高二数学空间向量基本定理
高二数学向量公式总结_公式总结
高二数学向量公式总结_公式总结
高二年级处于过渡阶段，要求背诵的公式也逐渐增多，为此查字典数学网整理了高二数学向量公式，请参考。
1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|
2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j
|向量OP|=根号(x平方+y平方)
3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)
那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝
|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]
4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝
向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cos=x1x2+y1y2
Cos=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|
(x1x2+y1y2)
根号(x1平方+y1平方)*根号(x2平方+y2平方)
5.空间向量：同上推论
(提示：向量a={x,y,z｝)
6.充要条件：
如果向量a向量b
那么向量a*向量b=0
如果向量a//向量b
那么向量a*向量b=|向量a|*|向量b|
或者x1/x2=y1/y2
7.|向量a向量b|平方
=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a*向量b
=(向量a向量b)平方
以上是高二数学向量公式的所有内容，请同学们好好记忆并学会运用。
高二数学共线向量与共面向量
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
O
B A
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且OP OA OB，求 的值.
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
(2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2MA －MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
高二数学共线向量与共面向量
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证：
OA OB OP 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O
a a
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a , b
不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要
条件是存在实数对x, y 使P
xa yb
b
B
p
A
P
M a A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以为边的平行四边形的面积为________．【答案】【解析】由空间中两点坐标可得，，由两向量间的夹角公式可得，可知，．【考点】空间向量的坐标运算．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．【考点】空间向量的平行．4.在空间直角坐标系中，已知，.若，则 .【答案】【解析】因为，所以，解得。
【考点】两空间向量垂直的数量积公式。
5.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点的坐标分别为，则=（）A．18B．12C．D．【答案】C【解析】由两点间的距离公式，得。
【考点】空间中的两点间的距离公式。
点评：直接考查空间中的两点间的距离公式，属于基础题型。
6.已知，则向量的夹角为 ( )A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】因为，所以(0，3，3)，(－1，1，0),所以cos<,>===，又<,>，故向量的夹角为60°，选C。
【考点】本题主要考查空间向量的坐标运算，计算数量积、求夹角。
点评：基础题，计算向量的夹角，要注意夹角的范围。
7.若向量，则_______________.【答案】4【解析】因为，所以==4.【考点】本题主要考查空间向量的坐标运算。
点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。
8.如图所示正方体的棱长为1 ，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从点分别向三个坐标平面作垂线，因为正方体的棱长为1，所以点的坐标是.【考点】本小题主要考查空间直角坐标系中点的坐标.点评：要找空间直角坐标系中点的坐标，要向坐标轴或坐标平面作垂线.9.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是A．－a+b+c B．a+b+c C．a－b+c D．－a－b+c【答案】A【解析】【考点】向量加减法的平行四边形法则三角形法则点评：该类题目首先把所求向量用已知向量采用首尾相接的方法表示10.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为【答案】（-1,2，-3）【解析】解：因为空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，只要竖坐标发生改变即可，其余不变，因此为（-1,2，-3）11.（12分）已知向量（1）求；（2）求夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】本试题主要考查了向量的数量积公式的运用，以及夹角公式的运算。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
高二数学空间向量及其运算2
高二备课组
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的
⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面
向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA （指向被减向量）
OP λa ( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
求证： ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
B
H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算
3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件
4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面。
重.2心.如。图求设证AA：G是△1 (BACBD 所AC在 A平D面) 外的一点，G是△BCD的 3
⑷ 1 (AB AD AA' )． 3
3.共线向量（平行向量） （1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量或平行向量 a平行于b,记作a∥b
（2）共线向量定理：
对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
高二数学共线向量与共面向量
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线
4.若对任意一点O，且 OP xOA y AB ，
则x+y=1是P、A、B三点共线的：
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设点P在直线AB上并且AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证：
OA OB OP 1
二.共面向量:
(2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2MA －MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、
它们一定是：
A.共面向量
共线向量与共面向量
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a , b (b o ), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习(共24张PPT)教育课件
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
些
计
划
，
有
的
计
划
《
几
乎
不
去
做
或
者
做
了
坚
持
不
了
多
久
。
其
实 我
成
功
的
关
键
是
做
很
坚
持
。
上
帝
没
有
在
我 是
们
出
生
的
时
候
给
我
们
什
么
额
外
的
装
备
， 算
也
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
•
•
•
•
•
•
《
极
，
那有 就些 在人 于经 坚常 持做 。一
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
高二数学空间向量
1§3.1.1-2空间向量及其运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，a的相反向量记着.叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b＝b ＋a加法结合律：(a＋b )＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb复习3：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a 与b平行的充要条件是二、新课导学探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB=，AB=，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b+-a.b2. 点C在线段AB上，且52ACCB=,则AC=AB, BC=AB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a；⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；⑶数乘分配律：λ(A. + b)=λA. +λb ．例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D-（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC+⑴；'AB AD AA++⑵；1'2AB AD CC++⑶1(')2ABAD AA++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA表示'',AC BD和'DB.探究任务二：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ; ⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-⑷23OS OA AB AC =+-.结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. ※ 动手试试练 1. 已知平行六面体''''ABC D AB C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +;⑶ 111111122AA A B A D ++⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++. 练2. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.3练 3. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=. 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=7 正方体''''A B C D AB C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .8. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .9. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++=AO10. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.11. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.12. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .13. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .14. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO . 15. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 316. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，若//a b ，求实数,x y .17.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．§3.1.3-5空间向量的数量积及坐标表示学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4. 掌握空间向量的坐标运算的规律；5.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；学习过程一、课前准备（预习教材P 90~ P 92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙.复习3：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量 ,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律 反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．5例 2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.探究任务二：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知：⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ， 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ . ⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .D A B C变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G 是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .探究任务三：空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝ 2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ； 3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: . ※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. ※ 动手试试7练1. 已知向量,a b 满足1a=，2b =，3a b +=，则a b -=____. 练 2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____.练3. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件．三、总结提升 ※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.3. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；4. 空间向量坐标表示及其运算5. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；6. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. ※ 知识拓展 1.向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.2.建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.3.在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中：①若0a b ∙=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c ∙=∙，则b c = ③()()a b c a b c ∙∙=∙∙ ④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e 3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙= 4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____6. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A.,,a a b a b +- B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++- 7. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是 8. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝9. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .10. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值. 11. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件 12. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥， 则x ＝ .13. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ ）A. 66±B. 66C. 66- D. 6±14. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x > 15. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=， 且(2)//(2)a b a b +-，则（ ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-课后作业：1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11AC 是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 6574．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=（ ）A ．－15B ．－ 5C ．－3D ．－1 7.如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==， OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .8. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6A B C CB C A A A ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.9.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥；⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦；⑶ 求CE 的长.10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。