11-3函数的幂级数展开,逼近定理
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开幂级数具有良好性质。
如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。
Taylor 级数由Taylor 公式，若函数f 在0x 的某个邻域上具有1+n 阶导数，那么在该邻域上成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ， 其中1000)1()()!1())(()(++-+-+=n n n x x n x x x f x r θ（10<<θ）为Lagrange 余项。
因此可以用多项式n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+ 来近似)(x f 。
自然会想到，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精确度。
基于这种思想，若函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上任意阶可导，就可以构造幂级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f ， 这一幂级数称为f 在0x 点的Taylor 级数，记为~)(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 。
称!)(0)(k x f a k k = （ ,2,1,0=k ） 为f 在0x 点的Taylor 系数。
特别地，当00=x 时，常称∑∞=0)(!)0(n n n x n f 为f 的Maclaurin 级数。
假设函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上可表示成幂级数∑∞=-=00)()(n n n x x a x f ， ),(0r x O x ∈，即∑∞=-00)(n n n x x a 在该邻域上的和函数为f (x )。
根据幂级数的逐项可导性，f 必定在),(0r x O 上任意阶可导，且对一切∈k N +，成立∑∞=--+--=k n k n n k x x a k n n n x f )()1()1()(0)( 。
函数的幂级数的展开与技巧
1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。
如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。
下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002， 显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ， 由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
幂级数展开
f (z) ln z,
f '(z) 1 , z
f
''(z)
1! z2
,
f (1) ln 1 n2i,
f '(1) 1, f ''(1) 1,
可象单值函数那样在各单值 分支上作泰勒展开。
f
(3) (z)
2! z3 ,
f (3) (1) 2!,
y
f
(4)
(z)
3! z4
,
f (4) (1) 3!,
|
z
z0
|
|
z
z0 R
|
,
引入记号 R lim ak
a k k 1
若 | z z0 | 1 R
| z z0 | R
(3.2.3) (3.2.4)
则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
12
故当 z z0 R ，绝对收敛
解 f (z) (1 z)m ,
f (0) 1m ,
f '(z) m(1 z)m1,
f '(0) m1m ,
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2 ,
f ''(0) m(m 1)1m ,
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3, f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m ,
级数收敛，
S
lim
n
Sn
S称为级数和；若极限不存在，
则称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径高考数学知识点精讲：幂级数的展开与收敛半径在高考数学中，幂级数是一个重要的知识点，其中幂级数的展开与收敛半径更是理解和解决相关问题的关键。
让我们一起来深入探讨这个知识点，帮助同学们在高考中轻松应对相关题型。
首先，我们来了解一下什么是幂级数。
简单来说，幂级数就是形如∑（n=0 到∞） aₙ xⁿ ＝ a₀＋ a₁ x ＋ a₂ x²＋ a₃ x³＋的无穷级数。
其中，aₙ 被称为幂级数的系数，x 是变量。
那么，为什么要研究幂级数的展开呢？这是因为通过将一些复杂的函数展开成幂级数的形式，我们能够更方便地对其进行分析、计算和研究。
接下来，我们看看幂级数的展开方法。
常见的有直接展开法和间接展开法。
直接展开法是根据幂级数的定义，利用泰勒公式将函数在某一点展开成幂级数。
泰勒公式为：f(x) ＝ f(x₀) ＋ f'（x₀)（x x₀) ＋ f'＇（x₀)（x x₀)²／ 2! ＋ f'＇＇（x₀)（x x₀)³／ 3! ＋。
例如，对于函数 f(x) ＝eˣ，我们想在 x ＝ 0 处将其展开成幂级数。
首先求导可得 f'（x) ＝eˣ，f'＇（x) ＝eˣ，f'＇＇（x) ＝eˣ，，所以f(0) ＝ 1，f'（0) ＝ 1，f'＇（0) ＝ 1，，则eˣ ＝ 1 ＋ x ＋ x²／ 2! ＋ x³／ 3! ＋。
间接展开法则是利用已知的幂级数展开式，通过一些运算（如四则运算、变量代换等）得到新的幂级数展开式。
比如，已知 1 ／（1 x) ＝ 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋（｜x| ＜ 1），那么通过将 x 替换为 x²，可以得到 1 ／（1 ＋ x²) ＝ 1 x²＋ x⁴ x⁶＋（｜x| ＜ 1）。
讲完了幂级数的展开，我们再来重点探讨一下收敛半径。
两类幂函数的三角级数展开公式
两类幂函数的三角级数展开公式幂函数是一类常见的数学函数，涉及到幂指数的运算。
幂函数的三角级数展开是一种通过三角函数的级数来近似表示幂函数的方法。
一、幂函数的三角级数展开公式：对于任意幂函数，我们可以将其展开为三角级数的形式，具体可以分为两类：正弦级数和余弦级数。
1.正弦级数展开：对于具有周期为2π的函数f(x)，若f(x)在周期内可表示为如下形式：f(x) = a₀ + a₁sin(x) + a₂sin(2x) + a₃sin(3x) + ...其中a₀，a₁，a₂，a₃等为待求系数。
这是正弦级数展开的一般形式。
对于幂函数x^n(n为正整数)，其在区间[-π,π]上的正弦级数展开形式为：x^n = 2/π * (sin(x) + 1/2^2 * sin(2x) + 1/3^2 * sin(3x)+ ... + 1/n^2 * sin(nx) + ...)2.余弦级数展开：类似地，我们也可以将幂函数展开为余弦级数的形式。
同样地，对于具有周期为2π的函数f(x)，我们可以表示为：f(x) = a₀ + a₁cos(x) + a₂cos(2x) + a₃cos(3x) + ...幂函数x^n的余弦级数展开形式为：x^n = 1 + 2/π * (cos(x) + 1/2^2 * cos(2x) + 1/3^2 * cos(3x) + ... + 1/n^2 * cos(nx) + ...)在这两类级数展开中，我们可以通过不断迭代计算级数的部分和来近似表示幂函数。
当级数的项数越多时，近似效果越好。
二、幂函数三角级数展开的应用：幂函数的三角级数展开在数学和工程领域有广泛的应用。
1.函数逼近：幂函数的三角级数展开可以将任意函数近似为级数形式，通过保留足够多的项数来实现对函数的逼近。
这对于一些复杂函数的计算和分析提供了方便。
2.信号处理：三角级数展开可用于处理周期信号。
通过将信号展开为三角级数形式，可以方便地对信号进行分析和处理，如去除噪声、提取频率成分等。
函数的幂级数展开-逼近定理汇总
2
傅里叶级数由正弦函数和余弦函数构成，可以表 示为无穷级数的和，其中每一项都是正弦函数或 余弦函数的线性组合。
3
傅里叶级数的定义基于三角函数的正交性，即在 一个周期内，任何两个不同的三角函数都不会有 相同的积分。
傅里叶级数展开的几何意义
01
傅里叶级数展开的几何意义是将一个周期函数表示为一系列正 弦函数和余弦函数的叠加。
收敛性的判定主要依赖于幂级数的系数和项数， 以及自变量 (x) 的取值范围。
02 泰勒级数展开
泰勒级数定义
泰勒级数定义
对于在某点的可微函数，可以表 示为在该点的n阶导数与n阶倒数 的无穷乘积，即f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-
收敛性的判定通常基于三角函数的性质和函数的周期性，不同的函数可能 有不同的收敛条件和收敛速度。
04 拉格朗日插值法
拉格朗日插值法定义
拉格朗日插值法是一种通过已知的离 散数据点来构造一个多项式，并利用 该多项式对未知数据进行逼近的方法 。
该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗 日于18世纪提出，是数值逼近理论中 的重要工具之一。
牛顿插值法的收敛性
牛顿插值法的收敛性是指当插值节点增加时，插值多项式的逼近效果会越来越好。具体来说，如果函 数在插值节点上取值的极限存在，则当插值节点趋于无穷时，插值多项式的极限就是该函数的极限。
然而，如果函数在插值节点上取值的极限不存在，则插值多项式的极限也不存在，此时插值多项式无 法逼近该函数。因此，在使用牛顿插值法时需要注意函数的性质和取值情况。
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1
a ( x x ) (2) 逐项可积性 幂级数 n 的和函数 n 0 0
n
s( x ) 在收敛域 K 的任一有界闭子区间上可积,且
x s( x)dx x [ a ( x x ) n ] dx x x 0 n 0 0 n0 x an n 1 n ( x x ) ( x K ). x an ( x x0 ) dx 0 n 0 n 1 0 n 0
x ( , ) x ( , )
x ( 3) cos x ( 1) ( 2n)! n 0
n
2n
x (4) ln(1 x ) ( 1) n1 n 0
n
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n1
x ( 1, 1 ]
25
( 1)( n 1) n (5) (1 x ) x n! n 0
注
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17
2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方 法,求展开式. 例如 cos x (sin x )
2 n 1
1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)! 2n 1 2 1 4 n x cos x 1 x x ( 1) 2! 4! ( 2n)!
1 x ( n1) n R ( x ) f (t )( x t ) dt 其中 n n! x0
称为积分余项 .
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利用积分中值定理可得： （1） Rn ( x )
f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) ( n 1)!
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ห้องสมุดไป่ตู้ 则，
f ( x )=f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
( n)
--------f(x)的幂级数展开
( x0 ) n ( x x0 ) n!
n 0
n0
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f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n!
1 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 2 n n!
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欲使 rn 10 5 ,
1 只要 105 , n n!
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 105 ,
称为拉格朗日余项 .
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余项的积分表达式
定理：若函数 则在该邻域内有 : 的某邻域内具有任意阶导数,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
x ( , )
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arctan x
x
0
dx 1 x2
2 n 1 1 3 1 5 x x x x ( 1) n 3 5 2n 1 x [1,1]
dx ln(1 x ) 0 1 x n 1 2 1 3 x x x x ( 1) n1 2 3 n x ( 1,1]
1 2 1 n e 1 x x x , 解 2! n! 令 x 1, 得 e 1 1 1 1 , 2! n!
x
1 1 1 1 (1 ) rn ( n 1)! n 2 ( n 1)! ( n 2)!
( n 0,1,2,)
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6
如果 f ( x ) 在点 x0 的某邻域任意阶可导, 是否一定有：
问题
f ( x )=
n 0
f
(n)
( x0 ) n ( x x0 ) n!
？
回答是：不一定.
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1 2 e x , 例如 f ( x ) 0,
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20
d ex 1 n 例6.展开 ( )为x的幂级数，并求 dx x n 1 ( n 1)!
(2n 1) x 例7.求幂级数 的和函数。 n! n 0
2n
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3、幂级数在近似计算中的应用举例
例1 计算e的近似值, 使其误差不超过10 5 .
(1 x ) ( 1) 2 ( 1)( n 1) n 1 x x x 2! n!
x ( 1,1)
在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为 (1,1); 1 1 收敛区间为 (1,1]; 1 收敛区间为 [1,1].
1 特别 : xn 1 x n 0 1 ( 1)n x n 1 x n 0
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 0.9461
1
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常用函数的麦克劳林级数
x (1) e n 0 n!
x
n
x ( , )
2n1 x ( 2) sin x ( 1)n ( 2n 1)! n 0
n s ( x) ( an ( x x0 ) ) n 0
nan ( x x0 ) .
n 1 n 1
x ( R, R )
逐项微分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径. 注: 逐项微分时, 运算前后端点处的敛散性可能改变.
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二、幂级数的分析性质
(1) 连续性
a ( x x0 ) 的收敛半径为 R, 设幂级数 n 0 n
n
a ( x x ) 幂级数 n 的和函数 s( x ) 在区间 n 0 0
n
( x0 R, x0 R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧
连续.
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x
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例4 将下列级数展开成 x 2的幂级数
1 (1) f ( x ) ; 5 x
2
( 2) ln x
例5将 sin x展开为x的幂级数，并确定 成立的范围。
P103 7； 8；10(1); 11(1)；12(1)；14(1)(2)
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三、函数的幂级数展开
问题: 幂级数不仅形式简单，而且有很多良好 性质。那么，给出 f (x) , 是否存在幂级 数在其收敛域内以 f (x)为和函数，即：
f ( x ) a n ( x x0 )
n 0
n
x K
1.如果存在,
a n 是什么?
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
-----拉格朗日余项 ( n 1) ( x0 ( x x0 )) （2）Rn ( x ) f (1 ) n ( x x0 ) n1 , n!
(0 1)
-----柯西余项
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2. 函数展开成幂级数
1.直接法
步骤: (1) 求a n
例 1 求级数 ( 1)
n 1
n 1
xn 的和函数. n
例 2 求级数 n x n 的和函数.
n 1
2n 1 由此题，求 n 。 2 n 1
n( n 1) (可构造幂级数求数 例 3 求 的和. n 项级数的和) 2 n 1
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f
(n)
( x0 ) ; n!
n
(2) 讨论： 若 lim Rn 0
则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x ).
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例1 将f ( x ) e 展开成幂级数.
x
1 2 1 n e 1 x x x x ( , ) 2! n!
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定理 1
如 果 函 数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内 能 展 开 成 ( x x0 )的幂级数, 即
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
则 f ( x ) 在U ( x0 )内任意阶可导，其系数
1 (n) a n f ( x0 ) n!
x0 x0
在x=0点任意可导, 且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,)
n 代入上述表达式的右端得到： 0 x n0
该级数在(,)内和函数s( x ) 0. 可见
除x 0外, 该级数处处不收敛于 f ( x ).
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x
例2 将f ( x ) sin x展开成x的幂级数.
2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
x ( ,)
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