高等代数作业第二章行列式答案
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
行列式课后练习及答案
0
0 0 0 0 0 0
0 解：Dn (1)
n ( n 1) 2
0 0 0
0 0
0 0
...............................
0
(1)
n ( n 1) 2
[ n ( 1) n 1 n ]
[ n 1 (1) n 1 n 1 ] (1)
2.若
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 有非零解, 则 = 2或5或8 . 2 x1 (4 ) x3 0
5
x1 x2 x3 x4 5, x 2 x2 x3 4 x4 2, 3. 1 2 x 3x x3 5 x4 2, 的解是否唯一? 3x1 x 2 1 2 2 x3 11x4 0
答案：1.行列式概念的引进课后作业
a11
1. a21
a12 a22 a32 4 3 6 1 0 0 3 5
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
a31 1 3 1 3
2. 5 2 1 80
(1 a) x1 x2 xn 0, 2 x (2 a)x 2x 0, 2 n 4.设齐次线性方程组为 1 (n 2) , 若其有非零解, nx1 nx2 (n a)xn 0.
则 a=
n(n 1) 或a 0 2
x1 2 x2 x3 1, 5.用克莱姆法则求解 2 x1 3x2 x3 0, 4 x 7 x 2 x 2. 2 3 1
高等代数2.1-引言
联合收入问题
R,S,T三公司有右 三公司有右 图股份关系。 公司 图股份关系。R公司 拥有T公司60%股份 公司60%股份， 拥有 公司60%股份， 公司掌握R公司 T公司掌握 公司 20%股份 ，R,S,T 股份…， 股份 各自营业净收入分别 10、 万元。 是10、8和6万元。求 各公司联合收入及实 际收入。 际收入。
+
15/27
例2．求 n 级排列 135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42 ． 的逆序数. 的逆序数.
方法一
解：135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42
12
n1
n1
1
τ = 1 + 2 + + (n 1) + (n 1) + + 2 + 1 = n(n 1)
16/27
19/27
定理1 定理
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 特殊情形： 设排列为
a1 al ab b1 bm ab
对换 a 与 b
a1 al ba b1 bm
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2 ;
4/27
类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2;
（a11a22 a12a21）x2 = a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 ≠ 0 时， 原方程组有唯一解
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变. 其它元素所成逆序不改变
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数作业第二章行列式答案高等代数作业第二章行列式答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII高等代数第四次作业第二章行列式§1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44?=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =则._____122122211121=n n nn n n a a a a a a a a a(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√2. 设d =nn n n nna a a a a a a a a 212222111211则121112222121n n n nnn a a a a a a a a a =d （）×3. 设d =nnn n n na a a a a a a a a 212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221（）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x -=000000 （）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。
（）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。
（）×9.n na a a a a a 2121= （）×10. 010002000010nn -=n ！（）×三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a（C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a aa a4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）3,1k l ==，符号为正；（D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1．计算32142143143243213 2142143143243213 21421431432111110 =123012101 210111110------=4 40004001 210111110---=400004001 210111110---==1602. 计算311113111131 1113.解：3111131111311113=3111 1311113111116?=2 000020000201 1116?=.48263=?高等代数第五次作业第二章行列式§5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6-3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （）√4.0=d b a c d b c a b d c a b d a c （）√ 5.483111131111311113= （）√6.)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= （）× 7.0107310111187654321=--- （）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2-2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零（B ）行列式主对角线上有一个元素为零（C ）行列式零元素的个数多于n 个（D ）行列式非零元素的个数小于n 个 3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a bb a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 =+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=100110011001a a a a ---解：方法1：100110011001aa aa---21r r ?=a aa a 100 110001011---21 r ar +=aaa a a 1001 100100112--+- 32r r ?=aa a a a 10 101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100 12001100112 3-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a 方法2：将行列式按第一行展开，有：100110011001a a a a ---=1011011010101a a a a a a-----=1]01111[2++---?a aa a a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a 2. 计算12125431432321-=n n n D n解：12125431432321-n n n121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n121125411431321)1(21-+=n n n n11101111110321)1(21n nnn n --+=111111111)1(21n n nn n ---+= )1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n nn n n n n3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12= 4. 计算=n D 12111111111na a a +++。
高等代数习题解答(第二章)
高等代数习题解答第二章 行列式1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．1）解 当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解 当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换． 解 (1,2)(1,5)(4,3)12435214352543125341→→→．4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性． 解 ()(1)(1)21012(2)(1)2n n n n n n τ--=++++-+-=． 当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列； 当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？解 由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2(1)2n n n C -=，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列121n n x x x x - 的逆序数(1)2n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？解 由于(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，故两项均应带有正号．7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项． 解 所求的项为112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：1）000100200100000n n-； 2）010000200001000n n -；3）00100200100000n n-．1）解 原行列式(1)((1)21)2(1)!(1)!n n n n n n τ--=-=- ．2）解 原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解 原行列式(1)(2)((1)(2)21)2(1)!(1)!n n n n n n n τ----=-=- ．9．由行列式的定义证明：123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e =． 证明 由定义，行列式的一般项为125125()125(1)j j j j j j a a a τ- ， 其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．10．由行列式的定义计算212111()321111xx x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由．解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-⋅⋅⋅，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-⋅⋅⋅，故3x 项的系数为1-．11．由1111110111=证明：奇偶排列各半．证明 由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．12．设21211112111111()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；2）由行列式性质，求()p x 的根．解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是211112112222111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----，由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于0，从而()p x 是一个1n -次多项式．2）2121111111112111111()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----==∏-⋅∏-，而111()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．13．计算下面的行列式：1）2464273271014543443342721621； 2）xy x y yx y x x y xy+++；3）3111131111311113； 4）1234234134124123；5）1111111111111111xx y y+-+-； 6）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++．1）解 2464273271014543443342721621123100042732720005434431000721621c c c ++=23100010032720001004431000100621c c -= 121000100511327102144311621c c ÷÷=21312511327100121100294r r r r --=--529410=-⨯．2）解 xy x y y x y x x yx y +++()()()123222c c c x y y x y x y x yx x y xy++++=+++()()121211c x y y x y x y x y x xy÷++=++()2131120r r r r y x yx y xy x yx--+=+---()2x yx y x y x-=+--()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．3）解311113111131111312346111631161316113c c c c +++=2131416111020000200002r r r r r r ---=622248=⨯⨯⨯=．4）解1234234134124123123410234103411041210123c c c c +++=21314110234011302220111r r r r r r ----=-----32412102340113004404r r r r -+-=--101(4)(4)160=⨯⨯-⨯-=．5）解1111111111111111xx y y +-+-123411110011110r r r r x x x y yy--+--=+--21431100001010c c c c x x x y yy--+--=+--241300(1)0x x y y+++--=---拉普拉斯定理22xy xy x y =⋅=．注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解 将第4行拆成两行．6）解2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++2131412222214469214469214469214469c c c c c c a a a a b b b b cc c cd d d d ---++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++．14．证明1111111112222222222b cc a a b a b cb c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++． 证法一 左边1231111122222222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=-++-++1(2)11111222222c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 21311112222c c c c a c b a c b a c b --=-231112222c c a b ca b c a b c ↔==右边．证法二 左边123111111122222222()2()2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=++++++++12111111122222222c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 213111111222222c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--1231112222c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)111(1)2222c c a b ca b c a b c ⨯-⨯-==右边． 15．略16．计算下面的行列式：1）1111211312254321- 2）111121121311113211102---3）0121420121135123312121035-- 4）111122011213210211012121302--- 1）解111121*********1-21314124111101151140123r r r r r r ------=---3242111101150001012r r r r +----=--3411110115001201r r ↔---=--34111101151(1)(1)(1)1001201r r ↔---=-=-⨯-⨯-⨯-=--．2）解111121121311113211102---1243223112122211211123201c c c ⨯⨯⨯-=--131211122213112123201r r ↔--=--213141331211041310541120834r r r r r r +-+-=----231211015210541120834r r +--=----32425812110152100211112003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-⨯⨯-1(2120(11)37)12=⨯-⨯--⨯1312=-．3）解 0121420121135123312121035--31415133012142012110141030551120241r r r r r r ----=------122121114101(1)355112241+---=⨯----1232422320110191141008174141219r r r r r r +++-----=-----2111019(1)(1)8174141219+--=--⨯-----2331241101907302857r r r r ---=----1173(1)(1)2857+--=--⨯--21473069r r ---=483=-．4）解 1101122011213210211012121302---13522221022201121642108110124261r r r ⨯⨯⨯--=-3141514221022201121202788300300645r r r r r r -+---=--- 31415141222112227811(1)303080645r r r r r r -++----=⨯⨯--31211222581300080645c c -----=--313111213(1)2588645c c -+--=-⨯⨯---21312611230712801017r r r r ++--=---117123(1)(1)10178+-=-⨯-⨯--33((7)1712(10))88=-⨯-⨯-=．17．计算下列n 级行列式：1）000000000000x y x y x y yx； 2）111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------；3）121212n n n x m x x x x m x x x x m---； 4）122222222232222n；5）12311100002200011n n n n-----． 1）解 000000000000x y x y x y y x111110000000000000(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=⋅-+⋅-按第1列展开111(1)n n n x x y y -+-=⋅+⋅-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．2）解 当1n =时，1111a b a b -=-； 当2n =时，11122122a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；当3n ≥时，111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------21311112121212131313112nr r r r n n n na b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------=0． （第2，3两行成比例）3）解121212n n n x mx x x x m x x x x m---12212121nni n i nc c c i n i ni n i x mx x x mx m x x mx x m=+++==---=--∑∑∑121(2,3,,)000i ninr r i i n x mx x m m-==--=-∑11()n n i i m x m -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑． 4）解 122222222232222n2(1,3,4,,)1000222200100002i r r i n n -=-=-2121000022200100002r r n +-=-(1)2(2)!2(2)!n n =-⨯⨯-=--．另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．5）解 1231110000220000011n n n n -----12(1)23120100002200011nc c c n n n n n n++++--=---10002200(1)211n n n n--+=--按第1列展开(1)(1)(2)(1)2n n n +=---11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=-． 另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．18．证明1）01212011111001100()100nn i ina a a a a a a a a ==-∑； 2）012111021000100010000001n n n n n x a x a x a x a x a x a xa x a ------=++++-+；3）1100010001000001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+； 4）cos 100012cos 100cos 012cos 00012cos n ααααα=；5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑． 1）证法一 当1n =（2级）时，左边=0011111a a a a =-=右边；假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：左边=0121111001001na a a a0111(1)1(1)(1)2211111111100000(1)(1)100000100n n n n n n nna a a a a a a ++++++-=-+-按第行 展开1(1)1(121)12112101(1)(1)[()]n n n n n n n iia a a a a a a a a τ-++---=--+-∑第2个行列式根据归纳假设112112101[()]n n n n iia a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101()nn n i ia a a a a a -=-∑=右边． 证法二 左边=012111100100100n a a a a11221(1)1033200011111111000000000000000(1)000000n n na a a a a a a a a a ++=-++-按第列 展开2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．证法三提示 将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1ia -倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一 当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边； 假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+0121032110001000100010001000100(1)000000100101nn n n n xa x x a x x a xa xa x x a +---------=+---+-按第1行 展开111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=++++-- 第1行列式根据归纳假设2210()n x a x a x a =++++ 第1行列式根据归纳假设=右边．于是，等式成立．证法二 左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+120110000000010001000010000100(1)(1)000100010101n nnx x x x a a x x ++-----=-+-+----按第列 展开(1)21000000001000100001000100(1)()(1)00000000000100n nn nn n x x x x x x a x a xx x-++-------++--1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++=右边．3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-， 即 112()n n n n D D D D αβα----=-， 该等式对于一切的n 都成立，于是2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =221()n D D βα-=-22[()()]n βαβαβααβ-=+--+n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得1n n n D D βα--=． ②②α⨯-①β⨯，得11()n n n D αβαβ++-=-，所以 11n n n D αβαβ++-=-．另解 第二数学归纳法，按第1行展开（略）．4）提示 用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=⋅-． 5）提示 用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略。
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第二章 行列式 §1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√2. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （ ）×3. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ（ ）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x-=000000 （ ）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （ ）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。
（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。
（ ）×9.n na a a a a a ΛN 2121= （ ）× 10. 0100002000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ （ ）× 三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093142112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a a a a 4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）3,1k l ==，符号为正； （D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1． 计算3214214314324321解：3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602. 计算3111131111311113. 解：3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6-3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （ ）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （ ）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （ ）√4.0=d b a c d b c a b d c a b d a c （ ）√ 5.483111131111311113= （ ）√ 6.)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= （ ）× 7.0107310111187654321=--- （ ）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零 （B ）行列式主对角线上有一个元素为零 （C ）行列式零元素的个数多于n 个 （D ）行列式非零元素的个数小于n 个3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=10011001101aa aa ---解：方法1：100110011001aa a a ---21r r ↔=a aa a 100110001011---21r ar +=aaa a a 1001100100112--+-32r r ↔=aaa a a10101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2：将行列式按第一行展开，有：1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2. 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解：12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4. 计算=n D 12111111111n a a a +++L L M M M L解：=n D 12111111111na a a +++LL M M MLna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5. 解方程：22x 9132513232x 213211--=0.解：22x9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=22400130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：2．设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=，求证：n D D D D +++=Λ21，其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。