第二章行列式习题解答
线性代数第二章方阵的行列式
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
第二章行列式练习题
第二章行列式 练习题在本节中，设12...12...n i i i n 是的一个排列，h(k)表示该排列中位于k 后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k 前面且比k 大的数的个数。
1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:τ(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)=0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为:τ(217986354) = h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=9(91)2-=36所以此排列为偶排列. 2.选择i 与k 使1) 1274i 56 k 9成偶排列; 2) 1i 25 k 4897成奇排列.解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 8563 9)=10.当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 3568 9)=1=3. 故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列. 2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为: τ(1i25k4897 )=τ(132564897 ) = 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列.3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换. 解: 12435(1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341.4.决定排列n(n −1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性.τ(n(n −1)…21)=q(n) +q(n -1) + …+q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+…+n -1=(1)2n n -.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列. 5.如果排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序数为k ,排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序数是多少?解法1: 因为在12n ⋅⋅⋅中，比x 大的数有n −x 个,而这n −x 个数会出现在这两个排列中x 的前面，所以在这两个排列中，与x 构成逆序的数一共有n −x 个，于是，两个排列的逆序总数为12(1)(12)2n n n n x n x n x n n n --+-+⋅⋅⋅+-=⋅-++⋅⋅⋅+=. 而排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序为k, 所以排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序为(1)2n n --k.解法2：首先看第4题，排列n(n −1)…21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为2)1(2-=n n C n . 再同时考虑两个排列12n x x x ⋅⋅⋅和11n n x x x -⋅⋅⋅，对于任意两个元xi 和xj, 它们在这两个排列中必构成且只构成一个逆序，事实上，若这两个数在12n x x x ⋅⋅⋅中不构成逆序，则必在11n n x x x -⋅⋅⋅中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为2)1(2-=n n C n . 6.在6 阶行列式中,233142561465324314516625,a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号? 解：两者的符号均为“+”，因为τ(234516)+τ(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8. τ(341562)+τ(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10. 7．写出4 阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案
a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2
x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi
Di D
x1 x2
1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0
1 0 1
n
c1
i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0
行列式练习题及答案
行列式 练习题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。
（ ）2. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后共有n ！项。
（ ）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。
（ ）4. 行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 与其代数余子式ij A 符号相反。
（ ）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
（ ）6. 行列式与它的转置行列式符号相反。
（ ）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。
（ ）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。
（ ）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。
（ ） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。
（ ） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。
( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。
（ ） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。
（ ）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和为零。
（ ） 15. 齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则它仅有零解。
（ ）二、填空题1.=______x yyx -。
2.sin cos =______cos sin θθθθ-。
3. 123246=______345。
4．2-20310=______450。
5．=______a x xx b x x x c。
6. 211123=0______49x x x =，则。
7.222031,005D =-已知111213=______M M M -+则。
8．=______x y x y y x y x x y x y+++。
9．100110=______011001a b c d---。
10．222=______a b c a b c b c c a a b+++。
11. 已知21341023,15211152D =-则1323432=______A A A ++。
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
线性代数第二章习题解答
线性代数第二章习题解习题一A 组1.计算下列二阶行列式 （1）521-12= （2）012896= （3）2222ba ab b a b a-= （4）11112322--=++-x x x x x x2.计算下列三阶行列式（1）132213321=1+8+27-6-6-6=18 （2）5598413111=（3）7140053101-=- （4）000000=d c b a3. 当k 取何值时，10143k kk -=0.解：10143kkk -0)3(0)(02-----++=k k ， 得 0342=+-k k ， 所以 1=k 或 3=k 。
4.求下列排列的逆序数.解：(1) 512110)51324(=++++=τ. (2) 8142010)426315(=+++++=τ. (3) 21123456)7654321(=+++++=τ. (4) 1340423000)36715284(=+++++++=τ.5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解：(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列. (3) 是. 对应项为534531*********)1(a a a a a ）（τ-1021)24153(+++=τ 所以该项应取负号。
6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425(=+++=τ, 是奇排列.当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421(=+++=τ, 是偶排列. 所以 i = 1, j = 5.8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1)111212321-23043032123121----+-+-r r r r 620043032132-=--+-r r(2)6217213424435431014327427246-621721100044354320003274271000123c c c ++621721144354323274271103=.62110014431002327100110323c c +-621114431232711105=31212rr r r +-+-294002111032711105--=294105⨯(3)1111111111111111---820000200002011114,3,21-=---=+-i r r i(4) 1502321353140422-----15023213531402112-----=11203840553002112234413121-----+++r r r r r r11205100046100211223424-----+-+-r r r r 7130051000461002112242------+-r r 7130012004610211)5(2-----=02700120046100211)5(2743----+r r 27002100641020111043---↔c c 270-=.（5）y y x x -+-+1111111111111111y y y x x x c c c c --+-+-11011010110123412y y x x r r r r --+-+-00011000010124321 y y x x--=000110001010122320001000010101y x yy x xr r =--+（6）d c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a ++++++++++++++++++3610363234232cb a b a ac b a b a a cb a b a a dc b a i r r i 36103630234232004,3,21+++++++++=+-b a a b a ac b a b a ad c b a r r r r 373002000324232++++++-+-44300020003a ab a a cb a b a a dc b a r r =+++++-9.用行列式性质证明:(1) 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=333222111c b a c b a c b a证明: 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++33332222111123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-33322211112c b a c b a c b a c kc +-. (2) efcf bfde cdbdaeac ab---=abcdef 4 证明: ef cfbf de cd bdaeac ab---d c b e c b e c b abf ---的公因子提取各行111111111---abfbce 的公因子提取各列202001113121-++abcdef r r r r 20002011123--↔abcdef r r abcdef 4=. (3) yy x x ++++1111111111111111y x xy y x 222222++=证明: y y x x ++++1111111111111111=yy x x +++++++1110111101111011111y y x +++=1111111111111111 y y x x ++++111011*********y y x 0000000001111=y y x x +++++++110101101011101101 y y xx y y xxy +++++++=1010011001010101000000011101112yy x x y xx xy xy +++++=10001001001001100110011011022 y y x x y x x xy +++=100010010010000110011011022=+++=)1(2222y y x y x xy 222222y x y x xy ++. 10.解下列方程:(1)0913251323222321122=--x x解: 由2243212240005132320321129132513232223211x x r r r r x x ----+-+---22314000131032032112x x r r ------+-22221240001310332003211x x x r r x -------+2222340003320013103211x x x r r ------↔)4)(32(22x x ---= 得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .(2)0011101101110=x x xx解: 由=++++=+01110110122224,3,20111011011101x x x x x x x i r r x x x x i 0111011011111)2(x x xx + 111011*********)2(413121-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r xx xx x x x r r -------++10011010101111)2(43x x x x x x x x x x x x x x x r r x ------+=----+----++-100)1(0010101111)2(100)1)(1(10010101111)2()1(32xx xx x x ----⨯-+=1)1(1011)2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2)2)(2(x x x -+-= 得 0)2)(2(2=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x . 15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）⎩⎨⎧=+=+2731322121x x x x解：由系数行列式57332==D 172311==D 123122==D5111==D D x , 5122==D D x . (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-445222725 1243321321321x x x x x x x x x解: 由系数行列式 638701702112452181211245272524331212313=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D=--+-+---=41143786220124454722224131211c c c c D 63126002312545322442722521331212=---+-+-=r r r r D189107017703112452148131124522225143312123133=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D得 111==D D x , 222==D Dx ,333==DD x .16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=++--=+-+0320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3211151118137931------=D 47208144022198079313413121------+-+-+r r rr r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解.(2). ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=-++=+-0302430332022432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3015111104)1(2301511122)1(30015011313210221131214331321022********---+----=----+-+----=+rr r r r r D0131114≠=---=此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-0)2(504)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(25432+-=--=---=--=λλλλλλλλD其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.习题二A 组1.计算下列矩阵的乘积.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131.解： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯+-⨯=12111577251253)2(22)1(113)1()2(1231133)2(1. （2）()0111132=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214.解： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10316665350021161167923. （4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x =233322222111x a x a x a +++212112)(x x a a ++313113)(x x a a ++323223)(x x a a + 2. 计算下列各矩阵:(1) 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--. 解： 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=81267⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8423.（2）2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 解: 2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡433349447 (3) n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011.解： n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001=nn n nn n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0010001010012)1(001010011001221+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000n n , 其中 20010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000010n. (4) n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001 解： n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001=n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010000000λλλn⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010100010001λ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 222110001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n n n n n n λλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000002)1(0000000000000002n nn n n n n n n n λλλλλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-nn nn nnn n n n λλλλλλ0002)1(1其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001000001000102,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000001000100001000103n. 5. 证明：对任意n m ⨯矩阵A ，A A T与TAA 都是对称方阵；而当A 为n 阶对称方阵时，则对任意n 阶方阵C ，AC C T 为对称方阵.证明： （1）A A T为n 阶方阵， 又A A A A T T T =)( A A T∴为n 阶对称方阵同理TAA 为m 阶对称方阵（2）AC C T为n 阶方阵， A 为n 阶对称方阵 A A T=∴ 又 AC C AC C T T T =)(AC C T∴为n 阶对称方阵6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1)(.且 A CA C =- 即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1)(. 得 E AB B C B =-=-.8.（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=122341213A解：25=A 1011=A 521=A 531-=A712-=A 122-=A 1132=A 613-=A 823-=A 1333=A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1386111755102511A9. 解下列矩阵方程: (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛23123512X 解: 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251335121,得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1161923122513231235121X .(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 解: 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--01010000102110234110000101001010000102110234110000101011X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012010100001021341102, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012X .11. 设 B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2,011002100, 求.B解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+因 01622)(3≠-===+=+A A B E A B E A1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1⋅+=-由 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−+--31322211310001000121626404200200210101321231332r r r r r r r所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅+=-31322211132)(1A E AB .12.设B A ,均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明： （1） 若,AB B A =+ 则E A -可逆；（2） 若O E A A =+-432 则E A -可逆，并求-1）（E A -. 解: （1）由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,所以 E A -可逆,且E B E A -=--1）（. （2）由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且A E E A E A 21)2(211--=--=-）（. 14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1100210000230012A , 求 4,AA 及1-A . 解: 33111212312=⨯=---=A ,由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-48-7-11-2197168-56-9723-1-244，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7400870000971680056974A . 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-13111-21231223-1-2-1-1，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31310032-3100002300121-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02-112321-1A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛+-+-100010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r16.求下列各矩阵的秩：（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=61331311405133312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔3312311405136133141r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-152970275313018348061331243413121r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-152970275313035106133124r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-+-66001212003510613317134232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→1212006600351061331⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→00006600351061331 所以3)(=A R 17.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a B 111211，且矩阵AB 的秩为2，求a解：因为2)(=AB R ，所以B A AB ==0 又因为0≠A ， 所以0=B 即01=+-a 1=⇒a。
线性代数 北京理工大学出版社 习题解答
第一章 行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解n 阶行列式的概念和n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n 阶行列式；4. 掌握行列式的根本性质，会利用“化三角形〞方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行〔列〕展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法那么，了解未知量个数与方程个数一样的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法那么讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式： (5)22322211(1)(1)1;1x x x x x x x x x x -=-++-=--++ 2．计算三阶行列式：(2) 10135050(12)0007;041-=++----=-3．求解方程34100.01x D x x =-=解 2341043(1)(3)0,01x x x x x x x -=-+=--=由故原方程的解为.31==x x 或4．用行列式解以下方程组：(1)1212323,43 1.x x x x -=⎧⎨-+=-⎩ (2)12312312320,21,2 3.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩解(1) =D 329810,43-=-=≠-1D =32927,13-=-=-=2D333129,41=-+=-- 故所求的方程组有唯一解：127,9.x x ==(2) =D 12121122211880,112-=-+-++-=-≠-=1D 4213111120=--，=2D 4231112101=，=3D 12021112,113-=--故所求的方程组有唯一解：.23,21,21321=-=-=x x x6. 当x 取何值时，23130.123x x ≠解 223133963(1)(2)0,123x x x x x x =-+=--≠由 解得.21≠≠x x 且§1.3 n 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子3422a a 的项.解 利用n 阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子3422a a 的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为4311a a 和4113a a .又因为(1243)1τ=，(3241)4τ=，所以四阶行列式中含有因子3422a a 的项为(1243)11223443(1)a a a a τ-和(3241)13223441(1)a a a a τ-，即11223443a a a a -和13223441a a a a .3. xx x x xx f 21123232101)(=，用行列式的定义求3x 的系数.解 )(x f 的展开式中含3x 的项只有一项：(2134)3(1)1x x x x τ-⋅⋅⋅=-，故3x 的系数为1-.4. 利用行列式的定义计算以下行列式:(2)244321)1(0400000300201000)4213(=⨯⨯⨯-=τ; 解析 由n 1行只有一个非零元素1，先取114=a ，那么第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取222=a ，那么第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取331=a ，那么第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取443=a ，那么行列式的结果为244321)1(43312214)4213(=⨯⨯⨯=-a a a a τ;补充练习1. 由行列式的定义写出xxxx x x D 221321213215=的展开式中包含3x 和4x 的项.解 D 的展开式中含4x 的项只有一项4)1234(1025)1(x x x x x =⋅⋅⋅-τ，而含3x 的项有两项(2134)(1)12x x x τ-⋅⋅⋅和(4231)(1)3x x x τ-⋅⋅⋅，从而展开式中含3x 的项为：333)4231()2134(5323)1(21)1(x x x x x x x x x -=--=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-ττ.行列式的性质1. 利用行列式的性质计算以下行列式：(2) 111111111ab ac ae bdcd de abcdef bf cf ef ------=--------2131111002022r r abcdef r r --+-+--231110224;002r r abcdef abcdef --↔---=--(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.311166661111111113111311131102006648;11311131113100201113111311130002==== (4)21312341(3)121212121212(1)(1)3011064702391204041204122241100130013r r r r r r r r +----+-+---------+-----4332121212121()(2)02390239510.005200052000130001r r r r --+-+-----=-----2. 证明以下等式：〔2〕0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;〔3〕0111111111332313322212312111=+++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x ; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)2144690(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++; (3) 由性质4，将D 的第1列拆开，得+++++++=332332223121111111111y x y x y x y x y x y x D 332313322212312111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++, 将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取1y ，得+=332332223121111y x y x y x y x y x y x D 3323332222312111111111y x y x x y x y x x y x y x x y ++++++，将第1个行列式第2、3列提取32,y y ，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，+=33221132111x x x x x x y y D 1113112112131222322222223333333233233111111111111x x x y x x y x x y x y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x y ⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭000=+=;3. 计算以下n 阶行列式.(1)xx x111111; (2)n222232222222221;解 (1)把第n ,,3,2 列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子)1(-+n x ，提取公因子之后，再给第1行乘以)1(-加到第n ,,3,2 行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.11(1)1111111(1)111[(1)]11(1)111x x n x x n x x x n xx n xx+-+-==+-+-1111010[(1)][(1)](1)01n x x n x n x x --=+-=+---;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得122222222232222n=2-000010022220001-n)!2(22-000010022200001--⋅-==n n ; 4. 求方程01111111111111111=++++λλλλ的根.解 第1行乘以)1(-加到第4,3,2行，得如下行列式:111100,0000λλλλλλλ+---再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.34111000(4),000000λλλλλλ+=+即可求出根:40-==λλ或.补充练习2. 行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求行列式332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------的值.解 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------3323132313322212221231211121113332a a a a a a a a a a a a a a a ------= +---=3323231332222212312121112a a a a a a a a a a a a 3323131332221212312111113332a a a a a a a a a a a a ------ +=2323132222122121112a a a a a a a a a 3323133222123121112a a a a a a a a a ---=11121321222331323324a a a a a a a a a -=-.§1.5 行列式按行〔列〕展开1. 求行列式204502311--中元素5与2的代数余子式. 解 元素5的代数余子式为212104(1)4,11A +=-=--元素2的代数余子式为232320(1) 2.31A +-=-=--2. 四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解 由行列式按行〔列〕展开定理，得3131323233333434313233344(1)23(1)10(1)(1)(2)(1)4830813.D a A a A a A a A ++++=++++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯=-++= 3. 求以下行列式的值〔2〕1234101231101205---3141(1)(2)c cc c +-+-1222100031461217-----212221(1)146217+=⨯------2131(1)(1)c c c c +-+-2135239------11352(1)24;39+--=-⨯-=---〔3〕所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得231111122(21)(21)(22)(1)(2)[(2)]14418812(1)(2)(2).xx x x x xx x x -=----------=--+4. 讨论当k 为何值时，行列式11001200003003k k k≠. 解1100120003003k k k21(1)c c +-10001120003003k k k-111201(1)0303k k k+-=⨯- 113(1)(1)(1)(3)(3),3k k k k k k+=-⨯-=--+所以，当1k ≠，且3k ≠，且3k ≠-时，11001200003003k k k≠. 5. 计算n 阶行列式 (3)按第1列展开，得112111000012100012002(1)(1),000210012n n D D ++-=-+-上式右端的行列式再按第一行展开，得122,n n n D D D --=-移项，得 112n n n n D D D D ----=-， 递推，得 11223212121,12n n n n n n D D D D D D D D ------=-=-==-=-=从而得112211,1,,1,n n n n D D D D D D ---=+=+=+把上面1n -个等式相加，得1121 1.n D D n n n =+-=+-=+7．设四阶行列式4,a b c d c b da D dbca ab dc =试求14243444A A A A +++的值，其中4i A 〔1,2,3,4i =〕为行列式4D 的第4列第i 行的元素的代数余子式.解 根据行列式按行〔列〕展开定理的推论，有12142224323442440,a A a A a A a A +++=即 1424344414243444()0,bA bA bA bA b A A A A +++=+++=142434440.A A A A +++=§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法那么解线性方程组〔3〕1234123423412321,22,233,5.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩解：2111121101231110D --=2414(1)(2)r r r r +-+-4101311310121(1)121180,0123123111+-----=--=-≠ 所以方程组有唯一解. 又11111221118,3123511D --==-22111121136,0323151D --==-32111122136,01331150D ==-42111121218,01231115D --==所以方程组的解为1118118D x D -===-， 2236218D x D -===-， 3336218D x D -===-，4418118D x D ===--.2．λ满足什么条件时，线性方程组1231231231,32,31,x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 有唯一解？解 由克莱姆法那么知，当系数行列式0D ≠，线性方程组有唯一解，1113113D λλ-=--1232(3)r r r r ++-2312012131(1)2(51),38380λλλλλ++-+--=-=-+--当0D ≠时， 2(51)0λ-+≠，即当15λ≠-时，题设的线性方程组有唯一解.3．当k 为何值时，齐次线性方程组12312312320,0,4550,x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，2111455kD k -=--12325r r r r ++232102111(1)(1)(54),5405400k k k k k k k k k ++-+--=-=-+++由0D =得：1k =，45k =-. 4．α和β为何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20,x x x x x x x x x αββ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，1111121D αββ=2131(1)(1)r r r r +-+-131111110(1)(1),1211210ααβαββααβαβ+----=-=-----由0D =得：0β=或1α=.即当0β=或1α=时，方程组有非零解.5．求二次多项式2()f x ax bx c =++，使得(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-. 解 由(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-，得2,10,42 5.a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩要求二次多项式需要求出系数,,a b c ，即要求出上述非齐次线性方程组的解. 由其系数行列式11111160,421D =-=≠121110116,521D -=-=-2121110136,451D -==--3112111018,425D -=-=-从而11D a D ==，26Db D==-，33D c D ==.即所求的二次多项式为2()63f x x x =-+.补充练习2．系数1234,,,(1,2,3,4)i i i i a a a a i =满足什么条件时，四个平面12i i a x a y ++340i i a z a +=(1,2,3,4)i =相交于一点〔000,,x y z 〕？解 把平面方程写成如下形式12340i i i i a x a y a z a t +++=，〔1t =，1,2,3,4i =〕，于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组111213142122232431323334414243440,0,0,0,a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有一非零解〔000,,,1x y z 〕.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式0D =，即四个平面相交于一点的条件为111213142122232431323334414243440.a a a a a a a a a a a a a a a a =3．设平面曲线32y ax bx cx d =+++通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，求系数,,,a b c d .解 由平面曲线通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，得0,8422,27932,6416418.a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数,,,a b c d .111184211227931641641D ==， 又101112421122931181641D -==，2101182213627231641841D -==-，3110184210279216416181D -==， 4111842224,279326416418D -==从而11D a D ==，23D b D==-，30D c D ==，42Dd D ==.第二章 矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
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第二章行列式习题解答
1.决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：
1）134782695；
解：，偶排列；
2）217986354；
解：，偶排列；
3）987654321；
解：，偶排列.
2.选择与使
1）成偶排列；
解：与一个为3，另一个为8，而是奇排列，由对换的性质因此有；
2）成奇排列.
解：与一个为3，另一个为6，而是奇排列，因此有.
3.写出把排列变成排列的那些对换.
解：
4.决定排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解：1与其他数构成个逆序，2与其他数构成个逆序,与其他数构成2个逆序，与构成1个逆序，故
.
当或（为正整数）时，排列为偶排列；当或（为正整数）时，排列为奇排列.
5.如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？
解：中任意两个数码与必在而且仅在两个排列或中之一构成逆序，个数码中任取两个的不同取法有
个，因此两个排列的逆序总数为，所以排列的逆序数为.
6.在6级行列式中，这两项应带有什么符号？
解：，因此项带正号；
，因此项带正号.
7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子的项.
解：因为，因此所求的项为
.
8.按定义计算行列式：
1）； 2）；
3）.
解：1）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.
2）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.
3）该行列式含有的非零项只有，带的符号为
，值为，因此原行列式等于.
9.由行列式定义证明：
.
证明：行列式的一般项为，列指标只能在1,2,3,4,5中取不同值，故中至少有一个要取3,4,5中之一，而
从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.
10.由行列式定义计算
中与的系数，并说明理由.
解：行列式元素中出现的次数都是1次的，因此含项每一行都要取含的,因此含项仅有，其系数为2，符号为正，的系数为2.类似的含项仅有，其系数为1，符号为负，的系数为.
11.由
，
证明：奇偶排列各半.
证明：行列式每一项的绝对值为1，行列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数.由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列指标排列的奇偶性所确定，奇排列时带负号，偶排列带正号.因此奇偶排列各半.
12.设
，其中为互不相同的数.
1）由行列式定义，说明是一个次多项式；
2）由行列式性质，求的根.
解：1）在行列式中只有第一行含有，出现最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此是一个次多项式；
2）用分别代，均出现了两行相同，因此行列式为0.即为的全部根.
13.计算下面的行列式：
1）； 2）；
3）； 4）；
5）； 6）.
解：1）该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，因此可以先把第2列和第3列分别加到第1列，然后第2列减去第3列后可得
.
.
3）
4）
.
5）显然当或时均有两行元素相同，因此行列式为0.当时
6）
.
14.证明：
证明：
15.算出下列行列式的全部代数余子式：
1)； 2）.
解：1）
. 2）
16.计算下面的行列式
1）
17.计算下列级行列式：
1）； 2）
3）；
4）； 5）.
解 1）按第一列展开得
也可以按定义计算，非零项只有两项及值分别为和，符号分别为和，因此原行列式=
2）解：当时，行列式等于；当时
原行列式；当时，从第二列起，每一列减去第一列得：
原行列式=
3）解：从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得
4）解：从第二行起每一行减去第一行，然后交换1,2两行后化为三角形得：
.
也可以除第2行外，每一行都减去第2行，然后化为三角形计算.
5)
解：从第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展开得到：
.
18.证明：
1）
证明：从第2列起，每一列的倍加到第一列即可得：
2.
证明：当时结论显然成立，当时，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次类推可得：
证法二：按最后一列展开即可得.
证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明.
证法四：从最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展开可得：
3）
解:原行列式按第一行展开得:.因此有
,
即是以为首项,以为公比的等比数列.因此有
.
类似有.当时,解得.
证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明.
4）
证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明.
当时，，因此结论成立.
假设当级数小于时结论成立，对级行列式按最后一行展开得：
由数学归纳法，结论成立.
注意：因为主对角线上第一个元素为，其它主对角线上元素为，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无法得到与之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系.
5）
证明：从第二行起，每一行减去第一行先化为爪形行列式，再三角化
19.用克拉默法则解下列线性方程组：
1）2）
3）4）解：1）系数行列式
故方程组的解为：
2.
故方程组的解为：
3）
故方程组的解为：
4）
,
20.设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域上的多项式
使
证明：设，由得：
把它看成关于的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式，由互不相同可得系数行列式不为0，由克拉默法则，方程组解唯一，即满足的多项式唯一.
21.设水银密度与温度的关系式为
由实验测定得以下数据：
t
h 13.60 13.57 13.55 13.52
求时水银密度（准确到小数2位）.
解：将实验数据代入关系式得：
整理后得满足的方程组为：
系数行列式
.
故
当，当时，
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