2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷（理科）（一）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）设i 是虚数单位，则复数12i

i

-+在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．（5分）已知集合2{|4}M x x =?，{N a =-，}a ，若M N N =I ，则a 的取值范围是(

)

A ．[2，)+∞

B ．(-∞，2][2-U ，)+∞

C ．[2-，0)(0?，2]

D ．[2-，2]

3．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为( )

A ．

332

π

B ．3π

C ．

32

π D ．

532

π

4．（5分）下列说法正确的是( )

A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等

B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样

C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件

D ．命题p ：“0x R ?∈，使得2

00320x x -+<的否定为：“x R ?∈，均有2320x x -+…

” 5．（5分）欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有

非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6．（5分）工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为( ) A ．140

B ．100

C ．80

D ．70

7．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值1()[,2]4

f x ∈，那么输入的实数x 的取

值范围是( )

A ．[1-，2]

B ．[2-，1]

C ．(-∞，1][2U ，)+∞

D ．(-∞，

1](2,)+∞U

8．（5分）若02

π

α<<

，02π

β-

<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-cos()(2

β

α+= )

A 3

B ．3

C 53

D ．6 9．（5分）设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于( )

A ．2788n n +

B ．2744n n

+

C ．2324

n n

+

D ．2n n +

10．（5分）若函数2()log (2)(0a f x x x a =+>，1)a ≠在区间1

(0,)2

内恒有()0f x >，则()

f x 的单调递增区间是( ) A ．1

(,)4

-∞-

B ．1

(,)4-+∞

C ．1

(,)2

-∞-

D ．(0,)+∞

11．（5分）已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，

C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，

120ABC ∠=?，且三棱锥O ABC -

O 的表面积为( )

A ．

323

π

B ．16π

C ．52π

D ．64π

12．（5分）定义方程()()f x f x ='的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数2()1x g x e =+，

()(1)h x ln x =+，3()1x x ?=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a b c >>

B ．c b a >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13．（5分）已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r ，且a r 与b r 的夹角为60?，则|2|a b -=r r ．

14．（5分）实数x ，y 满足条件40

2200,0x y x y x y +-??

-+???

?…

厖，则41log (1)2x y ++的最大值为 ． 15．（5分）双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线

22:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e = ．

16．（5分）已知南北回归线的纬度为2326'?，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90||θ?δ=?--．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0)?的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于 （结果用含有0h 和0?的式子表示）．

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，27

4sin cos222

A B C +-=． （1）求角C ； （2

）若ABC S ?

，c =a ，b 的值． 18．（10分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=?，11AB AC AA ===，

E 、

F 分别是棱1C C 、BC 的中点．

（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；

（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值．

19．（10分）某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如图： （1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；

（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定； （3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值．

20．（10分）已知过圆221:1C x y +=上一点13()2E 的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、

B 恰好分别为椭圆22

222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点和右顶点．

（1）求椭圆2C 的方程；

（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线

MN 过定点(1,0)Q -，求证：PM PN ⊥．

21．（10分）已知111123S n =++?+，211

121

S n =++?+

-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1

y x

=

所围成的曲边梯形的面积为S ，其中n N ∈，且2n …

． （Ⅰ）比较1S ，S ，2S 的大小（直接写出结论，不需要证明）；

（Ⅱ）当0x >时，

(1)1ax

ln x ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：131112

()3132313n i n ln ln n n n n

=+<+-<+--∑．

22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程2(2x t y ?=+

????=-??为参数）．

（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设曲线C 经过伸缩变换2x x

y y '=??'=?

得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y ''，求点M

到直线l 距离的最大值．

23．（10分）已知关于x 的不等式2|||25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；

（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷（理科）（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）设i 是虚数单位，则复数12i

i

-+在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解答】解：1(1)(2)132(2)(2)5

i i i i

z i i i ----===

++-Q ， 13

55

z i ∴=

-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为1

(5，3)5

-，所在象限为第四象限．

故选：D ．

2．（5分）已知集合2{|4}M x x =…，{N a =-，}a ，若M N N =I ，则a 的取值范围是(

)

A ．[2，)+∞

B ．(-∞，2][2-U ，)+∞

C ．[2-，0)(0?，2]

D ．[2-，2]

【解答】解：{|22}M x x =-Q 剟

，{N a =-，}a ，且M N N =I ， a M ∴∈，a M -∈，

22a ∴-剟，

a ∴的取值范围是[2-，2]．

故选：D ．

3．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为( )

A ．

32

π

B ．π

C ．

32

π D ．

52

π

【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．

又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ???=，底面积为1

2

π，

观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1222??=

则该几何体的表面积为3

2

π．

故选：A ．

4．（5分）下列说法正确的是( )

A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等

B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样

C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件

D ．命题p ：“0x R ?∈，使得2

00320x x -+<的否定为：“x R ?∈，均有2320x x -+…”

【解答】解：A ．在频率分布直方图中，面积是频率，（每个小长方形的面积S =长?宽

=

?频数

组距

组距=频率）

，中位数左右两边的频数是相等的，中位数是最中间的那个数，所以面积是相等的，而众数左边和右边的直方图的面积相等不正确，故A 错误，

B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行

编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误，

C ．由2320x x -+=得1x =或2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，

故C 错误，

D ．命题p ：

“0x R ?∈，使得2

00320x x -+<的否定为：“x R ?∈，均有2320x x -+…”，故D 正确 故选：D ．

5．（5分）欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有

非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解答】解：2cos2sin 2i e i =+， 2(,)2

π

π∈Q ，

cos2(1,0)∴∈-，sin 2(0,1)∈，

2i e ∴表示的复数在复平面中位于第二象限．

故选：B ．

6．（5分）工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为( ) A ．140

B ．100

C ．80

D ．70

【解答】解：由题意知本题是一个分类问题，

Q 从4名女教师，5名男教师中选3名教师，要求男、女教师都有，

∴共有1个男教师2个女教师；2个男教师1个女教师两种情况，

∴共有12214545403070C C C C +=+=种结果，

故选：D ．

7．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值1()[,2]4

f x ∈，那么输入的实数x 的取

值范围是( )

A ．[1-，2]

B ．[2-，1]

C ．(-∞，1][2U ，)+∞

D ．(-∞，

1](2,)+∞U

【解答】解：由题意函数()f x 可看成是分段函数，

2,[2,2]

()2,(,2)(2,)x x f x x ?∈-?=?

∈-∞+∞??

U ， 当输出的函数值1

()[,2]4f x ∈时，

①1

()2[4x f x =∈，2]，[2x ∈-，2]，

即解1224

x

剟，

解得21x -剟，即[2x ∈-，1]，

②()2f x =时，(x ∈-∞，2)(2?，)+∞，

由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即(x ∈-∞，1](2,)+∞U ． 故选：D ．

8．（5分）若02

π

α<<

，02π

β-

<<，1cos()43πα+=，cos()42πβ-cos()(2

β

α+= )

A B ． C D ． 【解答】解：02

π

α<<

Q ，02

π

β-

<<，

∴

34

4

4π

π

πα<

+<

，4422

ππβπ<-<

sin()4πα∴+==

，sin()42πβ-=

cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442β

ππβππβππβαααα∴+

=+--=+-++- 故选：C ．

9．（5分）设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于( )

A ．2788n n

+

B ．2744n n

+

C ．2324

n n

+

D ．2n n +

【解答】解：数列{}n a 是公差d 不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+， 可得11721210a d a d +=++，①

1a ，3a ，6a 成等比数列，即为2

163

a a a =，即2111(5)(2)a a d a d +=+，②

由①②可得11a =，14

d =

， 前n 项和2117(1)248n n n

S n n n +=+-=g ．

故选：A ．

10．（5分）若函数2()log (2)(0a f x x x a =+>，1)a ≠在区间1

(0,)2

内恒有()0f x >，则()

f x 的单调递增区间是( ) A ．1

(,)4

-∞-

B ．1

(,)4-+∞

C ．1

(,)2

-∞-

D ．(0,)+∞

【解答】解：当1

(0,)2

x ∈时，22(0,1)x x +∈，01a ∴<<，

Q 函数2()log (2)(0a f x x x a =+>，1)a ≠由()log a f x t =和22t x x =+复合而成，

01a <<时，()log a f x t =在(0,)+∞上是减函数，

所以只要求220t x x =+>的单调递减区间． 220t x x =+>的单调递减区间为1(,)2-∝-，()f x ∴的单调增区间为1

(,)2

-∝-，

故选：C ．

11．（5分）已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，

C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，

120ABC ∠=?，且三棱锥O ABC -O 的表面积为( )

A ．

323

π

B ．16π

C ．52π

D ．64π

【解答】解：三棱锥O ABC -，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且2AB BC ==，

120ABC ∠=?，AC =

1

22sin1202

ABC S ?=????=

Q 三棱锥O ABC -ABC ?的外接圆的圆心为G ，OG G ∴⊥e ，

外接圆的半径为：2GA =

=，

∴

1

3

OG ，得3OG =，

球的表面积：2452ππ?=． 故选：C ．

12．（5分）定义方程()()f x f x ='的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数2()1x g x e =+，

()(1)h x ln x =+，3()1x x ?=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a b c >>

B ．c b a >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

【解答】解：对于2()1x g x e =+，构造2()()()1x F x g x g x e '=-=-，依题意，函数()F x 的零点就是函数()g x 的“新驻点”，得0a =；

对于()(1)h x ln x =+，构造1

()()()(1)1

G x h x h x ln x x '=-=+-

+， ()G x 单调递增，且(0)10G =-<，G （1）1

202

ln =-

>，()G x ∴的零点(0,1)b ∈； 对于3()1t x x =-，构造32()()()31H x t x t x x x '=-=--，

2()363(2)H x x x x x '=-=-，当(x ∈-∞，0)(2?，)+∞上，()0H x '>；当(0,2)x ∈上，

()0H x '<．

()H x ∴的增区间为(,0)-∞，(2,)+∞；减区间为(0,2)． (0)10H =-

H Q （3）10=-<，H （4）150=>，()H x ∴的零点(3,4)c ∈．

综上可得，c b a >>， 故选：B ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）

13．（5分）已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r ，且a r

与b r 的夹角为60?，则|2|a b -=r r 7 ．

【

解

答

】

解

：

由

题

意

得

1||||cos60323

2

a b a b =?=??=r r

r r g ；

2222|2|(2)444344327a b a b a b a b ∴-=-=+-?+-?r r r r

r r r r g

故答案为：27

14．（5分）实数x，y满足条件

40

220

0,0

x y

x y

x y

+-

?

?

-+

?

?

?

?

…

厖

，则

4

1

log(1)

2

x y

++的最大值为1．【解答】解：作出实数x，y满足条件

40

220

0,0

x y

x y

x y

+-

?

?

-+

?

?

?

?

…

厖

对应的平面区域（阴影部分），

令

1

1

2

z x y

=++，得

1

1

2

y x z

=-+-，

平移直线

1

1

2

y x z

=-+-，

由图象可知当直线

1

1

2

y x z

=-+-经过点B时，

直线

1

1

2

y x z

=-+-的截距最大，此时z最大．

由

40

220

x y

x y

+-=

?

?

-+=

?

，解得(2,2)

B．

此时z的最大值为

1

2214

2

z=?++=；

∴

4

1

log(1)

2

x y

++的最大值为

4

log41

=；

故答案为：1．

15．（5分）双曲线

22

122

:1(0,0)

x y

C a b

a b

-=>>的左、右焦点分别为

1

F、

2

F，且抛物线

2

2

:2(0)

C y px p

=>的焦点与双曲线

1

C的焦点重合，若双曲线

1

C与抛物线

2

C的交点P满足212

PF F F

⊥，则双曲线

1

C的离心率e=12

+．

【解答】解：抛物线的焦点坐标(

2

p

，0)，双曲线的焦点坐标(,0)

c，

所以

2p c =，(2

p

P ，)p 可得2

b p a

=，所以22b ac =，可得222c a ac -=，

2210e e --=，1e >，

解得1e =

故答案为：1

16．（5分）已知南北回归线的纬度为2326'?，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90||θ?δ=?--．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0)?的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于 00tan(2326)h ?+?'g （结果用含有0h 和0?的式子表示）． 【解答】解：090||90|(2326)|θ?ξ?'=?--=?---?，

∴

h tan θ=影长

， ∴影长0

00tan(2326)tan h h ?θ

=

=+?'g ． ∴两楼的距离应不小于00tan(2326)h ?+?'g ．

故答案为：00tan(2326)h ?+?'g ．

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，27

4sin cos222

A B C +-=． （1）求角C ；

（2）若ABC S ?，c =a ，b 的值． 【解答】解：（1）211

sin [1cos()](1cos )222

A B A B C +=-+=+Q ，2cos22cos 1C C =-，

∴由2

74sin cos222A B C +-=，得212cos 2cos 02C C -+=，解之得1

cos 2

C =， C Q 是三角形的内角，

60C ∴=?；

（2）60C =?Q ，c =

3313

sin 2ABC S ab C ab ?∴=

==，可得6ab =，① ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得22227()3()18a b ab a b ab a b =+-=+-=+-，解

得5a b +=，②

∴联立①②可得：23a b =??

=?，或3

2a b =??=?

． 18．（10分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=?，11AB AC AA ===，

E 、

F 分别是棱1C C 、BC 的中点．

（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；

（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值．

【解答】解：（1）因为AF BC ⊥，1AF BB ⊥，

所以AF ⊥平面11BCB C ，所以1AF B F ⊥，由?1AB AC AA ===，则22211B F EF B E +=，所以?B F EF ⊥， 所以?B F ⊥平面AEF ；

（2）以AB ，AC ，?AA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则(0A ，0，0)，?(1B ，0，1)，(0E ，1，1)2

，11(,,0)22F ，111

(,,1)22B F =--u u u u r ，

平面?AB E 的法向量为(,,)m x y z =r ，111

(1,0,1),(1,1,)2

AB B E ==--u u u u r u u u u r ，

110

1

02

m AB x z m B E x y z ?=+=?

?=-+-=??u u u

u r r g u u u u r r g ，得(2,1,2)m =-r ， 设直线?B F 与平面?AB E 所成的角为α， 则11|12|

62sin |cos ,|3

32

m B F α-+

+=<>=

=u u u u r r g 直线1B F 与平面1AB E 6 19．（10分）某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如图： （1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；

（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定； （3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值．

【解答】解：（1）由茎叶图可知，甲科代表成绩的中位数为8384

83.52

+=；乙科代表成绩的中位数为

8284

832

+=． （2）甲科代表成绩的平均数为17978838483899094

858

x +++++++==；

乙科代表成绩的平均数为27580828284929590

858

x +++++++=

=．

（3）乙科代表成绩不低于90分的概率为3

8

，

ξ可能的取值为0，1，2，3，

003

335125(0)()()88512P C ξ===

g g ； 112

335225(1)()()88512P C ξ===

g g ； 221335135

(2)()()88512P C ξ===

g g ； 330

33527(3)()()88512

P C ξ===

g g ． 所以ξ的分布列如下表所示：

ξ 0 1 2 3

P

125

512

225

512

135

512

27

512

均值为125225135275769

01235125125125125128

?

+?+?+?==． 20．（10分）已知过圆221:1C x y +=上一点13

()2E 的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、

B 恰好分别为椭圆22

222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点和右顶点．

（1）求椭圆2C 的方程；

（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线

MN 过定点(1,0)Q -，求证：PM PN ⊥．

【解答】解：（1）设过点1

(2E

的切线方程为1()2y k x =-，

即102kx y k -=， 因为圆心到直线的距离等于半径，

1

|1k =

，解得k =，

所以切线方程为0y -=， 令0x =

，得y =

，A ， 令0y =，得2x =，(2,0)B ．

所以b =

，2a =， 所以椭圆2C 方程为：22

144

3

x y +=． （2）由（1）可知(2,0)p -，

设直线MN 方程为：1x my =-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 联立直线与椭圆的方程得：22(3)230m y my +--=， 12223m y y m +=

+，12

23

3

y y m -=+， 121212(1)(1)()x x my my m y y +=-+-=+，

212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =--=-++， 1(2PM PN x =+u u u u r u u u r

g ，12)(2y x +g ，21212)(2)(2)y x x y y =+++ 1212122()4x x x x y y =++++，

212121212()12[()2]4m y y m y y m y y y y =-++++-++， 21212(1)()1m y y m y y =++++，

22

232(1)(

)()133

m

m m m m -=+++++， 22223323

03m m m m --+++==+，

所以PM PN ⊥． 21．（10分）已知111123S n =

++?+，211

121

S n =++?+

-，直线1x =，x n =，0y =与曲

线1

y x

=

所围成的曲边梯形的面积为S ，其中n N ∈，且2n …． （Ⅰ）比较1S ，S ，2S 的大小（直接写出结论，不需要证明）； （Ⅱ）当0x >时，

(1)1ax

ln x ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：131112

()3132313n i n ln ln n n n n

=+<+-<+--∑．

【解答】解：（Ⅰ）1

1

n

S dx x

=?， 故：12S S S <<．

（Ⅱ）由已知得：当0a ?时，(1)0ln x +>，0ax ?，不合题意， 故：0a >． 由于

(1)1

ax

ln x x <++恒成立， 即：(1)(1)(0)ax x ln x x <++>恒成立， 令：()(1)(1)m x x ln x ax =++-， 所以：()(1)1m x ln x a '=++-，

当1a ?时，()m x 在(0,)+∞上为增函数，此时()0m x >成立． 当1a >时，()m x 在1(0,1)a e --上为减函数，不合题意舍去， 所以：1a ?．

令()(1)n x ax lnx x =-+，1

()1

n x a x '=-

+， 当1a …时，()n x 在(0,)+∞上为增函数， 此时，()0n x >，(1)ln x ax +<恒成立，

当01a <<时，()n x 在1

(0,1)a

-上为减函数，不合题意，舍去，

所以：1a …， 综上所述：1a =．

证明：（Ⅲ）由已知：11

1121111

()()3231332313n

n

i i n n n n n n n ==+-=++-----∑∑， 由于111111111

(1)(1)23323123n n n n n

+++?+-+++?+=++?+

++， 所以：

11111131

(1)(1)(1)1231231

n ln ln ln ln

n n n n n n n +++?+>++++?++=+++++， 111123()()()3123131

n n n ln ln ln ln n n n n n n ++++?+<++?+=+++-，

故：131112

()3132313n i n ln ln n n n n

=+<+-<+--∑．

22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程22

(2x t y ?=+

????=-??为参数）． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设曲线C 经过伸缩变换2x x

y y '=??'=?

得到曲线C '，设曲线C '上任一点为(,)M x y ''，求点M

到直线l 距离的最大值．

【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是1ρ=，转换为直角坐标方程为221x y +=． 直线l

的参数方程2(22x t y ?=+

????=-+??为参数），转化为直角坐标方程为40x y --=． （2）将曲线C 经过伸缩变换2x x y y

'=??'=?得到曲线C '，得到：2

214x y +=，

设(2cos ,sin )

M θθ，所以点M

到直线40x y --=的距

离

d =

=

，

当sin()1θα+=-

时，max d =

=

． 23．（10分）已知关于x 的不等式2|||25|5x a x a +++-<． （1）当1a =时，求不等式的解集；

（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，令()|1||3|5g x x x =++-<， 当1x <-时，()225g x x =-+<，解之得312

x ->>-，

当13x -

当3x …

时，()225g x x =-<，解之得732

x

x ∈-．

（2）222|||25||25||25|x a x a x a x a a a +++-+--+=-+…， 所以2|25|5a a -+<，

即25255a a -<-+<，解之得，(0,2)a ∈．