新课标理科数学2012年高考考前30天巩固训练：第9天
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列-卷 27.pdf
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列卷27 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1．若全集，集合，，则集合=▲ ． 2．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的_____ ▲ 条件． （填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个） 3．如图1,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图， 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为___▲_____. 4．已知，，若，则正数的值等于 ▲ ． 5．如图2所示的算法流程图中，若则的值等于 ▲ ． 6．已知正六棱锥的底面边长为1， 侧面积为3，则该棱锥的体积为 ▲ ． 7． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，， 设，则满足的概率为 ▲ ． 8．已知函数的图像关于直线对称，且为函数的一个零点，则的最小值为 ▲ ． 9．设圆：的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 ▲ ． 10．已知数列满足，则该数列的前10项的和为 ▲ ． 11．已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 ▲ ． 12．1的正方体叠成的图形 图3 例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．个图形的表面积是__________个平方单位．13．如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为．则的最大值是 ▲ ．14．已知，且，， 则的值等于 ▲ ． 图二、解答题（本大题共6小题，满分90分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知的面积为，且满足，设和的夹角为． （I）求的取值范围； （II）求函数的最大值及取得最大值时的值． 16．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，， 为线段的中点，为线段的中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）当的比值为多少时，平面，并说明理由． 17．一化工厂因排污趋向严重，2011年1月决定着手整治。
高考数学 考前30天之备战冲刺系列三数列 理 教师
考前30天之备战2012高考数学冲刺系列三数 列（理）教师版【命题趋势】：等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题. 数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题. 【方法与技巧】【高考冲刺押题】【押题1】已知等比数列{n a }的前n 项和为Sn,S 3＝14，S 6 =126.（1)求数列{n a }的通项公式； (2)设122311n T a a a a =++…＋11n n a a +，试求n T 的表达式· 【押题指数】★★★★★【押题2】已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，),2(2*11N n n a a a n n n ∈≥+=+-，数列{}n b 满足21=b ,n n n n b a b a 112++=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 为等比数列；并求数列{}n b 的通项公式. 【押题指数】★★★★★【押题3】设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.【押题指数】★★★★★【解析】（1）由题意得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a == 所以()412212n n n a a q--==【押题4】数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +c n （c 是不为零的常数，n ∈N*），且a 1，a 2．a 3成等比数列．(1)求c 的值； (2)求{a n }的通项公式； (3)求数列}{nn cn ca ⋅-的前n 项之和T n ． 【押题指数】★★★★★因为11121110211+-==-=T ，所以nn n T N n 211*,+-=∈∀……14分 【押题5】若数列}{n A 满足21nn A A =+，则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即 )12)12)(12(21+++=n n a a a T （，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >的n 的最小值． 【押题指数】★★★★★（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a .----5分1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5n n n T a a =++++=-，215nn T -=.------7分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a 11,222n n S n -=-+. ----10分112220122n n --+> 110072nn +> min ,1007n =.------13分 【押题6】已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b>0，求证：111nii ibb b=+<∑．【押题指数】★★★★★（ⅱ）1b b=>，1()n nb f b+=，则21()n n n nb f b b b+==+；所以21n n nb b b+=-；所以211111111n n n n n nn n n n n n n n nb b b b b bb b b b b b b b b++++++⋅-====-⋅⋅⋅．因为21n n nb b b+=->，所以111n n nb b b b b+->>>>=>；所以11122311111111111()()()nii i n n nbb b b b b b b b b b=+++=-+-++-=-<∑．……13分【押题7】已知，数列{}n a有paaa==21,（常数0>p），对任意的正整数nnaaaSn+++=21,，并有nS满足2)(1aanS nn-=。
2012年高考数学考前30天三轮专题提分必练绝密之九(江苏专用)
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(九)A[专题九 三角函数的图象与性质](时间：45分钟)一、填空题1．要得到函数y ＝cos 2x 的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π4个单位长度；②向右平移π4个单位长度；③向左平移π2个单位长度；④向右平移π2个单位长度．2．若函数y ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4的最小正周期为π，则正实数a ＝________. 2012二轮精品提分必练3．函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图9－1所示，则f(x)的表达式是f(x)＝________.4．已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，下面四个结论中正确的是________． ①函数f(x)的最小正周期为2π； ②函数f(x)的图象关于直线x ＝π6对称；③函数f(x)的图象是由y ＝2cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到的；④函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6是奇函数． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4－22sin 2x 的最小正周期为________． 6．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎫A>0，ω>0，|φ|≤π2的图象与直线y ＝b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f(x)的单调递增区间是________．7．若f(x)＝2sin (ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值为________．8．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2，给出下列四个论断： ①它的周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12对称；③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数． 请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：________(用序号表示)．二、解答题9．已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求cos A 的值；(2)求函数f(x)＝cos 2x ＋52sin A sin x 的值域．10．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．11．已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．第 3 页 共 9 页2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(九)B[专题九 三角函数的图象与性质](时间：45分钟)一、填空题1．函数f(x)＝cos x(sin x ＋cos x)(x ∈R )的最小正周期是________． 2．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图9－2所示，则ω的值为________． 2012二轮精品提分必练3．设点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x 的图象的一个交点，则(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝________.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调递增区间是________． 5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，则实数ω的最小值为________． 6．设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )； ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 二、解答题7．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度所对应的函数是偶函数．2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(九)A1．① 【解析】 因为sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x ，所以向左平移π4个单位长度． 2．2 【解析】 由函数y ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4的最小正周期为π知2π|a |＝π，则正实数a ＝2. 3.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 【解析】 由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.又52－122＝1，所以k ＝1.因为52－1＝32，则A ＝32.由f ⎝⎛⎭⎫π12＝52，得φ＝π3.故f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 4．④ 【解析】 ①由题求得函数f (x )的最小正周期为π，①错误； ②将x ＝π6代入得f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，其函数图象不关于直线x ＝π6对称，故②错误； ③函数f (x )的图象是由y ＝2cos2x 的图象向左平移π12个单位长度得到的，故③错误；④令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin2x ，是奇函数，故④正确． 5．π 【解析】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4－22sin 2x ＝－22cos2x ＋22sin2x －22sin 2x第 5 页 共 9 页＝－22cos2x ＋22sin2x －22·1－cos2x 2＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，故T ＝π. 6．[6k,6k ＋3](k ∈Z ) 【解析】 由函数f (x )的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8知，函数f (x )的周期为T ＝2πω＝8－2，得ω＝π3.再由三角函数的图象与直线y ＝b (0<b <A )交点的特征知：2与4的中点必为函数f (x )的最大值点的横坐标，由五点法知π3×3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π－π2又|φ|≤π2，得φ＝－π2，则f (x )的单调递增区间满足2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2，得x ∈[6k,6k ＋3](k ∈Z )．7．－5或－1 【解析】 关系式f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t 说明函数图象关于直线x ＝π8对称，即当x ＝π8时，2sin ⎝⎛⎭⎫ω·π8＋φ＝2或－2.当2sin ⎝⎛⎭⎫ω·π8＋φ＝2时，m ＝－5； 当2sin ⎝⎛⎭⎫ω·π8＋φ＝－2时，m ＝－1. 8．①②⇒③④或①③⇒②④ 【解析】 当①②成立时，因为函数周期为π，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数图象关于直线x ＝π12对称，则2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，得φ＝π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，故图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；作出图象可知f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数．也可由①③推出②④. 9．【解答】 (1)因为π4<A <π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210， 所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210. 所以cos A ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210×22＋7210×22＝35. (2)由(1)可得sin A ＝45.所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，x ∈R .因为sin x ∈[－1,1]，所以，当sin x ＝12时，f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3. 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 10．【解答】 (1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f (x )＝sin x 2－cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4， 而－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2， 此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π2＋4k π，k ∈Z . (2)(法一)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，由k ∈Z ，得k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. (法二)x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0，即tan ωπ8＝1. 所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2.又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1.由k∈Z ，得k ＝0，ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 11．【解答】 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 由题意可知函数的周期T ＝2π2ω＝π，故ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2， 此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，第 7 页 共 9 页即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z . 2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(九)B1．π 【解析】 f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )＝sin x ·cos x ＋cos 2x ＝12sin2x ＋1＋cos2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，故f (x )的最小正周期是π. 2.π4 【解析】 由图象可知34T ＝6，即T ＝8，所以ω＝2π8＝π4. 3．2 【解析】 因为tan x 0＝－x 0，故sin x 0＝－x 0cos x 0，即x 20cos 2x 0＋cos 2x 0＝1，故cos 2x 0(x 20＋1)＝1.又(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝2cos 2x 0(x 20＋1)，故(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝2.4.⎣⎡⎦⎤0，π8 【解析】 由0≤x ≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4，又y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而知π4≤2x ＋π4≤π2⇒0≤x ≤π8，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8. 5．3 【解析】 因为f ⎝⎛⎫π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，所以由三角函数图象的性质可得⎝⎛⎭⎫k ＋14T ＝π2－π3＝π6(k ≥0，k ∈Z )．又2πω＝T ＝π6k ＋14，所以ω＝12k ＋3(k ≥0，k ∈Z )即ωmin ＝3. 6．①③ 【解析】 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1.解得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0或f ⎝⎛⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，f 7π10＝a 2＋b 2sin 7π5＋π6＝a 2＋b 2sin47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，则此直线需与x 轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．故⑤错．7．【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z ， f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 8．【解答】 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴－π4<π4＋φ<3π4，∴π4＋φ＝π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 依题意，T 2＝π3，又T ＝2π，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数为 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4. g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，第 9 页 共 9 页即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3(x ＋m )＋π4， g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立， 亦即sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4， 即2sin3x cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立． ∴cos ⎝⎛⎭⎫3m ＋π4＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.。
2012高考考前30天能力提升特训(共33份,理数,解析版)
考前30天能力提升特训11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22 －y 23＝1 D. x 23－y 22＝1 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12 B.2－1 C.55 D.223．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 ( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．284．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B.52 C.32 D.621．B 【解析】 ||PF 1＝2(5)2＋22＝6，|PF 2|＝4，a ＝6－42＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1.2．B 【解析】 显然F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设椭圆的半焦距为c ，则c ＝p 2，两曲线的一个交点为A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，即A(c,2c)，设椭圆的左焦点为F ′，则在Rt △AF ′F 中，F ′F ＝2c ，AF ＝2c ，∴AF ′＝22c.根据椭圆性质有22c ＋2c ＝2a ，∴e ＝22＋22＝2－1.3．C 【解析】 设||PF 1＝r 1，||PF 2＝r 2，则r 1＋r 2＝14，r 21＋r 22＝4c 2＝100，故r 1·r 2＝48，所以S △PF 1F 2＝12r 1·r 2＝24.4．B 【解析】 由题意知c ＝5，a 2c ＝4，所以a ＝25，则e ＝c a ＝52.考前30天能力提升特训21．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2，＝cos2x 这四个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为( ) A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4 B ．y ＝8×1.2n ＋2.4n C ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4 D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.43．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数4．(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.5.定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．1．B 【解析】 依题意知，满足题意的函数图象需具有这样的特征：对于这个函数图象上任意两点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中0＜x 1＜x 2＜1，直线x ＝x 1＋x 22与函数f (x )的交点的位置始终高于与线段MN 的交点的位置，结合所给函数的图象逐一分析可知，满足该性质的函数只有y ＝log 2x .2．A 【解析】 第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n ＝1时，C 、D 相对应的函数值均不为12，故可排除C 、D ；A 、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年付给工人的工资总额及A 、B 相对应的函数值，又可排除B.3．D 【解析】 由题意可知，f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg1＋x1－x，其定义域为(－1,1)，在此定义域内，f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x )，函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．4．1 【解析】 (lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.5．【解答】 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，则f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )， 由此得t 2－2t ＞－2t 2＋k ，即3t 2－2t －k ＞0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫ －∞，－13.考前30天能力提升特训31．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}x |x ＋1＜0，B ＝{}x |x －3＜0，那么集合(∁U A )∩B ＝( ) A.{}x |－1≤x ＜3 B.{}x |－1＜x ＜3 C.{}x |x ＜－1 D.{}x |x ＞32．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“|a ＋b|＝|a|＋|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．下面有四个命题： ①集合N 中最小的数是1； ②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1,1}． 其中真命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．不等式1x －1＜1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a ＞0的解集记为q ，已知p是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．∅ D ．[－2，＋∞)5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件1．A 【解析】 ∵A ＝{}x |x ＜－1，B ＝{}x |x ＜3，∴∁U A ＝{}x |x ≥－1，∴(∁U A )∩B ＝{}x |－1≤x ＜3.故选A.2．B 【解析】 当a ∥b 时，若此时两者反面共线，则有|a ＋b |＜|a |＋|b |，即此时|a ＋b |＝|a |＋|b |不成立；反过来，当|a ＋b |＝|a |＋|b |时，有|a ＋b |2＝(|a |＋|b |)2，a·b ＝|a|·|b|，即|a|·|b |cos 〈a ，b 〉＝|a |·|b |≠0，cos 〈a ，b 〉＝1，〈a ，b 〉＝0，此时向量a ，b 同向共线，a ∥b .3．A 【解析】 ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如a ＝12时，命题不成立；③假命题，如a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1；④假命题，{}1，1与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为{}1.4．A 【解析】 不等式1x －1＜1等价于1x －1－1＜0，即x －2x －1>0，解得x >2或x ＜1.不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，不等式的解是x >1或x ＜－a ，此时只能是a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是x ＜1或x >－a ，只能是－a ＜2，即－2＜a ＜－1.综合知－2＜a ≤－1.5．A 【解析】 若直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直，则m ＝0或m 1－2m ·⎝⎛⎭⎫－3m ＝－1，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的充分不必要条件．考前30天能力提升特训41．若A ＝{}2，3，4，B ＝{}x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n ，则集合B 中的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知P ＝{}a |a ＝(1，0)＋m (0，1)，m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( ) A.{}(1，1) B.{}(－1，1) C.{}(1，0) D.{}(0，1)4．已知命题p ∶对任意x ∈R,2x 2＋2x ＋12＜0；命题q ∶sin x －cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题1．B 【解析】 由题意知，B ＝{}6，8，12，则集合B 中的元素个数是3.2．C 【解析】 条件显然是充分的；当a ＋b ＞0且ab ＞0时，根据ab ＞0可得a ，b 同号，在a ＋b ＞0下，a ，b 同号只能同时大于零，条件是必要的．3．A 【解析】 ∵a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n ，m ＝1＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0，∴P ∩Q ＝{}(1，1).4．B 【解析】 ∵⎪⎪⎪⎪x x －1＞x x －1⇔xx －1＜0⇔0＜x ＜1，∴p 为真命题．又在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔sin A ＞sin B ，则q 为真命题．所以p 和q 都是真命题，即“p 且q ”为真．故选B.考前30天能力提升特训51．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．有一机器人运动的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式为s (t)＝t 2＋3t ，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为( ) A.194m/s B.174m/s C.154m/s D.134m/s 3．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫ 0，12 4．设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A.[]3，6B.[]3，4＋3C.[]4－3，6D.[]4－3，4＋31．D 【解析】 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围是a ＜1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )＞0，∴g (x )为增函数．2．D 【解析】 ∵s (t )＝t 2＋3t ，∴s ′(t )＝2t －3t 2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．3．D 【解析】∵f ′(x )＝3x 2－6b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＜0，f ′(1)＞0，)即⎩⎪⎨⎪⎧－6b ＜0，3－6b ＞0，)∴0＜b ＜12.4．A 【解析】 f ′(x )＝3sin θx 2＋cos θx ＋4，f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，∴f ′(－1)的取值范围是[]3，6.考前30天能力提升特训61．若a ＞2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根2．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范是( ) A ．(4，＋∞) B ．(－∞，4) C ．(10，＋∞) D ．(－∞，10)3．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下4个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x4．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[]－2，2，f (mx －2)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围是________ .1．B 【解析】 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )．∵a ＞2，∴2a ＞4，于是，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a ＜0，∴f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．2．D 【解析】 在曲线C ∶y ＝2x 2上取一点D (x 0,2x 20)(x 0＞0)．对y ＝2x 2求导得y ′＝4x ，∴y ′|x ＝x 0＝4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，得x 0＝1，此时D (1,2)，k AD ＝2－(－2)1－0＝4，直线AD 的方程为y ＝4x －2.要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，实数a 的取值范是(－∞，10)．3．D 【解析】 对于选项A ，f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项B ，f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2＜0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项C ，f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ＜0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项D ，f (x )＝－x e －x ，则f ″(x )＝(2－x )e －x ＞0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故此函数不是凸函数．4.⎝⎛⎭⎫－2，23 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0恒成立，∴f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数．由f (mx －2)＋f (x )＜0得f (mx －2)＜－f (x )＝f (－x )，∴mx －2＜－x ，即mx －2＋x ＜0在m ∈[]－2，2上恒成立．记g (m )＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＜0，g (2)＜0，)即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x ＜0，2x －2＋x ＜0，)求得－2＜x ＜23.考前30天能力提升特训71．函数y ＝log 13(2－x )的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(1,2) D ．[1,2)2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)(x ＞0)，x 2＋ax ＋b (x ≤0)，若f (3)＝2，f (－2)＝0，则b ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．23．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是________________．4.已知函数f (x )＝x ＋2a 2x ＋a ln x .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设a ＝1，g (x )＝f ′(x )，问是否存在实数k ，使得函数g (x )的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．1．D 【解析】 由log 13(2－x )≥0，得0＜2－x ≤1，解得1≤x ＜2.2．A 【解析】 ∵f (3)＝2，∴log a 4＝2，解得a ＝2.又f (－2)＝0，即(－2)2＋2×(－2)＋b ＝0，∴b ＝0.＜m ＋1，∴y 1＝f (m －1)＜y 2＝f (m )＜f (m ＋1)＝y 3.3.⎣⎡⎦⎤1，1a 【解析】 由f ′(x )＝－x (x ＋1)≤0得x ≤－1或x ≥0，即f (x )的递减区间为(]－∞，－1和[)0，＋∞，则f (x )的递增区间为[]－1，0.∵0＜a ＜1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，由复合函数的单调性可知－1≤log a x ≤0，即1≤x ≤1a 时，g (x )为减函数．4．【解答】 解法一：∵(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f (x )＝x ＋2a 2x＋a ln x ，∴f ′(x )＝1－2a 2x 2＋a x ＝(x ＋2a )(x －a )x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝1＞0，所以f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)； 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，即(x ＋2a )(x －a )x 2＞0，解得x ＞a ，所以f (x )的单调递增区间是(a ，＋∞)； 当a ＜0时，由f ′(x )＞0，即(x ＋2a )(x －a )x 2＞0，解得x ＞－2a ，所以f (x )的单调递增区间是(－2a ，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝1－2x 2＋1x .假设存在实数k ，使得g (x )的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对于任意x 2＞x 1＞0，都有g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1≥k ，亦即g (x 2)－kx 2≥g (x 1)－kx 1.令函数h (x )＝g (x )－kx ＝1－2x 2＋1x －kx (x ＞0)．故问题等价于h ′(x )＝4x 3－1x 2－k ≥0，即k ≤4x 3－1x2对x ＞0恒成立．令t ＝1x ＞0，即函数F (t )＝4t 3－t 2(t ＞0)．则F ′(t )＝12t 2－2t ，令F ′(t )＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝16.故知F (t )在⎝⎛⎭⎫0，16内单调递减，在⎝⎛⎭⎫16，＋∞内单调递增． 所以当t ＝16时，F (t )取得最小值，且最小值为－1108.∴当x ＞0时，F ⎝⎛⎭⎫1x ＝4x 3－1x 2≥－1108，当且仅当x ＝6时等号成立． 故k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1108. 解法二：(1)同解法一．(2)当a ＝1时，g (x )＝1－2x 2＋1x .假设存在实数k ，使得g (x )的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ，即对于任意x 2＞x 1＞0，都有g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1≥k .(*)∵g (x 2)－g (x 1)＝1－2x 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫1－2x 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤2(x 1＋x 2)x 21x 22－1x 1x 2， 于是问题转化为k ≤2(x 1＋x 2)x 21x 22－1x 1x 2对于任意x 2＞x 1＞0恒成立． ∵x 2＞x 1＞0，∴2(x 1＋x 2)x 21x 22－1x 1x 2＞4x 1x 2x 21x 22－1x 1x 2＝4⎝⎛⎭⎫1x 1x 23－⎝⎛⎭⎫1x 1x 22. 令函数H (x )＝4x 3－x 2(x ＞0)， 由解法一知H (x )的最小值为－1108. 又因为1x 1x 2＞0， 所以H ⎝⎛⎭⎫1x 1x 2＝4⎝⎛⎭⎫1x 1x 23－⎝⎛⎭⎫1x 1x 22≥－1108，所以当k ≤－1108时，(*)成立．以下证明当k ＞－1108时，g (x )的图象上存在不同两点连线的斜率小于k .取x 1＝6，x 2＝t (t ＞0且t ≠6)，且g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1＝2(x 1＋x 2)－x 1x 2x 21x 22＝2(6＋t )36t 2＝－6t 3－t 9t 2. 取－1108＜k 0＜0，且k 0＜k ，要证3－t9t 2＜k 有t ＞0且t ≠6的解，只需证3－t9t2＜k 0，即证9k 0t 2＋t －3＞0有t ＞0且t ≠6的解．(**) 设函数φ(t )＝9k 0t 2＋t －3， 则φ(t )的图象的对称轴为直线t ＝－118k 0，且－118k 0＞0， 又∵Δ＝1＋108k 0＞0， 所以(**)成立．故当k ＞－1108时，g (x )的图象上存在不同两点连线的斜率小于k .综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1108.考前30天能力提升特训81．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( ) A.49 B.12 C.23D ．与P 点位置有关2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．－23．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 4．已知△ABC 中，顶点B (－2,0)，C (2,0)，且三边|AB |，|BC |，|AC |成等差数列． 求顶点A 的轨迹L 的方程；1．A 【解析】 依题意，联立直线与双曲线的方程得⎩⎨⎧y ＝12x ，x 29－y24＝1，)消元整理可得x 2＝1447， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，12x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，12x 2，P(x 0，y 0)，则x 1x 2＝－1447，x 1＋x 2＝0，且由点P 在双曲线上可得y 20＝4⎝⎛⎭⎫x 209－1，则k PA ·k PB ＝y 0＋67x 0＋127·y 0－67x 0－127＝y 20－367x 20－1447， 而y 20－367＝4⎝⎛⎭⎫x 209－1－367＝49⎝⎛⎭⎫x 20－9－817＝49⎝⎛⎭⎫x 20－1447，所以k PA ·k PB ＝y 20－367x 20－1447＝49.2．D 【解析】 由题设，得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|×h(h 为F 1F 2边上的高)，∴当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取得最大值，此时∠F 1PF 2＝120°. 此时PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 3.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 【解析】 依题意得b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1≥tan 30°， ∴e ≥233. 4．【解答】 (1)设动点A(x ，y)，由|AB|，|BC|，|AC|成等差数列，得|AC|＋|AB|＝2|BC|＝8.依定义知点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不含长轴上两顶点)，且长轴长2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故顶点A 的轨迹L 的方程为x 216＋y 212＝1(y ≠0)．考前30天能力提升特训91．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则||b ＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．252．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( ) A ．30° B．60° C ．90° D．120°3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a∥b ，则a·b 等于( ) A ．－10 B ．－6 C ．0 D ．64．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B. 2 C.22 D.325．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共由5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为P 。
【考前30天绝密资料】2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之二(江苏专用)
2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二)[专题二 分段函数](时间：45分钟)一、填空题1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，10x ，x ≤0，则f(f(－2))＝________.2．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞)，则使f(x 0)>14的x 0的取值范围为________．3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx ，x<A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c ＝________，A ＝________.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x<2，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2(x ≤0)，2ax －1(x>0)(a 是常数且a>0)，对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________．6．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________________________________________________________________________个．二、解答题7．已知常数a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3a 4x ，|x |≥a 2，494a 2x ，|x |<a2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若0<a ≤2，求f (x )在区间[1,2]上的最小值g (a )．8．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若关于x 的方程|f (x )|＝g (x )只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[－2,2]上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步骤)．2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二)1．－2 【解析】 ∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝10－2＝1100>0，所以f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f (f (－2))＝－2.2．(－∞，1]∪(3，＋∞) 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，2－x >14＝2－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，log 81x >14＝log 813，解得x ≤1或x >3.3．60 16 【解析】 由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f (4)＝c 4＝30⇒c ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.4．(0,1) 【解析】 f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．5．①③④ 【解析】 函数f (x )的图象如下图所示．2012二轮精品提分必练由图象知，①正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，④正确．6．2 【解析】 在函数f (x )＝2e x 的图象上任取一点A (a ，b )，则该点关于原点的对称点B (－a ，－b )在函数f (x )＝2x 2＋4x ＋1的图象上，故b ＝2e a b ＝2a 2－4a ＋1，所以有2e a ＝－2a 2＋4a －1(a ≥0)．令g (x )＝2ex (x ≥0)，h (x )＝－2x 2＋4x －1(x ≥0)，画出两函数的图象如下：2012二轮精品提分必练由图象可知，这两个函数有两个交点，即f (x )的“友好点对”有2个． 7．【解答】 (1)当|x |<a 2时，f (x )＝494a 2x 为增函数．当|x |≥a 2时，f (x )＝x 3＋3a 4x ，f ′(x )＝3x 2－3a 4x 2.令f ′(x )>0，得x >a 或x <－a .∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，⎝⎛⎭⎫－a 2，a2和(a ，＋∞)．(2)由(1)知函数f (x )的大致图象如下：2012二轮精品提分必练由图可知，①当1<a <2时，a2<1<a ，f (x )在区间[1，a )上递减，在(a,2]上递增，最小值为f (a )＝4a 3；②当0<a ≤1时，f (x )在区间[1,2]上为增函数，最小值为f (1)＝1＋3a 4； ③当a ＝2时，f (x )在区间[1,2]上为减函数，最小值为f (a )＝f (2)＝32.综上，f (x )在[1,2]上的最小值g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋3a 4，0<a ≤1，4a 3，1<a ≤2.8．【解答】 (1)方程|f (x )|＝g (x )，即|x 2－1|＝a |x －1|，变形得|x －1|(|x ＋1|－a )＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，而原方程只有一解，即要求方程|x ＋1|＝a 有且仅有一个等于1的解或无解，而当|x ＋1|＝a 只有一个解时a ＝0，此时x ＝－1≠1，不满足题意，故方程无解，故a <0. (2)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即 (x 2－1)≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立，①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ； ②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1)，－(x ＋1)(x <1).因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2，所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤－2.(3)因为h (x )＝|f (x )|＋g (x )＝|x 2－1|＋a |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a －1(x ≥1)，－x 2－ax ＋a ＋1(－1≤x <1)，x 2－ax ＋a －1(x <－1).①当a2>1，即a >2时，结合图象可知h (x )在[－2,1]上递减，在[1,2]上递增，且h (－2)＝3a ＋3，h (2)＝a ＋3，经比较，此时h (x )在[－2,2]上的最大值为3a ＋3. ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，结合图象可知h (x )在[－2，－1]，⎣⎡⎦⎤－a2，1上递减，在⎣⎡⎦⎤－1，－a 2，[1,2]上递增，且h (－2)＝3a ＋3，h (2)＝a ＋3，h⎝⎛－a 2＝a 24＋a ＋1， 经比较，知此时h (x )在[－2,2]上的最大值为3a ＋3.③当－1≤a 2，即－2≤a <0时，结合图象可知h (x )在[－2，－1]，⎣⎡⎦⎤－a 2，1上递减， 在⎣⎡⎦⎤－1，－a 2，[1,2]上递增，且h (－2)＝3a ＋3，h (2)＝a ＋3，h⎝⎛－a 2＝a 24＋a ＋1， 经比较，知此时h (x )在[－2,2]上的最大值为a ＋3.④当－2≤a 2－1，即－4≤a <－2时，结合图象可知h (x )在⎣⎡⎦⎤－2，a 2，⎣⎡⎦⎤1，－a2上递减，在⎣⎡⎦⎤a 2，1，⎣⎡⎦⎤－a 2，2上递增，且h (－2)＝3a ＋3<0，h (2)＝a ＋3≥0，h (1)＝0， 经比较，知此时h (x )在[－2,2]上的最大值为a ＋3.⑤当a2<－2，即a<－4时，结合图象可知h(x)在[－2,1]上递增，在[1,2]上递减，故此时h(x)在[－2,2]上的最大值为h(1)＝0.综上所述，当a≥0时，h(x)在[－2,2]上的最大值为3a＋3；当－4≤a<0时，h(x)在[－2,2]上的最大值为a＋3；当a<－4时，h(x)在[－2,2]上的最大值为0.。
2012年高考考前数学理30天能力提升特训8(解析版)
考前30天能力提升特训81．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－23．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．4．已知△ABC 中，顶点B (－2,0)，C (2,0)，且三边|AB |，|BC |，|AC |成等差数列． 求顶点A 的轨迹L 的方程；1．A 【解析】 依题意，联立直线与双曲线的方程得⎩⎨⎧ y ＝12x ，x 29－y 24＝1，)消元整理可得x 2＝1447， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，12x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，12x 2，P(x 0，y 0)，则x 1x 2＝－1447，x 1＋x 2＝0，且由点P 在双曲线上可得y 20＝4⎝⎛⎭⎫x 209－1，则k PA ·k PB ＝y 0＋67x 0＋127·y 0－67x 0－127＝y 20－367x 20－1447， 而y 20－367＝4⎝⎛⎭⎫x 209－1－367＝49⎝⎛⎭⎫x 20－9－817＝49⎝⎛⎭⎫x 20－1447，所以k PA ·k PB ＝y 20－367x 20－1447＝49. 2．D 【解析】 由题设，得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|×h(h 为F 1F 2边上的高)， ∴当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取得最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.此时PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 3.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 【解析】 依题意得b a ＝c 2－a 2a ＝e 2－1≥tan 30°， ∴e ≥233. 4．【解答】 (1)设动点A(x ，y)，由|AB|，|BC|，|AC|成等差数列，得|AC|＋|AB|＝2|BC|＝8.依定义知点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不含长轴上两顶点)，且长轴长2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故顶点A 的轨迹L 的方程为x 216＋y 212＝1(y ≠0)．高`考≈试γ题≦库。
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列-卷 16.pdf
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列卷16 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 1、已知复数，那么的值是 ▲ . 2、集合，， 则 ▲ . 3、一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ . 4、如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积 ▲ . 5、已知,则 ▲ . 6、已知实数x，y满足的最小值为 ▲ . 7、由命题存在，使是假命题，求得的范围是则的值是 ▲ .1 8、已知函数，则函数在处的切线方程是 ▲ .x＋y1=0数列中，，当时，是的个位数，则 ▲ .4 10、已知函数x∈[a , b]的值域为[－1, 3 ]，则的取值范围是 ▲ . 11、若m、n、l是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题： ①若 ②若 ③若m不垂直于内的无数条直线 ④若 ⑤若 其中正确命题的序号是 ▲ .②④⑤ 12、如图，在四边形中，若， 则 ▲ . 13、对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是 ▲ . 14、若⊙与⊙相交于A、BA处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ▲ .4 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知， （1）求角； （2）若是△ABC的最大内角，求的取值范围． ABC中，由正弦定理，得 ， ……………2分 又因为，所以， ……………4分 所以, 又因为 , 所以． ……………6分ABC中，， 所以=， ……… 10分≤＜ , ≤＜， 所以sin()，即 2sin()， 所以的取值范围． ………………14分（本小题满分14分） 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足. （Ⅰ）当时，求证：平面平面； （Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值； 16. 证明：（Ⅰ）∵正方体中，面， 又∴平面平面， ……………4分 ∵时，为的中点，∴， 又∵平面平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面．………分 如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系． （Ⅰ）当时，即点为线段的中点， 则，又、 ∴，， 设平面的法向量为，…………2分 则，即，令，解得， …4分 又∵点为线段的中点，∴，∴平面， ∴平面的法向量为， ……5分 ∵， ∴平面平面， ………………………7分（Ⅱ）∵， 为线段上的点， ∴三角形的面积为定值，即………10分 又∵平面， ∴点到平面的距离为定值，即， ………………………12分 ∴三棱锥的体积为定值，即． （本小题满分1分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ …………………………………………………4分 ， 当且仅当，即时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．…………………8分 （2）设该单位每月获利为, 则…………………………………………………………………10分 因为，所以当时，有最大值． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．…………15分 18、（本小题满分分） 已知数列的前n项和为，＝1，且． （1）求，的值，并求数列的通项公式； （2）解不等式． （1）∵，∴． ……………… 1分 ∵，∴． ……………… 2分 ∵，∴（n≥2）， 两式相减，得． ∴．则（n≥2）． ……………… 4分 ∵，∴． ……………… 5分 ∵，∴为等比数列，． ………… 分 （2）， ∴数列是首项为3，公比为等比数列．………… 分 数列的前5项为：3，2，，，． 的前5项为：1，，，，． ∴n＝1，2，3时，成立； ………… 1分 而n＝4时，； ………… 1分 ∵n≥5时，＜1，an＞1，∴． ………… 1分 ∴不等式的解集为{1，2，3}． ………… 1分 16分） 已知直线，圆． （1）求直线被圆O所截得的弦长； （2）如果过点（－1，2）的直线与垂直，与圆心在直线上的圆M相切，圆M被直线分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M的方程． 19、（1）解法一：圆心O到直线l1的距离d＝＝1，……………1分 圆O的半径r＝2，…………………………………………………………………2分 所以半弦长为＝． ……………………………………………………4分 故直线l1被圆O所截得的弦长为2．…………………………………………5分 解法二：解方程组得或 ………2分 直线l1与圆O的交点是（，），（，）． 故直线l1被圆O所截得的弦长 ＝2． ……………5分 （2）因为过点（－1，2）的直线l2与l1垂直，直线l1的方程为3x＋4y－5＝0， 所以直线l2的方程为：4x－3y＋10＝0． ………………………………7分 设圆心M的坐标为（a，b），圆M的半径为R，则a－2b＝0． ① 因为圆M与直线l2相切，并且圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1， 所以＝R，＝R． 所以＝2×．……………………………………9分 可得4a－3b＋10＝2×(3a＋4b－5)或4a－3b＋10＝－2×(3a＋4b－5)． 即2a＋11b－20＝0，② 或2a＋b＝0．③ 由①、②联立，可解得a＝b＝． 所以R＝．故所求圆M的方程为(x－)2＋(y－)2＝．…………………12分 由①、③联立，可解得a＝b＝0． 所以R＝2．故所求圆M的方程为x2＋y2＝4．…………………………………14分 综上，所求圆M的方程为：(x－)2＋(y－)2＝或x2＋y2＝4． ………15分 20、（本小题满分1分）已知（不同时为零）. （1）当时，若存在使得成立，求的取值范围； （2）求证：在内至少有一个零点； （3）函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线的方程在上有且只有一个实数根，求的取值范围. 20（1）当时，==，， 当 解得，当无解， 所以的的取值范围为．…………………………………………4分 （2）， 法一：当时，适合题意………………………………………6分 当时，，令， 令，， 当时，，所以在内有零点． 当时，，所以在（内有零点．当时在内至少有一个零点在内至少有一个零点………10分 法二：，，． 由于不同时为零，所以，故结论成立． (3)因为=为奇函数，所以, 所以， 又在处的切线垂直于直线，所以，即． 因为 所以在上是函数，在上是减函数，由解得，如图所示， 所以所求的取值范围是或．当时，，即，解得； 当时， ，解得； 当时，显然不成立； 当时，，即，解得； 当时，，故． 21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4－1几何证明选讲 如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=∠POC． 证明：AE=AC，． 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．PDE=∠POC．B．选修4－2：矩阵与变换 在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=，N=解：=…………………………………………………4分 即在矩阵MN变换下…………………………………………6分 即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为……………10分C．选修4－4：坐标系与参数方程 （为参数）和圆的极坐标方程：． （1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线和圆的位置关系． 解：…………………………………2分 即， 两边同乘以得， …………………………………6分 （2）圆心到直线的距离， 所以直线和⊙相交． …………………………………10分 D．选修4－5：不等式选讲 已知x，y，z均为正数．求证：． 证明：因为x，y，z都是为正数，所以． 同理可得将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ，求随机变量的期望． 解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、； 表示事件“恰有一人通过笔试” 则 ---------------------------------------------------------------------5分 （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为， ---------------------------------------------------------------------8分 所以，故．-------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件， 则 所以， ，． 于是，． 23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点． （1）求实数的值； （2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？ 解：（1）将代入得，----------------------2分 由△可知， 另一方面，弦长AB，解得；-------------6分 （2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大， 则只须使得，-------------------------8分 即，即位于（4，4）点处．-------------------------------10分 第4题。
高考数学 考前30天巩固训练 第14天 理 新课标
2012年考前30天巩固训练6——23．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由a n ＋1＞|a n |可得a n ＋1＞a n ，∴{a n }是递增数列，∴“a n ＋1＞|a n |”是“{a n }为递增数列”的充分条件，当数列{a n }为递增数列时，不一定有a n ＋1＞|a n |，如：－3，－2，－1,0,1，…∴“a n ＋1＞|a n |”不是“{a n }为递增数列”的必要条件．答案 B4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解一：由已知a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，a 1＝2，∴a n －a n －1＝ln n n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，… a 2－a 1＝ln 21，将以上n －1个式子累加得：a n －a 1＝lnn n －1＋lnn －1n －2＋…＋ln 21＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＝ln n .∴a n ＝2＋ln n ．故选A.解法二 由a 2＝a 1＋ln 2＝2＋ln 2，排除C 、D ；由a 3＝a 2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝2＋ln 3，排除B.故选A.5．数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项是 A ．107 B ．108 C ．10818D ．109解析 －2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋2928＋3，故当n ＝7时最大．答案 B6——36．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于 A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析 ∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，又a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10(n ∈N *)．∴5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，∴k ＝8. 答案 B7．已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋10n ＋11，问该数列前多少项和最大．解析 设数列{a n }的前n 项和最大，则必有∴10≤n ≤11，又n ∈N *，∴n ＝10或11.即数列的前10项或11项的和取得最大值．答案 10或118．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列b n ＝1a n a n ＋1，其前n 项和为S n ，则S n 等于A.2n2n ＋1B.n 2n ＋1C.n2n －1D ．以上都不对解析 ∵a n ＝2n －1，∴b n ＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝12⎝ ⎛ 1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－⎭⎪⎫12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 答10,0n a a +≥⎧⎨≤⎩22221011010110,,(1)10(1)1108200n n n n n n n n ⎧⎧-++≥--≤⎪⎪⎨⎨-++++≤--≥⎪⎪⎩⎩即即案 B。
2012年高考考前数学理30天能力提升特训30(解析版)
考前30天能力提升特训301．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离为1的点的个数有()A．1个B．2个C．3 个D．4个2．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a等于()A. 2 B．2－ 2C.2＋1D.2－13．过点(－1,1)作直线与圆O：x2＋y2＝4相交，则所得的弦长度最短时，直线方程为() A．x＋y＋2＝0B．x－y－2＝0C．x＋y－2＝0D．x－y＋2＝04．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______．5．已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，且直线m：3x－2y＝0平分圆的面积．则圆C的方程为_________________．1．C 【解析】 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心O 1为(3,3)，半径r ＝3.设圆心O 1到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ，则d ＝||3×3＋4×3－1132＋42＝2＜3.如图，在圆心O 1同侧，与直线3x＋4y －11＝0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点(图中的A 、B 两点)，这两个交点符合题意．又r －d ＝3－2＝1.∴与直线3x ＋4y －11＝0平行的圆的切线的两个切点(图中的C 点)中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 2．D 【解析】 根据题意，圆心到直线的距离为1，即||a －2＋32＝1，a>0，解得a ＝2－1.本题要注意条件a>0，解题时往往忽视在小括号内的已知条件．3．D 【解析】 设该点为P(－1,1)，过P 点的直线的斜率为k ，当所求直线垂直于OP 时所求弦最短，此时k OP ＝－1，所以k ＝1，故所求直线方程为x －y ＋2＝0.4．206 【解析】 最长弦是过圆心的弦，最短的弦是过点(3,5)和直径垂直的弦．圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，故最长的弦长为10，最短弦长为225－1＝4 6.根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，得四边形ABCD 的面积是12×10×46＝20 6.5．(x －2)2＋(y －3)2＝1 【解析】 由已知得，线段AB 的中点为E ⎝⎛⎭⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心的坐标为C(2,3)， 而圆的半径r ＝||BC ＝(2－2)2＋(2－3)2＝1，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.高∷考╝试≒题α库。
2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列七 选修系列 教师版
考前30天之备战2012高考数学冲刺押题系列七选修系列教师版【命题趋势】：几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．【方法与技巧】1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．7．注意柯西不等式等号成立的条件⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，这时我们称(a 1，a 2)，(b 1，b 2)成比例，如果b 1≠0，b 2≠0，那么a 1b 2－a 2b 1＝0⇔a 1a 2＝b 1b 2.若b 1·b 2＝0，我们分情况说明：①b 1＝b 2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b 1＝0，b 2≠0，原不等式化为(a 21＋a 22)b 22≥a 22b 22，是自然成立的；③b 1≠0，b 2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b 1·b 2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定b 1·b 2≠0，等号成立的条件可写成a 1a 2＝b 1b 2. 【高考冲刺押题】【押题1】如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA=OB ，CA=CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC ，CD 。