下的2个用三心定律求出。
③求瞬心P24的速度 。 VP24＝μl(P24P12)·ω2
VP24＝μl(P24P14)·ω4
ω4 ＝ω2·(P24P12)/ P24P14
❖ 高副低代的含义:
根据一定条件对平面高副机构的中高副虚拟地用低 副来代替的方法。
❖ 高副低代的条件：
①代替前后机构的自由度不变； ②代替前后机构的瞬时速度和瞬时加速度不变。
高副低代的方法1
用一个含有两个低副的虚拟构件来代替高副，且两低 副位置分别在两高副两元素接触点处的曲率中心。
高副两元素均为圆弧
构件之一是静止构件。
Vp2=Vp1=0
情形1：两构件直接用运动副连接
Βιβλιοθήκη Baidu1 2
A（P12）
A 1B
2
n
1M t
t
2
P12
1 p12
M2
❖若两构件1、2以转动P1副2 相联接，则瞬心nP12位于转动副的中
心；
❖若两构件1、2以移动副相联接，则瞬心P12位于垂直于导
路线方向的无穷远处；
❖若两构件1、2以高副相联接，
高副元素为非圆曲线
高副两元素均为圆弧
高副低代的方法2
因其曲率半径为零，其中一 个转动副就在该点处。
因其曲率中心在无穷远处，则其 中的一个转动副变为移动副；
高副两元素之一为直线
高副两元素之一为一点
高副两元素之一为 直线
高副两元素之一为 一点
作业4-2,4-3,44
第4章结束
在接触点M处作纯滚动，则接触点M就是它们的瞬心，
在接触点M处有相对滑动，则瞬心位于过接触点M的
公法线上，
动画链接1 、2、3、4
情形2：两构件不直接连接（三心定理）
三心定理：作平面运动的三个构件之间的三个速度
瞬心必定在同一条直线上。
VB2
B2
P21
A2’2
VA2 A2
P32 1
D V 3 作者：D潘3 存云教授
P13
VP24
P23 3 ω2
2 1
P34 4 ω4
P24 P12
P14
方向: ω4与ω2相同。
动画链接
相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同
高副机构
已知构件2的转速ω2 ，求构件3的角速度ω3 。 求解过程:
用三心定律求出P23 。 求瞬心P23的速度 : VP23＝μl(P23P12)·ω2
结论:动瞬心线沿定瞬心线作无滑动的滚动。
4.4 共轭曲线与共轭曲线机构（自学）
构件1、2之间的速度瞬心 在点P
瞬心线S1是速度瞬心P 相对 于构件1的轨迹线。
瞬心线S2是速度瞬心P 相对 于构件2的轨迹线。 构件1曲线K1和构件2曲线K2 在点Q高副接触。 曲线K2包络了曲线K1的各个位置，