平面向量数量积的背景及其含义
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
平面向量数量积的物理背景及其含义数学学案008
2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【目标要求】1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面向量数量积的性质以及其运算性质，并能灵活运用.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简及向量平行、垂直的条件的应用．一般以选择题、填空题的形式出现的考查不会太难，更多的是与三角、解析几何综合在一起进行知识汇合处考查.【知识梳理】1．定义(1)已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a |·|b |cos θ(θ为a 与b 的夹角)．(2)|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影(其中θ为a 与b 的夹角)．(3)零向量与任一向量的数量积为0.(4)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．运算律a ，b ，c 为向量，λ为实数(1)a ·b ＝b ·a . (2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．设a ，b 均为非零向量(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (2)a ，b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；a ，b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.(3)|a |＝|a |2＝a 2＝a ·a . (4)|a ·b |≤|a ||b |.【课堂互动】 平面向量数量积的运算【例1】 (1)已知|a |＝4，|b |＝5，且向量a 与b 的夹角为60°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.练1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则a 在e 方向上的投影是________；e 在a 方向上的投影是________．平面向量数量积的性质及应用【例2】 下列判断①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b 2≥2a ·b ；⑦非零向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的投影长．其中正确的是________．练2 如果a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，那么( )A ．b ＝cB ．b ＝λcC ．b ⊥cD ．b ，c 在a 方向上的投影相等平面向量的垂直与夹角问题【例3】 已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．练3 已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6平面向量的模的计算【例4】▱ABCD 中，F 是BC 的中点，∠DAB ＝60°，AB ＝3，AD ＝2，求线段DB 和AF 的长度．练4 (1)(2010·重庆高考)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )A ．0B ．22C ．4D ．8(2)(2010·江西高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.【限时训练】1．设|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－10，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．(2010·湖南高考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．163．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b >0，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．若|a －b |＝41－203，|a |＝4，|b |＝5，则a 与b 的数量积为( )A ．10 3B ．－103C ．10 2D ．105．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．(2010·天津高考)如图在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32 C.33D. 3。
高一数学必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[破疑点](1)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但 对向量的数量积，该推理不正确，即 a· b＝b· a＝c. c⇒/ (2)对于实数 a，b，c 有(ab)c＝a(bc)；但对于向量 a，b，c， (a· b)c＝a(b· c)未必成立． 这是因为(a· 表示一个与 c 共线的向 b)c 量，而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线， 所以(a· b)c＝a(b· c)未必成立．
2
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设a与a＋b的夹角为θ， 1 2 a· a＋b |a| ＋2|a| 3 则cosθ＝ ＝ ＝2. |a||a＋b| 3|a||a|
2
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝30° .
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
a· b＝|a||b|cos150° ＝－6 3.
∵(a－b)2＝|a|2－2a· b＋|b|2＝25＋12 3. ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 25－12 3， 即|a＋b|＝ 25－12 3.
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
已知|a|＝8，|b|＝1，a· b＝8，则a与b的夹角θ＝________.
[答案]
[解析]
0
a· b cosθ＝|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.
第二章
2.4 2.4.1
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
数学必修4
§2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义
说课提纲
一、教材内容分析
二、教学目标设计
三、课堂结构设计 四、教学媒体设计 五、教学过程设计 六、教学评价设计
一、教材分析
1、地位、作用及学情分析
平面向量是继向量的线性运算之后的又一重要 运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物 理等学科中应用广泛。本节内容教材共两课时，本 节是第一课时，主要研究数量积的概念，通过“功” 的事例抽象平面向量数量积的含义,探究数量积的 性质与运算律,体会类比的思想方法,提高学生抽象 概括、推理论证的能力。第二课时主要学习数量积 的坐标运算。 学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体 系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理 知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
这样不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从 中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯 性，而且也节约了课时。
教学过程设计
4、研究数量积的物理意义
（2）尝试练习
一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
二、教学目标设计
1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的要 求 （1） 通过物理中“功”等事例，理解平面向
量数积的含义及其物理意义；
（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； （3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、教学目标：
（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解 数量积的含义及其物理意义； （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关 系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并能运 用性质和运算律进行相关的运算和判断； （3）体会类比的数学思想和方法，进一步培 养学生抽象概括、推理论证的能力。
第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
点此进入
点此进入
点此进入
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
知识预览
1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2， 代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝ ＝ ＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝ ， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
人教A版必修四·新课标·数学
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及 其含义
【自主预习】 主题1:向量的数量积 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:
(1)如何计算这个力所做的功? 提示:根据物理知识知W=|F||s|cosθ. (2)力F在位移s方向上的分力大小是多少? 提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cosθ.
5
2.设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则a· b = ( ) A.1 B.2 C.3 10 【解析】选A.由 解得a· b=1.
D.5
6
2 2 a b 10, a 2 a b b 10, 得 2 2 a 2 a b b 6, ab 6
【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得a· b= -|b|2,设a与b的夹角为θ, 则cosθ= 答案:-
1 3
ab b 1 2 . | a || b | 3 b 3
2
(2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b). 因为(a-b)⊥c,所以c· (a-b)=0, 所以-(a+b)(a-b)=0, 所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1. 答案:1
类型三:向量的夹角与垂直问题 【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 (2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|= .
.
【解题指南】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a· b的关系,然后代入夹角公式求解. (2)根据a+b+c=0,(a-b)⊥c,可得出向量a与b模相等.
2020高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学情分析 新人教A版必修4
2020高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学情
分析 新人教A版必修4
学情分析
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作
为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当
然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、
探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨
论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）
之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和
两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由
向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅
出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学
习兴趣和求知欲望。
教学反思
本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的
主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量
数量积的概念和运算。使得学习内容直观、生动，抓住重点。使学生懂得对
已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学
的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。在课堂中会体现自我，
学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观
察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开。但自我感觉 “讲”的还是
偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后
应该更加注意引导。
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿
数学与信息科学学院说课稿课题平面向量数量积的物理背景及其含义专业数学与应用数学指导教师班级姓名学号2011年5月22日一、课题介绍选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义．对于这节课，我将以“教什么、怎么教、为什么这样教”为思路，从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析及板书设计分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学过程，敬请各位老师指正．二、教材分析(一) 本节在教材中的地位和作用平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.(二) 目标分析教学中以知识技能的培养为主线,渗透情感态度与价值观,并把这两者充分体现在教学过程中.教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,结合教学内容的要求及本节的地位与作用,本节课应实现如下教学目标:1、知识目标:理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.2、能力目标:通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.3、情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.(三) 教学的重点与难点本节课注重培养学生的创新精神和探究能力,因而确定重点、难点为:重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质.难点:平面向量数量积性质的探究.三、教法分析本节课主要通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以导学讲评教学方法为主，结合了探究式教学法、讲练结合法、谈话法等展开教学．在活动中，教师着眼于“导”，尽力激发学生的求知欲望，引导他们解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力．四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.五、教学过程教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.如果再把教学过程中“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释及探究来组织和推动教学.因此，我的教学过程如下：(一) 复习引入通过复习物理学中物体做功的式子,引入两个向量是否可以做乘法运算，进而开始新课的学习.结合学生熟悉的物理知识引入,符合学生的认知规律,引入自然.(二) 合作探究1、结合物理中功的定义，思考θcos S F S F W =⋅=是怎样得出来的，从而引出数量积的定义:已知两个非零向量b a 与，把数量θcos b a 叫做b a 与的数量积(或内积)，记作b a ⋅，即有θcos b a b a =⋅，然后分析定义强调应该注意的问题，得到一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即00=⋅a (a 为任意向量)．再结合位移方向上的力做功引出投影的定义: ()θθcos cos b a 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.让学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积.2、结合数量积的正负，提出两个向量夹角的三个特殊值来研究，当︒︒︒=901800、、θ时，可以通过物理学中支持力做功、 水平拉力、 摩擦力做功以及拉力与位移的夹角为何值时做功最大得出以下几个重要结论：(1) 0=⋅⇔⊥b a b a ; (2) b a b a b a =⋅同向时，与当;b a b a b a -=⋅反向时，与当,特别地,a a a a a a ⋅==⋅或2. (3) b a b a ≤⋅.由熟悉的物理知识引导学生得出数学上的重要结论(性质).让学生更好地体会各学科之间是有联系的,密不可分的.同时培养学生的探究能力.(三) 例题讲解知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过一个例题来强化学生对知识的理解.例 已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．目的：巩固所学知识，解决情景中问题.例题注重分析，并将结果回到情景中，培养学生理论联系实际的思想.(四) 课堂练习为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解后，我设计了一个练习题,通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况，从而对讲解内容作适当的补充提醒.在边长为2的菱形ABCD 中，已知︒=∠60ABC ,求⋅(注意它们的夹角）.(五) 课时小结让学生回顾本节课主要内容并小结.使学生明确本节课的重点与难点，培养学生归纳总结的能力.(1)平面向量数量积、 投影的定义以及数量积的几何意义.(2)平面向量数量积的几个重要结论.目的：通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．(六) 作业布置(1)复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；(2)必做题：教科书P 108，习题2.4 A 组 2、6题；(3)选做题:教科书P 108，习题2.4 B 组 5题.目的：使学生继续加深对数量积概念的理解及应用，为后续学习打好基础.五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用.为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版，第一版是通过复习物理知识引入新课,第二版是新课的讲解，第三版是数量积性质的探究，第四版是例题和练习题，这样的排版使学生一目了然.§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、复习引入 1、数量积的定义1、判断数量积的1、例题2、规定的正负2、练习题3、投影的定义 2、三个性质的探究4、数量积的几何3、布置作业意义总之,这节课是本着教师只是学生学习的引导者,知识是由学生自主构建的原则设计的.以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位老师批评指正.谢谢！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
| a | | a |· | cosθ 6 | b | |b
2
2
36 12 96 72
例4、已知 | a | 3, | b | 4, 且a与b不共线.k为 何值时, 向量a k b与a k b垂直.
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）· （a-kb）=0 即a· k· b=0 a-k· b· 9-16 k 2 =0
( 2) | b | cos 叫做b在a方向上的投影 ;
(3)规定 : 0与任一向量的数量积为0.
新课
思考 : (a , b均为非零向量)
(1)a b ____; ( 2) ____ 时, a b 0; ____ 时, a b 0;
( 3)a , b同向时, a b ____; a , b反向时, a b ____;
1 5 8 ( ) 20 2
数量积运算律:
(1)a b b a; ( 2)( a ) b (a b) a ( b); ( 3)( a b) c a c b c .
A
a ab b
B
C
O
A1
c
B1
例2、试证 :
§ 2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
引入
a与b的数量积 (内积) : 已知两个非向量 与b, 把数量 | a || b | cos a
, 称之.记作a b, 即a b | a || b | cos .
说明 :
(1)是a与b的夹角;
数量积a b等于a 的长度与b在a方向 上投影的乘积.
(4)a a a ____;
2
(5) | a b | ____ | a || b | .
例题
例1、已知ABC中, a 5, b 8, C 60 0 , 求 BC CA.
解 ： CA | BC || CA | cos BC , CA BC 5 8 cos120
3 4
所以，k=
练习
已知 | a | 2 ,| b | 5 , a b 3 , 求 | a b |, | a b | .
小结
a与b的数量积(内积 ) :
数量积运算律
作业
课本106页练习
(1)( a b) a 2a b b ;
2 2 2
( 2)( a b) (a b) a b .
2
2
例3、已知 | a | 6, | b | 4, a与b的夹角为60 , 求(a 2b) (a 3b). 解 ： （ 2b ） a - 3b ） a （ · a · a · 6b · a b b 2 2 | a | a · 6 | b | b