高等代数作业 第二章行列式答案word版本
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
线性代数第二章习题答案
第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换． 解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换． 解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z因此有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111111A ,,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算以下乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明以下命题是错误的: （１）假设02=A ,那么0=A ;（２）假设A A =2,那么0=A 或E A =; （３）假设AY AX =,且0≠A ,那么Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠.7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,那么1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 第一观看⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，那么1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =那么 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T = B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT=⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求以下矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2) 01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解以下矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;(3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122(3)11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解以下线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k=(k 为正整数), 证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=- 两头同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 知足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两头同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 因此A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由OE A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。
湖州师范学院高等代数第二章 行列式
二、n 级行列式的等价定义
a11 a12 L a1n
D
a21 a22 L LLLL
a2n
(1) (i1i2L in ) ai1 a1 i2 2 L ainn
an1 an2 L ann i1i2L in
这里 表示对所有1、2、… 、 n的n级排列和．
i1i2L in
证明：按行列式定义有
定理1
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．
证明 1) 特殊情形：作相邻对换 设排列为
a1 al abb b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm 除a ,b 外，其它元素所成逆序不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序增加1个 , b 所成逆序不变; 当a b时，
2 (3) (1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
a1 j1a2 j2 L anjn
(1)
的代数和，这里 j1 j2L jn 为 1,2,L ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号：
当 j1 j2L jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2L jn 为偶排列时（1）带正号；
即
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
LLLLL
证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列（逆序数为0）, 因此知结论成立.
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
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以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
高等代数学答案02
2. 例 2.65. 3. 例 2.66. 4. 例 2.69.
复习题二
3. 由 A 非异, 则 AA−1 = A−1 A = In , 故直接计算可得 Ak (A−1 )k = (A−1 )k Ak = In . 4. 两边左乘 A−1 ; 两边右乘 A−1 . 5. 沿着这一行 (列) 展开求方阵的行列式显然值为 0, 故为奇异阵. 6. 由 Am = O , 得 (In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1 ) = (In + A + A2 + · · · + Am−1 )(In − A) = In . 7. 由于 B (A + B )−1 A(A−1 + B −1 ) = In , 故 A−1 + B −1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In )(A − In ) = O . 又 In + A 非异, 故 A − In = O , 即 A = In . 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In , 即 (A + In )(A − 2In ) = −2In , 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In )(A − 2In ) = In , 故 A − 2In 非异.
7 30. 例 2.24. 31. 例 2.25 (3). 32. 例 2.26. 33. 例 2.10 (1). 34. (1) 例 2.36; (2) 例 2.37. 35. 例 2.3. 36. 例 2.32. 37. 例 2.33. 38. 例 2.34. 39. 例 2.35. 40. 例 1.39. 41. 例 2.70 的直接推论. 42. 例 2.71. 43. (1) 例 2.57; (2)2.3.2 训练题解答题 9. 44. 2.3.2 训练题解答题 10. 45. 例 2.48. 46. 例 2.63. 47. 例 2.61. 48. 类似例 2.52, 作多项式 f (x) = a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 , 令 ϵ1 , ϵ2 , · · · , ϵn 是 −1 的所有 n 次方根. 又令 V = ··· ··· ···
《高等代数》第二章习题及答案
习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答 只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵． 解 设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证 已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．） 解 不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证 充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换． 证 因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证 已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证 设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证 令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证 由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解 如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的． 如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证 当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证 若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证 先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3． 解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证 如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00， 从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
线性代数第二章习题解答
线性代数第二章习题解答1．设212292313,163112221A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 求2,,,|2|T A B AB A B A B -++．解 2122922172231321635133112221554A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---=- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭；212292116531316312761122211193AB =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2312924123111163052232221051TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=-+--=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122926116|2|2313163549237112221003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=+--=-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．2．计算解 (1) 121161232621410-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2) 210312900112324090121351009-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3) ()31232101⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭；(4) ()336921232461123⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(5) ()()1111112103210511310422-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．已知3100()234,110011f x x x A ⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎝⎭，求()f A ．解 因为100110011A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭，所以3100100100100110110110110011011011111A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3()34f A A A+E ==-10010013001103110411501110111213⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．已知矩阵100100a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，求nA ．解 设矩阵010001000B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，000000a aE a a ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，则A B a E =+．而2001000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，30B =，所以0(2)k B k =>．又()k k aE a E =，故 1()()()()n n n n n A B aE aE B aE n aE B -=+=+=+1222122210000()000000000n n n n n n n n n n n a na C aE B a E na B C a B a na a -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12222100000000000n n n n nn n n n a na a C a C a na a ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 5．求下列矩阵的逆矩阵． 解 (1) 因为()1234的行列式为1246234=-=-，()1234的伴随矩阵是()4231--，所以()11234-=()211423131222-⎛⎫- ⎪-=-- ⎪⎝⎭． (2)因为221124582-⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭的行列式为22112454582--=-，221124582-⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭的伴随矩阵是3612618991866--⎛⎫ ⎪- ⎪--⎝⎭，所以12213992213612611111241899543665821866111399-⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭． (3) 因为123011102⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭的行列式为1230113102-=-，123011102⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭的伴随矩阵是245111121--⎛⎫⎪-- ⎪-⎝⎭，所以124533312324511110111113333102121121333-⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-=---=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎪⎝⎭． (4) 因为1000120024301264⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的行列式为24，1000120024301264⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的伴随矩阵是240001212003216804830126⎛⎫⎪- ⎪- ⎪--⎝⎭，所以11000112002430241264-⎛⎫ ⎪=⎪- ⎪⎝⎭240001212003216804830126⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪--⎝⎭100011002242103335112424⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭． 6．解下列矩阵方程 (1)()()25461321X =;解 因为()()125351312--=-，所以给方程()()25461321X =两边同时左乘()12513-得，()()()3546213122104X -==--．(2) 110241120120313102011002041X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；解 因为1110210120110011111--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，124128111313643200020010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以1111012024121012028111120102313110102643200110410021110410010X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪==----= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11219105203275510962555⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭． 7．设A 为三阶矩阵，12A =， 求*15(2)A A --．解 *1111113155(2)5||(2)(2)|2|2||82162A A A A A A A A A --------=-=-===⨯=8．设110011101A -⎛⎫⎪=- ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B ．解 由2AB A B =+得，2AB B A -=，即(2)A E B A -=．因为1102011101A E --⎛⎫⎪-=-- ⎪--⎝⎭，而|2|2A E -=-，所以2A E -是可逆矩阵，且11111(2)1112111A E --⎛⎫ ⎪-=--- ⎪-⎝⎭．故11111100111(2)1110111012111101110B A E A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=----=- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．9．设A 是n 阶矩阵，220A A E --=，证明,2A A E +都可逆，并求,2A A E +的逆矩阵． 证明 因为220A A E --=，()2A A E E -=，()2A E A E -=，所以A 可逆，且 12A E A --=． 因为220A A E --=，22A E A +=，而A 可逆，所以22A E A +=可逆，且12(2)A E A --+=2222232444A E A A E A E A E E A --++-+-⎛⎫==== ⎪⎝⎭． 10．设 210032000052021A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，求3A ． 解 因为3212615324526⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，35216970217029⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以32615004526000016970007029A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．11． 利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵．(1) 1000120021301214A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭解 因为11011020111211222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11013040314131112124-⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭，而 11111100302110212631114121212151122824124--⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以 1100011002211102631511824124A -⎛⎫⎪-⎪ ⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎪⎝⎭． (2) 解 2100320000520021A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，12100320000120025A --⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪-⎝⎭．12．设A 是n (1)n >阶矩阵，证明 *1||||n A A -= ． 解 分两种情况讨论：1) ||0A =．若0A =，则*0A =．故*1||||n A A -= ．若0A ≠，假设*||0A ≠，则*A 可逆．因为*0A A =，所以**1()0A A A A -==，矛盾，故*||0A =，因此*1||||n A A -= ．2) ||0A ≠．因为*||AA A E =，*||||||AA A E =，*||||||n A A A =，而||0A ≠，所以*1||||n A A -= ． 13．设,A B 都是n 阶矩阵，且A B AB +=，证明A E -可逆；如果313035003B ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，求A E -的逆矩阵．解 因为A B AB +=，0AB A B --=，所以()()A E B E E --=．故A E -可逆，且1()A E B E --=-．如果313035003B ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭，那么1213()025002A E B E -⎛⎫⎪-=-= ⎪⎝⎭．14． 求下列矩阵的等价标准形．(1) 2132312213122121120100100120001001010240000000000c c c c c r r r r r r --↔↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)31214223113431134311343335413354100488223200036600366334210012200122r r r r r r ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21232314241351134143311343113431000000122001220012200122000000000000122000000000c c r r r c c r r c c r c c +-+-++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---−−−→−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭432353221000010000001000100000000000000000000000c c c c c c +↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．(1)111310120-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭； 解 因为3132223213111100111100111100310010023310011101120001011101005512r r r r r r r r +-↔----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→--−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21213153312211100100055551111001313011101010001005555121212001100110011555555r r r r r r r --+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→-−−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以 1210551111331005512012155-⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭． (2) 101212112⎛⎫⎪- ⎪-⎝⎭；解 因为322131321310110010110010110021201001421001421011200101110111001133r r r r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎝⎭13234111000331401023311001133r r r r -+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭， 所以 1110331011421223311211133-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭． (3) 12010********121⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭ 解 因为3132212011000120110001201100002210100022101000221010012110010041010100032121001210010121000101210001r r r r -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3443244224221201100012011000012100010100010100321210001113120021010200210102r r r r r r r r r r ++↔-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−−→−−−→−−−→⎪ ⎪--- ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭3412142120110001200372610003928010001010100010101000101001113120010141400101414000127260001272600012726r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭112013928022101011211141401212726---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪⎪----⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭16．求下列矩阵的秩(1) 123112215A ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭解 因为2321312123123123112031031215031000r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以r()2A = ． (2)21312312004311113421A -⎛⎫ ⎪-= ⎪- ⎪--⎝⎭解3112212213122131212112312001211221312431110553305533134211342113421r r r r r r -↔------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪------- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭322141422121121211212112055360553605536055330000300003055310000500000r r r r r r r r +------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---−−−→−−−→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以r()3A = ．。
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学习资料 仅供学习与参考 高等代数第四次作业
第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5
2．四阶行列式44ijaD中,含24a且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,aaaaaaaaaaaa
3．设.212222111211daaaaaaaaannnnnn则._____122122211121nnnnnnaaaaaaaaa (1)2(1)nnd
4．行列式11111111x的展开式中, x的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√
2. 设d=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211则121112222121nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL=d（ ）×
3. 设d= nnnnnnaaaaaaaaa212222111211则daaaaaaaaannnnnn112112122221（ ）× 4. abcdzzzdyycxba000000 ( ) √ 5. abcddcxbyxazyx000000 （ ）× 6. 0000000yxhgfedcba （ ）√ 7. 如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D的元素都是自然数，则D的值也是自然数。（ ）×
9. nnaaaaaa2121 （ ）× 10. 000100002000010nn=n！ （ ）× 三、选择题 学习资料 仅供学习与参考 1．行列式01110212kk的充分必要条件是 ( ) D （A）2k （B）2k （C）3k （D）2k或 3 2．方程093142112xx根的个数是( )C （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A （A）665144322315aaaaaa （B）655344322611aaaaaa （C）346542165321aaaaaa （D）513312446526aaaaaa 4. n阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 A
（A）2!n （B）22n （C）2n （D）2)1(nn 5．若(145)11243455(1)klklaaaaa是五阶行列式的一项，则lk,的值及该项的符号为( )B （A）3,2lk，符号为正； （B）3,2lk，符号为负； （C）3,1kl，符号为正； （D）1,3kl，符号为负
6．如果0333231232221131211MaaaaaaaaaD，则3332312322211312111222222222aaaaaaaaaD = ( )C （A）2 M （B）－2 M （C）8 M （D）－8 M 7．如果1333231232221131211aaaaaaaaaD，3332313123222121131211111232423242324aaaaaaaaaaaaD ，则1D ( )C （A）8 （B）12 （C）24 （D）24 四、计算题
1． 计算3214214314324321
解：3214214314324321321421431432111110123012101210111110440004001210111110400004001210111110=160 2. 计算3111131111311113. 学习资料
仅供学习与参考 解：3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263 高等代数第五次作业 第二章 行列式 §5—§7 一、填空题 1. 设ijijAM,分别是行列式D中元素ija的余子式,代数余子式,则._____1,1,iiiiAM 0
2. 122305403 中元素3的代数余子式是 .6
3. 设行列式4321630211118751D，设jjAM44,分布是元素ja4的余子式和代数余子式， 则44434241AAAA = ，44434241MMMM= .0,66 4. 若方程组02020zykxzkyxzkx 仅有零解，则k . 2 5. 含有n个变量，n个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0 二、判断题 1. 若n级行列试D中等于零的元素的个数大于2nn，则D=0 （ ）√
2. 222)(00000000abbaabbaab （ ）√ 3. 222)(00000000baabbaabba （ ）√
4. 0dbacdbcabdcabdac （ ）√ 5. 483111131111311113 （ ）√ 6. )(000000hxgyayhfdxgecba （ ）× 7. 0107310111187654321 （ ）√ 三、选择题 学习资料 仅供学习与参考 1. 行列式102211321的代数余子式13A的值是( )D （A）3 （B）1 （C）1 （D）2 2．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D （A）行列式主对角线上的元素全为零 （B）行列式主对角线上有一个元素为零 （C）行列式零元素的个数多于n个 （D）行列式非零元素的个数小于n个
3．若111111111111101)(xxf，则)(xf中x的一次项系数是( )D （A）1 （B）1 （C）4 （D）4 4．4阶行列式4433221100000000ababbaba 的值等于( )D （A）43214321bbbbaaaa （B）))((43432121bbaabbaa （C）43214321bbbbaaaa （D）))((41413232bbaabbaa
5．如果122211211aaaa，则方程组 0022221211212111bxaxabxaxa 的解是( )B
（A）2221211ababx，2211112babax （B）2221211ababx，2211112babax （C）2221211ababx，2211112babax （D）2221211ababx，2211112babax 6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B （A）3 （B）7 （C）–3 （D）-7
7．如果方程组 050403zykxzyzkyx 有非零解，则 k =( )C （A）0 （B）1 （C）－1 （D）3 四、计算题
1. 计算D=100110011001aaaa
解：方法1： 100110011001aaaa21rraaaa10011000101121raraaaaa1001100100112 学习资料
仅供学习与参考 32rr
aaaaa1000101100112232(1)raraaaaaa100120011001123
=aaaa11223=.13)1()2(2423aaaaaa 方法2：将行列式按第一行展开，有： 100110011001aaaa
=1011011010101aaaaaa=1]01111[2•aaaaaa
=1])1([22aaaaa.1324aa
2. 计算12125431432321nnnDn
解：12125431432321nnn121)1(254)1(143)1(32)1(21212121nnnnnnnnnn121125411431321)1(21nnnn
111011101110321)1(21nnnnn
111111111)1(21nnnnn
)1()1(0000111)1(121212)1(nnnnnnnnn
3. 计算6427811694143211111 学习资料
仅供学习与参考 解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(12
4. 计算nD12111111111naaaLLMMML 解：nD12111111111naaaLLMMML naaa110110112112111111+111aaLLMMML 1211nnnaaaDa).11(121niinaaaa
5. 解方程：22x9132513232x213211=0.
解：22x9132513232x213211=223310131000103211xx=223310131000103211)1(xx• =223300130000103211)1(xx•=224000130000103211)1(xx•=223(1)(4)xx .2,1x 五、证明题
1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa
证明：
4343
323221
2222
22
222222
22222
2
222222
1232123252122123212325212221232521221232123252122123ccccccccccaaaaaaaaaabbbbbbbbbbccccccccccdddddddddd