2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)
黑龙江省哈尔滨市三中2025届高考模拟试卷(数学试题理)试卷
黑龙江省哈尔滨市三中2025届高考模拟试卷（数学试题理）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()y f x =，x ∈R ，则“()y xf x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设1,0(){2,0x x x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．323．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．223D ．224．已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ） A ．(-2,6) B ．(-6,2) C ．(-4,3) D ．(-3,4)5．一个正四棱锥形骨架的底边边长为22，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．2πD ．3π 6．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >8．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．264-B ．264+C ．624-D ．622+ 9．已知3log 2a =，ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>10．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．111．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．212．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三3月网络模拟考试数学(理)试题(带答案解析)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三3月网络模拟考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知i 为虚数单位，则1ii+=( ) A ．0B ．1-C ．1i -D ．1i +2．设{1,2,3}A =，2{|10}B x x x =--<，则A B =I ( ) A ．{1,2}B ．{1,2,3}C ．{2,3}D ．{1}3．某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如下茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A ．83，aB ．82.5，bC ．82.5，aD ．82，b4．已知向量(,1)a b x ==r r 且a r 与b r的夹角为60︒，则||b =r ( )A B ．13C D ．235．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生6．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．为计算3232231234599100S =+++++++L 设计了如图所示的的程序框图，在◇和□两个空白框中分别可以填入( )A ．101i ≤和3(1)N N i =++B ．i <99和2(1)N N i =++C ．99i ≤和2(1)N N i =++D ．101i <和3(1)N N i =++8．已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6S =( )A ．128B ．126C ．124D ．1209．现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A ．36B ．24C ．22D ．2010．已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB于D ，若5FA DA =u u u r u u u r，则AB 斜率为( )A ．43-B ．34-C ．12-D ．211．已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( ) A．5126⎛⎫-⎪⎝⎭B．52⎛--⎝ C．1,320⎛-⎝ D ．11,206⎛⎫⎪⎝⎭12．已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( ) A ．1010π B ．20212π C ．2020πD ．40412π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知x ， y 满足约束条件10{00x y x y x +-≤-≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e =______________.15．已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，若()f x 在[0,1]上恰好有两个最值，且在11[,]44-上单调递增，则ω=_____________.16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2 Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）三、解答题17．在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接,CE DE ，已知4AE BE =，4AE =，CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=.（1）求BCE ∆的面积； （2）求CD 的长.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.19．设直线:AC y x =与直线:BD y x =分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以 M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.20．材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分；①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+=.21．已知函数()2(0)x f x e ax a =->. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若m n a e e =+（,m n 为给定的常数，且m n <），记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+.22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l .（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于 A 、B 两点，求||AB . 23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简即可得解. 【详解】由复数的除法运算，化简可得()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-， 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解不等式可得集合B ，再由交集运算即可求解. 【详解】2{|10}B x x x =--<，解不等式可得B x x ⎧⎪=<<⎨⎪⎪⎩⎭，所以由交集运算可得{}{}1,2,3|1A B x x ⎧⎪=<<=⎨⎪⎪⎩⎭I I ， 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】根据茎叶图，可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况，即可判断化学成绩更稳定的班级.由茎叶图可知，a 班10人化学成绩从低到高排列，第五个人的成绩为82，第6个人的成绩为83，所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知，a 班化学成绩分布较为集中，且低成绩和高成绩人数较少，因而a 班化学成绩更稳定. 故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图的数据求中位数并由数据分布判断稳定性，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及夹角求法，即可求得参数x 的值，进而可得向量的模. 【详解】向量(,1)a b x ==r r且a r 与b r的夹角为60︒，由平面向量数量积的坐标运算可得cos 60a ba b⋅︒=⋅r rr r ，代入可得12=3x =-，所以b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，由模的运算求得3b ==r ， 故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，由夹角求参数并进而求得向量的模，属于基础题. 5．C 【解析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位. 【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的； 则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士； 由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生， 故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士. 故选：C. 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于7．D 【解析】 【分析】先将输出值的表达式分成两部分，平方部分与立方部分，即可得□内必为三次方求和形式；再根据所求表达式的最大值，即可确定◇内的内容. 【详解】将式子3232231234599100S =+++++++L ， 等价化为2223331359924100S =++++++++L L ，由程序框图可知，2M M i =+，则□内必为三次方求和形式，故排除BD ；因为2223331359924100S =++++++++L L ，从1i =开始，先计算平方形式，而平方形式只计算到299，因而A 中101i ≤时，会计算到2101，不合题意排除.则◇内应填写101i <.综上可知，◇和□两个空白框中分别填入101i <及3(1)N N i =++，故选：D. 【点睛】本题考查了程序框图的综合应用，根据输出值完善程序框图，注意对输出式子的理解，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】根据首项及递推公式，依次代入即可分别求得23456,,,,a a a a a ，即可得6S 的值. 【详解】数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，11a =，23a =， 当2n =时，代入可得22213132a a a a a a +=⋅++，解得37a =， 当3n =时，代入可得23324242a a a a a a +=⋅++，解得415a =，当4n =时，代入可得24435352a a a a a a +=⋅++，解得531a =， 当5n =时，代入可得25546462a a a a a a +=⋅++，解得663a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则6123456S a a a a a a =+++++137153163=+++++120=，故选：D. 【点睛】本题考查了递推公式求数列项的应用，前n 项和的求法，属于中档题. 9．A 【解析】 【分析】根据题意，先求得甲乙相邻的所有排列方法，再扣除甲乙相邻且甲和丁也相邻的情况，即为甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数. 【详解】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有24242432148A A =⨯⨯⨯⨯=种；若甲和乙相邻、甲和丁也相邻，则甲不能在最左端和最右端，当甲站在中间三个位置时，乙和丁分别位于两侧，另两个人站剩余两个位置，共有12232232212C A A =⨯⨯=种.故甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为481236-=种， 故选：A. 【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对位置由特殊要求的排列问题，选择用总数去掉不合题意的部分，即为所求内容，是常用方法，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作1AA 垂直于准线交准线于1A ，画出几何关系图形.由//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，可得15AF AM AD AP ==，结合抛物线定义可知115A x AM AP AA ==求得点A 的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线AF 斜率，即为AB 的斜率. 【详解】抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，则()1,0F ，准线方程为1x =-.根据题意画出几何关系如下图所示：作1AA 垂直于准线交准线于1A .//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，则15AF AM AD AP ==， 1AA 垂直于准线交准线于1A ，则115A x AM AP AA ==， 即115A A x x =+，解得14A x =， 代入抛物线方程可得1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭， AB 斜率，即为AF 的斜率，所以1041314k -==--.故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其几何性质的综合应用，平行线分线段成比例性质应用，直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x图像有三个交点，此时()211322y mx y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=. ()226480m ∆=--⨯=，解得3m =-3m =+（舍）； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=. ()24104240m ∆=--⨯=，解得52m =52m =；故当()f x mx =有四个不同交点时52m ⎛∈-- ⎝.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题. 12．A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L 由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解. 【详解】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d =函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ， 则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=L L ， 即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L ① 对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122cos cos 22i a i d i d +--=⨯ ()2021202122cos cos22i i i d a a --+=⨯()12020202122cos cos22i d a a -+=⨯，记120202a a m +=，将①化简可得 ()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦L ，即20192017201520202cos cos cos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦L ② 令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ， 由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦L ，所以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫=⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =， 所以2m π=，即1202022a a π+=，所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A. 【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 13．2【解析】解：如图所示，绘制不等式组表示的可行域，观察可知，目标函数在点()0,1A 处取得最大值22z x y =+= .点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．14．2或4± 【解析】 【分析】根据等腰三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论.先求得对应渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，进而得,a b 的等量关系，即可求得双曲线离心率的平方值. 【详解】过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，有以下三种情况：①，当过2F 的直线l 斜率不存在时，如下图所示：根据双曲线的对称性可知，若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,2OA OB AOB π=∠=.所以其中一条渐近线的倾斜角为4π，即tan 14ba π==，则a b =，由双曲线性质可得22222c a b a =+=，所以2222222c a e a a===；②，当过2F 的直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,4OA AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为38π，由半角公式可得tan 18π=，所以tantan348tan181tan tan 48πππππ+==-⋅，即1ba=，所以由(22224c a b a =+=+，所以(2222244a c e aa+===+③当过2F 的直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,4OB AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为8π，由半角公式可得tan 18π=，所以1ba=，所以由(22224c a b a =+=-，所以(2222244a ce aa-===-综上可知，双曲线离心率的平方为2或4±， 故答案为：2或4±. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，根据等腰直角三角形条件，分类讨论直角顶点的情况，正切和角公式的应用，直线倾斜角与斜率关系，计算量较为复杂，属于难题. 15．43π 【解析】 【分析】根据函数所过的顶点，即可求得ϕ的值，代入解析式，由()f x 在[0,1]上恰有两个最值及在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得关于ω的不等式组，结合不等式组即可求得ω的值. 【详解】函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，代入可得12sin ϕ=，解得26k πϕπ=+或52,6k k Z πϕπ=+∈， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由()f x 在[0,1]上恰有两个最值，所以3625620x x ππωππωω⎧+≥⎪⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得4733ππω≤<；()f x 在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则满足4624620ωππωππω⎧-+≥-⎪⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得403πω<≤，综上可知43πω=. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及应用，函数单调性、最值的综合应用，属于中档题. 16．1.7820 【解析】 【分析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ， 所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ， 故答案为：1.7820.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.17．（1）BCE S ∆=；（2）7CD = 【解析】【分析】 （1）由题意可得1BE =，在BCE ∆中由余弦定理可求得BC ，结合三角形面积公式即可得BCE ∆的面积.（2）由23A B CED π∠=∠=∠=可得BCE AED ∠=∠，从而证明BCE AED ∆∆:，可求得ED .再在CDE ∆中由余弦定理即可求得CD 的长.【详解】（1）由题意可知4AE BE =，4AE =，则1BE =.在BCE ∆中由余弦定理可得2222cos CE BC BE BC BE B =+-⋅⋅， 代入可得227121cos3BC BC π=+-⨯⨯， 解得2BC =， 由三角形面积公式可得1sin 2BCE S BC BE B ∆=⋅⋅121222=⨯⨯⨯= （2）因为23A B CED π∠=∠=∠=， 所以3BCE CEB AED CEB π∠+∠=∠+∠=， 则BCE AED ∠=∠，因为A B ∠=∠，所以BCE AED ∆∆:， 则2142CE BC ED AE ===，所以2ED CE ==，在CDE ∆中由余弦定理可得2222cos CD DE CE DE CE CED =+-⋅⋅∠，代入可得222872cos493CD π=+-⨯=， 所以7CD =.【点睛】 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，由相似三角形求线段长，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）12. 【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,OE OC ，由正方形性质及条件，可证明EF ⊥平面OCE ，从而可得EF OC ⊥，进而证明OC ⊥平面11ABB A ，即可由面面垂直的判定定理证明平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）结合（1）及线面垂直关系，可得,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面CEF 的法向量，即可由线面夹角的向量求法求得直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连接,OE OC ，如下图所示：三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =， O 为AB 中点，则OC AB ⊥，11ABB A 是为正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，O 为AB 中点，所以OE EF ⊥，又因为CE EF ⊥，且OE CE E ⋂=，所以EF ⊥平面OCE ，又因为OC ⊂平面OCE ，所以EF OC ⊥，且AB OC ⊥，EF 与AB 相交，则OC ⊥平面11ABB A ，又因为OC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A .（2）因为1AA AB ⊥，平面ABC I 平面11ABB A AB =，平面ABC ⊥平面11ABB A . 所以1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥.又因为BC CE ⊥，1CE AA E ⋂=，所以BC ⊥平面11AAC C ，则BC AC ⊥.所以1OC =.又1AA ⊥平面ABC ，1//AA OF ，所以OF ⊥平面ABC ，从而,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0O C A ，()()()10,1,1,0,0,2,1,0,2E F C .所以()()()11,1,1,1,0,2,1,1,2CE CF AC =-=-=-u u u r u u u r u u u u r .设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =r .则00CE n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即020x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令1z =，解得2,1x y ==， 则()2,1,1n =r ，设直线1AC 与平面CEF 所成的角为θ， 由直线与平面夹角的求法可得111sin 2AC n AC n θ⋅==⋅u u u u r r u u u u r r . 【点睛】本题考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质与判定，利用空间向量求直线与平面夹角的方法，属于中档题.19．（1）2214x y +=；（2）存在，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据两条直线解析式特征可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，则ACBD 为矩形，将:6AC y x =与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形ACBD的面积确定参数，求得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程2y kx =+，两个交点坐标()()1122,,,M x y N x y .联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出1212,x x x x +，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率k .由中点坐标公式即可求得线段MN 中点G 的坐标，进而求得2OG 的值，即可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，所以四边形ACBD 为矩形，则22146x y m m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得A A x y ==所以4D A B A AC x y S ⋅===解得1m =， 代入椭圆方程可得2214x y +=. （2）存在.设()()1122,,,M x y N x y ，由题意可知直线MN 的斜率必然存在.直线MN 过点 (0,2)P ，设直线MN 的方程为2y kx =+， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()224116120k x kx +++=， 所以1212221612,4141kx x x x k k +=-=++，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r， 则1212OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++()()21212124k x x k x x =++++()222121612404141k k k k k ⎛⎫=+⨯+-+= ⎪++⎝⎭， 解方程可得2k =±，经检验可知都满足>0∆.设线段MN 的中点为()00,G x y . 则1202816,21741x x k x k +==-=±+ ()121202422,221741k x x y y y k +++====+ 所以22200260289OG x y =+=， 所以存在满足条件的圆，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与椭圆交点坐标求法，由韦达定理求参数值，中点坐标公式的应用，圆的标准方程求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于难题. 20．（1）14；（2）①甲同学能够获得荣誉证书；②乙同学所说为假. 【解析】【分析】（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ；计算出从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门的总方案数，即可得其概率.（2）①由题意可知171μ=，而570.02282500=，结合3σ原则即可求得σ的值.结合获奖概率，并求得()P X μσ≥+，比较后可求得获奖的最低成绩.即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.②假设乙所说为真，求得()2P X μσ≥+，进而求得σ的值.从而确定3μσ+的值，即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判断乙所说为假.【详解】（1）设事件A ：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”；则从剩余生物、思想政治、地理三个科目中选择一个有13C .从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门的方案有1224C C 种， 所以()1312243143422C P A C C ===⨯⨯. （2）设此次网络测试的成绩记为()2~,X Nμσ. ①由题意可知171μ=， 因为570.02282500=，且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-==， 所以351171902σ-==； 而4000.162500=， 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<， 所以前400名学生成绩的最低分高于261μσ+=，而考生甲的成绩为270分，所以甲同学能够获得荣誉证书.②假设考生乙所说为真，则201μ=，()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===， 而570.02282500=，所以351201752σ-==， 从而3201375426430μσ+=+⨯=<，而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<，所以3X μσ≥+为小概率事件，即丙同学的成绩为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合3σ原则求概率值，并由3σ原则判断事件真伪，综合性强，属于难题.21．（1）①当02e a <<时，()f x 无零点；②当2a e =时，()f x 有一个零点；③当2a e >时，()f x 有两个零点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据解析式求得导函数，并令()0f x '=求得极值点.在极值点两侧，判断导函数的符号，并求得最小值.结合当x →-∞及x →+∞时函数值特征，即可确定零点个数.（2）根据m n a e e =+及m n <，可得ln ln ln ln 22m n mn a e e m e e n +=<=<=.进而确定(,)g m n 的表达式，代入不等式化简变形，并令n m t e -=，构造函数()4ln ln 11t h t t t t =+⋅++，求得()h t '后由导函数符号判断()h t 的单调性及最值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数()2(0)x f x e ax a =->，则()2x f x e a '=-，令()0f x '=，解得ln 2a x =， 当,ln 2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在,ln 2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为单调递减； 当ln ,,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln ,,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为单调递增； 所以ln 2min()ln 2ln 1ln 222a a a a f x f e a a ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,x →-∞时()f x →+∞；当,x →+∞时()f x →+∞； ①当ln 12a <，即02e a <<时，()f x 无零点； ②当ln 12a =，即2a e =时，()f x 有一个零点； ③当ln12a >，即2a e >时，()f x 有两个零点； （2）证明：因为m n a e e =+， 所以ln ln ln ln 22m nmn a e e m e e n +=<=<=， 由（1）可知()f x 在区间(,)m n 上的最小值(,)g m n ，()(,)ln 1ln 1ln 222m n m n a a e e g m n f a e e ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以不等式(,)(1ln 2)(1ln 2)m ng m n m e n e <--+-+可化为 ()1ln (1ln 2)(1ln 2)2m n m nm n e e e e m e n e ⎛⎫++-<--+-+ ⎪⎝⎭， 移项化简可得ln 2ln ln 2ln 022m n m n m n e e e e m e n e ⎛⎫⎛⎫+++-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4ln ln 0m nmn m n m n e e e e e e e e ⋅+⋅<++， 即4ln ln 011n mn m n m n m e e e e ----+⋅<++， 令n m t e -=，则1t >. 所以原不等式可化为4ln ln 011t t t t +⋅<++， 令()4ln ln ,111t h t t t t t =+⋅>++.则()11ln ln ln101111t t h t t t t t '=-++=<=++++， 所以()h t 在()1,+∞单调递减，则()()11ln 2ln 02h t h <=+=， 即4ln ln 011t t t t +⋅<++成立， 原不等式得证.【点睛】本题考查了由导数求函数的单调区间，根据单调区间的取值特点判断零点个数，由导函数的单调性证明不等式成立，由不等式性质化简变形，对理解问题分析问题能力要求高，属于难题.22．（1）()4R πθρ=∈；（2）AB =.【解析】【分析】（1）将圆1C 的参数方程化为普通方程，圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；把两个圆的方程联立，即可得其公共弦所在直线方程，进而得其极坐标方程.（2）将圆1C 的标准方程化为极坐标方程，将直线旋转后可得其角度，分别代入1C 、2C 的极坐标方程，即可由极坐标的几何意义求得||AB .【详解】 （1）圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 则圆的普通方程为()2224x y -+=，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，等式两边同时乘以ρ可得24sin ρρθ=，即224x y y +=，化为直角坐标方程为()2224x y +-=，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，则()()22222424x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 化简可得y x =，所以直线l 的极坐标方程为 ()4R πθρ=∈（2）以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于 A 、B 两点，则直线AB 的极坐标方程为4612πππθ=-=， 将圆1C 的标准方程()2224x y -+=化为极坐标方程为4cos ρθ=， 设12,,,1212A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120,0.ρρ>> 则124cos 4sin 1212AB ππρρ=-=-3π==【点睛】 本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程间的转化，由极坐标的几何意义求弦长，属于中档题.23．（1）12m ≤（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先求得函数1()2f x f x ⎛⎫+-+⎪⎝⎭式，结合绝对值三角不等式即可求得最小值，进而得m 的取值范围；（2）由（1）中m 的取值范围，结合N m ∈可得0m =.代入不等式及函数解析式，分类讨论得分段函数解析式，并求得各自的最大值，即可证明不等式成立.【详解】（1）函数1()||2f x x =-， 由绝对值三角不等式可得11()22f x f x x x ⎛⎫+-+=-+- ⎪⎝⎭ ()1122x x ≥-+-= 当且仅当()102x x ⎛⎫-⋅-≥ ⎪⎝⎭时取等号， 因而12m ≤ （2）证明：由（1）可知12m ≤，且N m ∈， 则0m =，要证明22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤，只需证明22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤， 而222211(sin )(cos 1)sin cos 22f f αααα-+=--+ 2211sin cos 22αα=--- 22212sin 2,sin 1211,0sin 2ααα⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩， 当21sin 12α≤≤时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-≤. 当210sin 2α≤<时，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-，综上可知22(sin )(cos 1)0f f αα-+≤，原命题得证.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的综合应用，去绝对值化简函数表达式，由分段函数最值证明不等式成立，属于中档题.。
哈三中2020年第六次模拟理科数学试题
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签
A. 1,2
B. 1, 1 2
C. 1 ,2 2
D. 2,1
12.
已知
f
(x)
a
x2 4x(x 0), f (x 2)(x 0),
且函数
y
f x 2x 恰有 3 个不同的零点，则实数
a 的取值范围是
A. 4,0
B. 8,
C. 4,
D. 0,
2020 年哈三中第 6 套模拟考试
A．“屏占比”不变
B．“屏占比”变小
C．“屏占比”变大
D．变化不确定
6. 某程序框图如右图所示，则输出的结果是
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
2020 哈三中第 6 套理科数学试卷 第 2页 共 8 页
7. 已知 a，b 是两个互相垂直的单位向量，且 c·a c·b 1，|c| 2 ，则对任意的
正实数 t ，| c t a 1 b | 的最小值是
t
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
8. 一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆， 俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是
A. 16 2 16
2
B. 16 2 8
42
C. 8 2ห้องสมุดไป่ตู้16
D. 8 2 8
A. 2 1
黑龙江省哈尔滨市呼兰区某中学2020届高三第三次模拟考试数学(理)试卷
理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}032≤-==x x y x A ，{}13>==xy x B ，则=⋃B A ( )A. ]3,0(B. ),0[+∞C. {}30<<x x D. ),0(+∞ 2．设iiz -+=12,则=z （ ） A ．2B ．3C ．23 D ．210 3．已知向量)1,(),2,1(k b a =-=且)(b a a +⊥，则=k （ ） A ．1 B ．2 C ．3- D ．2-4．设51552,4log ,3log ===cb a 则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ． c b a << 5．若412cos =θ，则θθ22cos 2sin +的值为（ ） A.87 B. 3219 C. 813 D. 236．在等比数列{}n a 中，若2,2245==a a a ，则=6a ( )A ．64B ．16C ．8D ．327．若函数()222xf x a x a =+-的零点在区间()0,1上，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(),1-∞ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 8．函数1)32sin()(+-=πx x f ，下列结论正确的是（ ）A ．向右平移6π个单位，可得到函数x y 2sin =的图像B ．)(x f y =的图像关于)1,0(中心对称C ．)(x f y =的图像关于直线125π=x 对称 D ．)(x f y =在)32,6(ππ为增函数9．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．已知三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，⊥PA 平面ABC ， AC AB ⊥，4==AC AB ，2=PA ，则球心O 到平面PBC 的距离为（ ）A ．31 B ．36 C ．33 D ．3 11．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()28cos 2cos 2702AB C -+-=， 2a =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．6B ．13+C ．213+ D ．3 12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=-2 220 )(|1|x xe x e xf x ，则下列叙述正确的为（ ）①存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根 ②当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x > ③若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则[]e a 2,1∈④若关于x 的方程45)(=x f 和m x f =)(的所有实数根之和为零，则45-=m A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过点()2,2P 的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，且0PA PB +=uu r uu r r，则此直线的方程为_________.14．函数x x x f ln )(=的单调减区间为______________.15．在我校本年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终,,,A B C D 四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中，对阵形式为：A 对阵C ，B 对阵D ，获胜球队进入决赛争夺冠亚军， 失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示：ABCDA 获胜概率— 0.3 0.4 0.8 B 获胜概率0.7 — 0.7 0.5 C 获胜概率 0.6 0.3 — 0.3 D 获胜概率0.20.50.7—则A 队最终获得冠军的概率为_____.16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为1:3的两部分，则K B 1=_______.三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15， （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若公差0>d ，求数列{}n a 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图，在多面体111ABC A B C -中，正方形11BB C C 所在平面垂直于平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形,1==BC AC ，11B A ∥BA ，1112B A BA =. （Ⅰ）求证：11C A ⊥平面11ABB A ；（Ⅱ）若M 为B B 1的中点，求直线CM 与平面A A C 11所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）已知点)2,21(-D ，过点D 作抛物线y x C =21:的两切线，切点为,A B ． （Ⅰ）求两切点,A B 所在的直线方程；（Ⅱ）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为2，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P ，Q ， 直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若12+=3k k k ，求椭圆的方程．20．（本小题满分12分）“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三3月网络模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
哈三中2020届高三学年网络模拟考试数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0 B. 1- C. 1i - D. 1i +2.设{1,2,3}A =，2{|10}B x x x =--<，则A B =I ( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}3.某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如下茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83，aB. 82.5，bC. 82.5，aD. 82，b4.已知向量3),(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒，则||b =r ( )A. 33B. 13C. 33D. 235.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A. 国防大学，研究生B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生6.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A. B. C. D.7.为计算3232231234599100S =+++++++L 设计了如图所示的的程序框图，在◇和□两个空白框中分别可以填入( )A. 101i ≤和3(1)N N i =++B. i <99和2(1)N N i =++ C. 99i ≤和2(1)N N i =++ D. 101i <和3(1)N N i =++ 8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6S =( ) A. 128 B. 126 C. 124 D. 1209.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( )A. 36B. 24C. 22D. 2010.已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =u u u r u u u r ，则AB 斜率为( ) A. 43- B. 34- C. 12- D. 211.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52⎛- ⎝C. 1,320⎛- ⎝D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 12.已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A. 1010πB. 20212πC. 2020πD. 40412π 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知x ，y 满足约束条件10{00x y x y x +-≤-≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e =______________.15.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，若()f x 在[0,1]上恰好有两个最值，且在11[,]44-上单调递增，则ω=_____________. 16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接,CE DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=.（1）求BCE ∆的面积；（2）求CD 的长.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.19.设直线:6AC y x =与直线:6BD y x =-分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD的面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.20.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分；①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+=. 21.已知函数()2(0)x f x e ax a =->.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若m n a e e =+（,m n 为给定的常数，且m n <），记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4—4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l .（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于 A 、B 两点，求||AB . 选修4—5：不等式选讲23.已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.哈三中2020届高三学年网络模拟考试数学（理） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0B. 1-C. 1i -D. 1i +【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简即可得解.【详解】由复数的除法运算，化简可得 ()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.设{1,2,3}A =，2{|10}B x x x =--<，则A B =I ( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}【答案】D【解析】【分析】 解不等式可得集合B ，再由交集运算即可求解.【详解】2{|10}B x x x =--<，解不等式可得1515|B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 所以由交集运算可得{}{}1,2,31515|1A B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭I I ， 故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题.3.某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如下茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83，aB. 82.5，bC. 82.5，aD. 82，b【答案】C【解析】【分析】 根据茎叶图，可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况，即可判断化学成绩更稳定的班级.【详解】由茎叶图可知，a 班10人化学成绩从低到高排列，第五个人的成绩为82，第6个人的成绩为83，所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知，a 班化学成绩分布较为集中，且低成绩和高成绩人数较少，因而a 班化学成绩更稳定.故选：C.【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图的数据求中位数并由数据分布判断稳定性，属于基础题.4.已知向量(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒，则||b =r ( )A. B. 13C. D. 23【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及夹角求法，即可求得参数x 的值，进而可得向量的模.【详解】向量(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒， 由平面向量数量积的坐标运算可得cos 60a b a b⋅︒=⋅r r r r ，代入可得12=x =所以3b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，由模的运算求得b ==r ， 故选：A.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，由夹角求参数并进而求得向量的模，属于基础题. 5.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A. 国防大学，研究生B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生【答案】C【解析】【分析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题. 6.函数2()ln(1)x x e e f x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.7.为计算3232231234599100S =+++++++L 设计了如图所示的的程序框图，在◇和□两个空白框中分别可以填入( )A. 101i ≤和3(1)N N i =++B. i <99和2(1)N N i =++C. 99i ≤和2(1)N N i =++D. 101i <和3(1)N N i =++ 【答案】D【解析】 【分析】先将输出值的表达式分成两部分，平方部分与立方部分，即可得□内必为三次方求和形式；再根据所求表达式的最大值，即可确定◇内的内容.【详解】将式子3232231234599100S =+++++++L ， 等价化为2223331359924100S =++++++++L L ，由程序框图可知，2M M i =+，则□内必为三次方求和形式，故排除BD ；因为2223331359924100S =++++++++L L ，从1i =开始，先计算平方形式，而平方形式只计算到299，因而A 中101i ≤时，会计算到2101，不合题意排除.则◇内应填写101i <.综上可知，◇和□两个空白框中分别填入101i <及3(1)N N i =++，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的综合应用，根据输出值完善程序框图，注意对输出式子的理解，属于中档题.8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6S =( ) A. 128 B. 126 C. 124 D. 120【答案】D 【解析】 【分析】根据首项及递推公式，依次代入即可分别求得23456,,,,a a a a a ，即可得6S 的值.【详解】数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，11a =，23a =， 当2n =时，代入可得22213132a a a a a a +=⋅++，解得37a =， 当3n =时，代入可得23324242a a a a a a +=⋅++，解得415a =， 当4n =时，代入可得24435352a a a a a a +=⋅++，解得531a =， 当5n =时，代入可得25546462a a a a a a +=⋅++，解得663a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则6123456S a a a a a a =+++++137153163=+++++120=，故选：D.【点睛】本题考查了递推公式求数列项的应用，前n 项和的求法，属于中档题.9.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A. 36 B. 24 C. 22 D. 20【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得甲乙相邻的所有排列方法，再扣除甲乙相邻且甲和丁也相邻的情况，即为甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数.【详解】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有24242432148A A =⨯⨯⨯⨯=种；若甲和乙相邻、甲和丁也相邻，则甲不能在最左端和最右端，当甲站在中间三个位置时，乙和丁分别位于两侧，另两个人站剩余两个位置，共有12232232212C A A =⨯⨯=种.故甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为481236-=种， 故选：A.【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对位置由特殊要求的排列问题，选择用总数去掉不合题意的部分，即为所求内容，是常用方法，属于中档题.10.已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =u u u r u u u r，则AB 斜率为( ) A. 43-B. 34-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作1AA 垂直于准线交准线于1A ，画出几何关系图形.由//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，可得15AF AM AD AP ==，结合抛物线定义可知115A x AM AP AA ==求得点A 的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线AF 斜率，即为AB 的斜率.【详解】抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ， 则()1,0F ，准线方程为1x =-.根据题意画出几何关系如下图所示：作1AA 垂直于准线交准线于1A .//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，则15AF AM AD AP ==， 1AA 垂直于准线交准线于1A ，则115A x AM AP AA ==， 即115A A x x =+，解得14A x =， 代入抛物线方程可得1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 斜率，即为AF 的斜率，所以1041314k -==--. 故选：A.【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其几何性质的综合应用，平行线分线段成比例性质应用，直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.11.已知函数2(1)1,2 ()1(2),22x xf xf xx⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx=-有4个零点，则实数m的取值范围是( )A.516,26⎛⎫-⎪⎝⎭B.56,3222⎛⎫--⎪⎝⎭C.1,32220⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,206⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据函数零点定义可知()f x mx=有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x≤<和46x≤<的解析式，可求得y mx=与两段函数相切时的斜率，即可求得m的取值范围.【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x xf xf x x⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx=-有4个零点，即()f x mx=有四个不同交点.画出函数()f x图像如下图所示：由图可知，当24x≤<时，设对应二次函数顶点为A，则13,2A⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk==，当46x≤<时，设对应二次函数的顶点为B，则15,4B⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk==.所以11206m<<.当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mx y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得3m =-3m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得52m =52m =；故当()f x mx =有四个不同交点时52m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.12.已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( ) A. 1010π B.20212π C. 2020πD.40412π 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L 由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解.【详解】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d =函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ， 则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=L L ， 即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L ① 对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos 22i i i d a a --+=⨯ ()12020202122cos cos22i d a a -+=⨯，记120202a a m +=，将①化简可得 ()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦L ，即20192017201520202cos coscos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦L ② 令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ， 由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦L ，所以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A.【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知x ，y 满足约束条件10{0x y x y x +-≤-≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】2 【解析】解：如图所示，绘制不等式组表示的可行域，观察可知，目标函数在点()0,1A 处取得最大值22z x y =+= .点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：a zy x b b=-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e =______________.【答案】2或422± 【解析】 【分析】根据等腰三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论.先求得对应渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，进而得,a b 的等量关系，即可求得双曲线离心率的平方值.【详解】过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，有以下三种情况： ①，当过2F 的直线l 斜率不存在时，如下图所示：根据双曲线的对称性可知，若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,2OA OB AOB π=∠=.所以其中一条渐近线的倾斜角为4π，即tan 14ba π==，则a b =，由双曲线性质可得22222c a b a =+=，所以2222222c a e a a===；②，当过2F 的直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆等腰直角三角形，则,4OA AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为38π，由半角公式可得tan 218π=，所以tantan348tan2181tan tan 48πππππ+==-⋅， 即21ba=， 所以由(2222422c a b a =+=+， 所以(22222422422a c e aa+===+③当过2F 直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,4OB AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为8π，由半角公式可得tan 218π=，所以21ba=-， 所以由(2222422c a b a =+=-， 所以(22222422422a ce a a -===-综上可知，双曲线离心率的平方为2或422±， 故答案为：2或422±.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，根据等腰直角三角形条件，分类讨论直角顶点的情况，正切和角公式的应用，直线倾斜角与斜率关系，计算量较为复杂，属于难题. 15.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，若()f x 在[0,1]上恰好有两个最值，且在11[,]44-上单调递增，则ω=_____________. 【答案】43π【解析】 【分析】根据函数所过的顶点，即可求得ϕ的值，代入解析式，由()f x 在[0,1]上恰有两个最值及在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得关于ω的不等式组，结合不等式组即可求得ω的值.【详解】函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)， 代入可得12sin ϕ=，解得26k πϕπ=+或52,6k k Z πϕπ=+∈， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()f x 在[0,1]上恰有两个最值，所以3625620x x ππωππωω⎧+≥⎪⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得4733ππω≤<； ()f x 在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则满足4624620ωππωππω⎧-+≥-⎪⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得403πω<≤， 综上可知43πω=. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及应用，函数单调性、最值的综合应用，属于中档题.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】【分析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ，故答案为：1.7820.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接,CE DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=.（1）求BCE ∆的面积；（2）求CD 的长.【答案】（1）32BCE S ∆=；（2）7CD = 【解析】【分析】（1）由题意可得1BE =，在BCE ∆中由余弦定理可求得BC ，结合三角形面积公式即可得BCE ∆的面积. （2）由23A B CED π∠=∠=∠=可得BCE AED ∠=∠，从而证明BCE AED ∆∆:，可求得ED .再在CDE ∆中由余弦定理即可求得CD 的长.【详解】（1）由题意可知4AE BE =，4AE =，则1BE =.在BCE ∆中由余弦定理可得2222cos CE BC BE BC BE B =+-⋅⋅， 代入可得227121cos3BC BC π=+-⨯⨯， 解得2BC =， 由三角形面积公式可得1sin 2BCE S BC BE B ∆=⋅⋅1212=⨯⨯= （2）因为23A B CED π∠=∠=∠=， 所以3BCE CEB AED CEB π∠+∠=∠+∠=， 则BCE AED ∠=∠，因为A B ∠=∠，所以BCE AED ∆∆:， 则2142CE BC ED AE ===，所以2ED CE ==，在CDE ∆中由余弦定理可得2222cos CD DE CE DE CE CED =+-⋅⋅∠，代入可得222872cos493CD π=+-⨯=， 所以7CD =.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，由相似三角形求线段长，属于基础题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,OE OC ，由正方形性质及条件，可证明EF ⊥平面OCE ，从而可得EF OC ⊥，进而证明OC ⊥平面11ABB A ，即可由面面垂直的判定定理证明平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）结合（1）及线面垂直关系，可得,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面CEF 的法向量，即可由线面夹角的向量求法求得直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连接,OE OC ，如下图所示：三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =， O 为AB 中点，则OC AB ⊥，11ABB A 是为正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，O 为AB 中点，所以OE EF ⊥，又因为CE EF ⊥，且OE CE E ⋂=，所以EF ⊥平面OCE ，又因为OC ⊂平面OCE ，所以EF OC ⊥，且AB OC ⊥，EF 与AB 相交，则OC ⊥平面11ABB A ，又因为OC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A .（2）因为1AA AB ⊥，平面ABC I 平面11ABB A AB =，平面ABC ⊥平面11ABB A .所以1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥.又因为BC CE ⊥，1CE AA E ⋂=，所以BC ⊥平面11AAC C ，则BC AC ⊥.所以1OC =.又1AA ⊥平面ABC ，1//AA OF ，所以OF ⊥平面ABC ，从而,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0O C A ，()()()10,1,1,0,0,2,1,0,2E F C .所以()()()11,1,1,1,0,2,1,1,2CE CF AC =-=-=-u u u r u u u r u u u u r .设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =r .则00CE n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即020x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令1z =，解得2,1x y ==， 则()2,1,1n =r ，设直线1AC 与平面CEF 所成的角为θ， 由直线与平面夹角的求法可得111sin 2AC n AC n θ⋅==⋅u u u u r r u u u u r r . 【点睛】本题考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质与判定，利用空间向量求直线与平面夹角的方法，属于中档题.19.设直线3:AC y x =与直线3:BD y x =分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD 的面积为3（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据两条直线解析式特征可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，则ACBD 为矩形，将:6AC y x =与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形ACBD 的面积确定参数，求得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程2y kx =+，两个交点坐标()()1122,,,M x y N x y .联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出1212,x x x x +，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率k .由中点坐标公式即可求得线段MN 中点G 的坐标，进而求得2OG 的值，即可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，所以四边形ACBD 为矩形，则2214x y m m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得A A x y ==所以4D A B A AC x y S ⋅===解得1m =， 代入椭圆方程可得2214x y +=. （2）存在.设()()1122,,,M x y N x y ，由题意可知直线MN 的斜率必然存在.直线MN 过点 (0,2)P ，设直线MN 的方程为2y kx =+， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()224116120k x kx +++=， 所以1212221612,4141kx x x x k k +=-=++，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，则1212OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++()()21212124k x x k x x =++++()222121612404141k k k k k ⎛⎫=+⨯+-+= ⎪++⎝⎭， 解方程可得2k =±，经检验可知都满足>0∆.设线段MN 的中点为()00,G x y . 则1202816,21741x x k x k +==-=±+ ()121202422,221741k x x y y y k +++====+ 所以22200260289OG x y =+=， 所以存在满足条件的圆，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与椭圆交点坐标求法，由韦达定理求参数值，中点坐标公式的应用，圆的标准方程求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于难题.20.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．。
2020年3月黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三网络模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三毕业班下学期网络在线模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年3月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0B. 1-C. 1i -D. 1i +【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简即可得解.【详解】由复数的除法运算,化简可得 ()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-, 故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算,属于基础题.2.设{1,2,3}A =,2{|10}B x x x =--<,则A B =( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合B,再由交集运算即可求解.【详解】2{|10}B x x x =--<,解不等式可得1515|B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 所以由交集运算可得{}{}1,2,31515|1A B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合交集的简单运算,属于基础题.3.某校为了研究a ,b 两个班的化学成绩,各选了10人的成绩,绘制了如下茎叶图,则根据茎叶图可知,a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83,aB. 82.5,bC. 82.5,aD. 82,b【答案】C【解析】【分析】 根据茎叶图,可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况,即可判断化学成绩更稳定的班级.【详解】由茎叶图可知,a 班10人化学成绩从低到高排列,第五个人的成绩为82,第6个人的成绩为83,所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知,a 班化学成绩分布较为集中,且低成绩和高成绩人数较少,因而a 班化学成绩更稳定.故选：C .【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,由茎叶图的数据求中位数并由数据分布判断稳定性,属于基础题.4.已知向量(1,3),(,1)a b x ==且a 与b 的夹角为60︒,则||b =( )。
黑龙江省哈三中 2020届高三第四次模拟(理科数学)含答案
a
2 n
an .
2
(1) 数 an 的 公式C
(2) 若 bn
2 an
1
,
anan 1
数
bn 的前 n 和 Tn .
18.（本小题满分 12 分）
如图,
P ! ABCD 的 面 ABCD 是 , 平 面 PAD 平 面 ABCD ,
PA PD 2 , 且 PA PD , 点 N 为 BC 中点.
(1) 证 ：平面 PAB 平面 PCD C (2) 直线 PB 和平面 PAD 所成的角为 45 ，
字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题, 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
4 3
,
将正方体割去部分后,
剩余几何体的三视图如图所示, 则剩余几何体的体积为
23
A.
27
43
B.
27
16 3
C.
27
2
D.
3
正视图
侧视图
俯视图 数学试卷（理工类） 第 3页 共 8 页
11. 若实数 a, b 满足 2 lg( 1 2) lg a lg b , 则 ab 的最小值为 ab
A. 2
xy5
A. 2
B. 4
C. 11
D. 14
5sin x x3 6. 函数 f (x) 5x 5!x 的图象大致为
y
y
－1 o
2020年哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校第三次高考模拟联考数学试题(理科).doc
2020年哈尔滨三中、东北育才、大连育明、天津耀华四校第三次高考模拟联考数学试题（理科）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合Φ=⋂==-+==B A m x y x B x y y x A 若},|),{(},1)1lg(|),{(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1<mB ．1≤mC ．1-<mD ．1-≤m 2．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一动圆过点l l x y A 则直线相切且恒与定直线上圆心在抛物线,,21),21,0(2=的方程为（ ）A ．21=x B ．161=x C ．21-=y D ．161-=y4．正项等比数列1511383,6lg lg lg ,}{a a a a a a n 则中=++的值为 （ ）A ．100B ．10000C ．1000D ．105．某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）A ．162种B ．108种C ．216种D ．432种6．已知0)(,1)(1>--=-x f x x x f 则的解集是（ ）A ．),1(+∞-B ．(]1,1-C ．（—1，1）D ．),1(+∞ 7．若a a a a a a n n 则实数,9141414lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+--∞→Λ等于（ ）A ．3B ．35 C ．3135或D ．31 8．函数a ax x x f a 则实数上恒为正值在区间,),1()4(log )(2+∞+-=的取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．)2,1()1,0(⋃C ．)32,1(D ．（1，4）9．已知F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率为e ，且e PF e PF 则|,|||21=的值为（ ）A ．33B ．32-C ．22 D ．22-10．若实数)0(,0630402,>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤--a y ax z y x y x y x y x 若目标函数满足仅在点（2，0）处取最小值，则实数a 的范围是（ ）A ．（1，3）B ．（+∞,3）C ．（0，3）D ．（0，1）11．定义在R 上的函数x x f 对任意的实数成中心对称的图象关于点,)0,43()(-都有)2009()3()2()1()0(,2)0(,1)1(,0)23()(f f f f f f f x f x f +++++-==-=++Λ则且的值为 （ ）A ．2B ．—2C ．4D ．012．已知一个四面体ABCD 中除AD 外其它5条棱长都等于,515则当它的体积最大时，A ，D 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离为 （ ）A ．)54arccos(21- B ．2πC ．41arccos 21 D ．π2053第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上。
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第1页（共20页） 2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷（理科）（一） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）设i是虚数单位，则复数12ii在复平面内对应的点所在象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）已知集合2{|4}Mxx„，{Na，}a，若MNNI，则a的取值范围是( ) A．[2，) B．(，2][2U，) C．[2，0)(0，2] D．[2，2] 3．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为( )
A．332 B．3 C．32 D．532 4．（5分）下列说法正确的是( ) A．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等 B．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样
C．“1x”是“2320xx”的必要不充分条件 D．命题p：“0xR，使得200320xx的否定为：“xR，均有2320xx…” 5．（5分）欧拉公式cossin(ixexixi为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有 第2页（共20页）
非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie表示的复数在复平面中位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（5分）工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为( ) A．140 B．100 C．80 D．70 7．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值1()[,2]4fx，那么输入的实数x的取值范围是( )
A．[1，2] B．[2，1] C．(，1][2U，) D．(，1](2,)U
8．（5分）若02，02，1cos()43，3cos()423，则cos()(2 ) A．33 B．33 C．539 D．69 9．（5分）设数列{}na是公差不为0的等差数列，其前n项和为nS，若7210SS，且1a，
3a，6a成等比数列，则前n项和nS等于( ) A．2788nn B．2744nn C．2324nn D．2nn 10．（5分）若函数2()log(2)(0afxxxa，1)a在区间1(0,)2内恒有()0fx，则()fx的单调递增区间是( ) A．1(,)4 B．1(,)4 C．1(,)2 D．(0,) 11．（5分）已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若2ABBC， 第3页（共20页）
120ABC，且三棱锥OABC的体积为3，则球O的表面积为( ) A．323 B．16 C．52 D．64 12．（5分）定义方程()()fxfx的实根0x叫做函数()fx的“新驻点”，若函数2()1xgxe，()(1)hxlnx，3()1xx的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(
) A．abc B．cba C．cab D．bca 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.） 13．（5分）已知向量ar，br满足||3ar，||2br，且ar与br的夹角为60，则|2|abrr ．
14．（5分）实数x，y满足条件402200,0xyxyxy„…厖，则41log(1)2xy的最大值为 ． 15．（5分）双曲线22122:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，且抛物线22:2(0)Cypxp的焦点与双曲线1C的焦点重合，若双曲线1C与抛物线2C的交点P满足
212PFFF，则双曲线1C的离心率e ． 16．（5分）已知南北回归线的纬度为2326，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90||．当地夏
半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地（纬度为0)的一幢高为0h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于 （结果用含有0h和0的式子表示）． 三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，274sincos222ABC． （1）求角C； （2）若332ABCS，7c，求a，b的值． 18．（10分）已知三棱柱111ABCABC的侧棱垂直于底面，90BAC，11ABACAA，E、F分别是棱1CC、BC的中点． 第4页（共20页）
（1）求证：1BF平面AEF； （2）求直线1BF与平面1ABE所成的角的正弦值．
19．（10分）某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如图： （1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数； （2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定； （3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为，求的分布列及均值．
20．（10分）已知过圆221:1Cxy上一点13(,)22E的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆22222:1(0)xyCabab的上顶点和右顶点． （1）求椭圆2C的方程； （2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点(1,0)Q，求证：PMPN．
21．（10分）已知111123Sn，211121Sn，直线1x，xn，0y与曲线1yx所围成的曲边梯形的面积为S，其中nN，且2n…． （Ⅰ）比较1S，S，2S的大小（直接写出结论，不需要证明）； 第5页（共20页）
（Ⅱ）当0x时，(1)1axlnxaxx恒成立，求实数a的值； （Ⅲ）求证：131112()3132313ninlnlnnnnn． 22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建
立平面直角坐标系，直线l的参数方程222(222xttyt为参数）． （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换2xxyy得到曲线C，设曲线C上任一点为(,)Mxy，求点M
到直线l距离的最大值． 23．（10分）已知关于x的不等式2|||25|5xaxa． （1）当1a时，求不等式的解集； （2）若该不等式有实数解，求实数a的取值范围． 第6页（共20页）
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷（理科）（一） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）设i是虚数单位，则复数12ii在复平面内对应的点所在象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：1(1)(2)132(2)(2)5iiiiziii
Q，
1355zi，
z在复平面内对应的点的坐标为1(5，3)5，所在象限为第四象限． 故选：D． 2．（5分）已知集合2{|4}Mxx„，{Na，}a，若MNNI，则a的取值范围是( ) A．[2，) B．(，2][2U，) C．[2，0)(0，2] D．[2，2] 【解答】解：{|22}MxxQ剟，{Na，}a，且MNNI， aM，aM， 22a剟，
a的取值范围是[2，2]．
故选：D． 3．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为( ) 第7页（共20页）
A．332 B．3 C．32 D．532 【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和． 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122，底面积为12，
观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322322， 则该几何体的表面积为332． 故选：A． 4．（5分）下列说法正确的是( ) A．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等 B．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样
C．“1x”是“2320xx”的必要不充分条件 D．命题p：“0xR，使得200320xx的否定为：“xR，均有2320xx…” 【解答】解：A．在频率分布直方图中，面积是频率，（每个小长方形的面积S长宽频数组距组距频率），中位数左右两边的频数是相等的，中位数是最中间的那个数，所
以面积是相等的，而众数左边和右边的直方图的面积相等不正确，故A错误， B．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B错误， C．由2320xx得1x或2x，则“1x”是“2320xx”的充分不必要条件，故C错误，
D．命题p：“0xR，使得200320xx的否定为：“xR，均有2320xx…”，故D正确 故选：D． 5．（5分）欧拉公式cossin(ixexixi为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有