概率论第一章第一讲1
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概率论第四版第一章第一讲
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
随机试验
这些试验具有以下特点： •1、可以在相同的条件下重复进行； •2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果； •3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现。
样本空间
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S。 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本 点。
确定性现象：在一定条件下必然发生
随机现象：具有统计规律性的现象
第一章 概率论的基本概念
§1 §2 随机试验 样本空间、随机事件
§3
§4
频率与概率
等可能概型（古典概率）
§5
§6
条件概率
独立性
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
f n (H)
n=500
f n (H)
nH
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
nH
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
f n (H)
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 S1：{H，T} 样本点为H，T
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情 况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
概率论讲义_带作业
例 已知某类产品的次品率为0. 2 ，现从一大批这类产品中随机抽查2 0 件. 问恰好 有 件次品的概率是多少？
3) 泊松分布
概率论的基本概念 样本空间
样本点
事件
事件的概率
练习 1. 抛一枚骰子，观察向上一面的点数；事件表示“出现偶数点”
2. 对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件表示“射击次数不超 过5 次”
事件之间的关系与运算
事件语言
集合语言
样本空间
事件
的对立事件
事件 或者
分布律：如果记离散型随机变量 所有可能的取值为
值的概率，即事件
的概率为
， 取各个可能
上式称为离散型随机变量 的分布律. 分布律也可以直观的表示成下列表格：
根据概率的性质，分布律中的 应该满足下列条件： 1． 2． 例 某系统有两台机器独立运转. 设第一台与第二台机器发生故障的概率分别是 0. 1 ，0. 2. 以 表示系统中发生故障的机器数，求 的分布律.
随机变量的例子
掷一枚色子，用 记点数；
掷三枚色子，用 记点数之和；
掷一枚硬币，记
为“出现正面”，
为“出现反面”；
变量的取值是随机的，依赖于随机试验的结果
用随机变量来表示事件
设 为一个实数集合，则用
表示一个事件 ，即
例如，某射手射击某个目标，击中计1 分，未中计0 分，则计分 表示一个随机
变量，且“击中”这个事件可以表示为
第二章 随机变量及其分布
Hale Waihona Puke 第六讲 随机变量 离散随机变量
概率论的另一个重要概念是随机变量. 随机变量的引入, 使概率论的研究由个别的 随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.
概率论第1讲-PPT精选
9•9+9•9+9•9=243
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
21 2020/8/1
集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
16 2020/8/1
二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r 个(0 < r n)构成一组. 这里, 不考虑这r 个元素的次序, 只研究有多少种不同的 取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的 组为一个组合. 对于所有不同的组合的 种数, 通常把它记作
n r
一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同 的元素(0 < r n)按照一定的顺序排成一 列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素 中取r个不同元素组成的一种排列. 对于 所有不同排列的种数1
先设0<r<n, 每一种排列由在r个有次序 位置上各放上一个元素所组成. 第一个 位置上的元素有n种不同的取法; 在它取 定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种 不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三 个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有nr+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所 求排列种数为
A={e1,e2,...}
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集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为:
A={1,2,...}; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集 合.
第一章 预备知识 第一节 排列与组合
3 2020/8/1
乘法原理: 如果一个过程可以分成两个 阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个 阶段的任一种做法都可以与第二个阶段 的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
概率论第一章第一节
( A B) C ( A C ) ( B C ),
(4)对偶律(De. Morgan公式)
A B A B, A B A B,
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
多个事件的并：
多个事件的交：
“n个事件A1, A2, …, An 同时发生”也是一事件， 称为事件A1, A2, …, An的 交或积，记作
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论与数理统计中，把对自然现象、社会现象所 进行的观察或科学实验，统称为试验． 满足下述3个条件的试验称为随机试验． (1)在相同的条件下可以重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，且在试验之前 已知试验的所有可能结果；
基本事件：由一个样本点组成的单点集合，称为基 本事件，例如，试验E1有两个基本事件{H}和{T}；试 验E2有21个基本事件{0}，{1}，…，{20} ． 必然事件 ：每次试验都必然发生的事件． 不可能事件 ：每次试验都必然不发生的事件．
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
1.1.2 事件间的关系与运算 设Ω为试验E的样本空间，而A、B、Ak是Ω的子集． 2.1 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称A是B 的子事件，或称事件B包含事件A．记作A B或B A。 2.2 若A B且B A，则称事件A与B相等或称A与B等 价，记作A=B．直观地说，A=B即A、B中含有相同的 样本点。 2.3 “事件A与B中至少有一个发生”也是一事件，称 为事件A与B的和或并，记作A∪B。
“可列个事件A1, A2, … , An … 同时发生”也是一事 件, 称为A1, A2, …, An …的 交或积，记作
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论第一讲
A B = A AB
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
3 September 2007
A ∪ B = A ∪ ( B A) = A ∪ ( B AB )
A = AB ∪ AB
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第一章 随机事件与概率
第28页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1∪A2 ∪ ……∪An= Ω 则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
3 September 2007
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第一章 随机事件与概率
第13页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
3 September 2007
abababab交换律结合律分配律对偶律abccacabccbc记号a?babababa?ba概率论集合论空间空集元素a是b的子集a与b无相同元素a与b的并集a与b的交集a与b的差集a的余集样本空间必然事件不可能事件样本点a发生必然导致b发生a与b互不相容a与b至少有一发生a与b同时发生a发生且b不发生a不发生对立事件基本事件互不相容基本事件之并注意点注意点11aa?aaaaaaaaababab????注意点注意点22ababbaba??abaab??ababaabab??aabab若a1a2
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} .
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 事件 B={掷出奇数点} = {1,3,5}
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概率论第一讲
26
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能 取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值 的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数 整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条 件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概 有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公 式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和 贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率 （定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质 质 质质 质 质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对 对 对(实则 设 有 P·每)()于 于 于=数A有 限 满一 1,任 任 任);，BP可 足个是 意 一 一记B加 下0事两 事 事两 为列性 件事 件 件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若 有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能 取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值 的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数 整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条 件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概 有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公 式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和 贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率 （定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质 质 质质 质 质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对 对 对(实则 设 有 P·每)()于 于 于=数A有 限 满一 1,任 任 任);，BP可 足个是 意 一 一记B加 下0事两 事 事两 为列性 件事 件 件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若 有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率
S AB
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
推广：
（1）n个事件A1,A2, An至少有一个发生
所构成的事件，称为 A1, A2, An的和或并，
记为
n
A1 A2 An Ai
i1
当A1, A2, An互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
（2）可列无限多个事件 A1, A2, 至少有一个
（1kn)的不同排列总数为：
n n n nk
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 第2张 第3张
1 2 34
n=4,k =3
1
1
1
2
2
2 共有4.4.4=43种可能取法
3
3
3
4
4
4
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1kn)的不同组合总数为：
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
Ai
i1
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 AB 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广：n个事件 A1,A2, An互斥
A1, A2, An 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
（逆事件）。记为 A
A
A
AA ,A A S,A A.
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B,C D,AE,E.
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
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2012-12-2
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
28
(T,T)：
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间
S 0,1, 2
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
这场革命为研究新的设想,发展自然科学知 识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我 们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.
2012-12-2
9
概率论
下面我们就来开始一门“将不定性数量化” 的课程的学习，这就是
2012-12-2
10
概率论
现在我们来考察一下不定性现象的特点
例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果 可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在 每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么. 又如:一门火炮在一定条件下向同一 目标进行射击,各次的弹着点不尽相 同,在一次射击之前无法预测弹着点 的确切位置.
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
2012-12-2 20
概率论
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验. 用 E 表示随机试验.
2012-12-2 24
概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
试验有一个需要观察的目的
2012-12-2
25
概率论
我们注意到 试验是在一定条件下进行的
试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 知道它不超过某个范围.
2012-12-2 26
概率论
一、样本空间
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
称为随机试验 E 的 样本空间 ,记为 S .
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
36
概率论
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用S表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 Φ 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
2012-12-2 37
概率论
三、事件间的关系与事件的运算
设试验 E 的样本空间为 S , A、B、C、A1、A2
类似地 , 称事件A1、A2、 、An 同时发生所构成的
的事件为事件 A1、A2、 、An 的积事件 . 记之为
n
A1 A2 An , 简记为 Ai .
i 1
称事件 A1、A2、 、同时发生所构成的事件为事 件 A1、A2、 的积事件 . 记之为 A1 A2 , 简记为
考察下面的现象:
A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度；
确定性现 象
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
2012-12-2
5
概率论
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
7
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认 识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东 西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者 是去测量不定性.
2012-12-2 8
概率论
将不定性数量化,来尝试回答这些问题，是 直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已 经十分成功了, 但就是那些已得到的成果,已经 给人类活动的一切领域带来了一场革命.
A1 A2 An , 简记为 Ai .
i 1 n
件为 称事件 A1、A2、 中至少有一个发生的事
事件 A1、A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
简记为 Ai .
i 1
2012-12-2
39
概率论
3. 积事件 : 事件 A、B 同时发生所构成的事件 叫做事件 A 与事件 B 的积事件 .记作 A B 或 AB .
2012-12-2
17
概率论
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
2012-12-2
18
概率论
几个具体试验
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况 .
特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观 察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果 中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其 结果.
概率论
例如:一门火炮在一定条件下进行射击, 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随 机性的误差, 但大量炮弹的弹着点则表 现出一定的规律性,如一定的命中率,一 定的分布规律等等.
又如:在一个容器内有许多气体分子,每 个气体分子的运动存在着不定性,无法 预言它在指定时刻的动量和方向.但大 量分子的平均活动却呈现出某种稳定性, 如在一定的温度下,气体对器壁的压力 是稳定的,呈现“无序中的规律”.
2012-12-2 12
概率论
特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的 结果却呈现出固有规律性.
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5 事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
2012-12-2 34
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件) 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点}
S3 :
例2 一个袋中装在 8 个大小完全相同的球 , 其中
有 4 个是白色的 , 4 个是红色的 , 搅匀后从中任取 一球 ,求此随机试验的样本空间 .
2012-12-2
S:
白球 , 红球
31
概率论
请注意： 实际中,在进行随机试验时,我们往往 会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定 灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 那么我们关心 灯泡的寿命 t 是否满足 t 500 . 或者说, 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合{t t 500} . 这就是
i 1
Ai .
40
2012-12-2
概率论
例如 B 2,4 , C 1,2,3,5, 则 B C 1,2,3,4,5 ,
则 B C 2 .
性质
1 A A B , B A B ;
A B A , A B B;
2 A A B A , B A B B ; 3 A A A , A A A ;
概率论
湖北警官学院
概率论
课程要求
考试课:平时作业20%,期末考试80%,没有作
业一定不及格. 作业一周一次,每周五交.用稿纸写或交电子版.
2012-12-2
2
概率论
我的联系方式
办公室：办公楼 516 邮箱：lth9595@
2012-12-2
3
概率论
2012-12-2
4
概率论
2012-12-2 35
概率论
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
2012-12-2
出现.
2012-12-2
S = {t ：t ≥0｝
29
概率论
调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支 出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、 酒年支出的元数.
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域 内一切点构成 .
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三 档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），…， (低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .
2012-12-2 21
概率论
小结
几个试验实例 随机试验的定义
2012-12-2
22
概率论
第二节
样本空间 随机事件
样本空间 随机事件 事件间的关系与事件的运算 小结
概率论
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
试验是在一定条件下进行的
统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复 观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随 机现象.
2012-12-2
13
概率论
小
结
从表面上看,随机现象的每一次观察结果都 是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现, 在大量的偶然之中存在着必然的规律.
2012-12-2
14
概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
28
(T,T)：
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间
S 0,1, 2
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
这场革命为研究新的设想,发展自然科学知 识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我 们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.
2012-12-2
9
概率论
下面我们就来开始一门“将不定性数量化” 的课程的学习，这就是
2012-12-2
10
概率论
现在我们来考察一下不定性现象的特点
例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果 可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在 每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么. 又如:一门火炮在一定条件下向同一 目标进行射击,各次的弹着点不尽相 同,在一次射击之前无法预测弹着点 的确切位置.
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
2012-12-2 20
概率论
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验. 用 E 表示随机试验.
2012-12-2 24
概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
试验有一个需要观察的目的
2012-12-2
25
概率论
我们注意到 试验是在一定条件下进行的
试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 知道它不超过某个范围.
2012-12-2 26
概率论
一、样本空间
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
称为随机试验 E 的 样本空间 ,记为 S .
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .
36
概率论
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用S表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 Φ 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件; 而“掷出点数8”则是不可能事件.
2012-12-2 37
概率论
三、事件间的关系与事件的运算
设试验 E 的样本空间为 S , A、B、C、A1、A2
类似地 , 称事件A1、A2、 、An 同时发生所构成的
的事件为事件 A1、A2、 、An 的积事件 . 记之为
n
A1 A2 An , 简记为 Ai .
i 1
称事件 A1、A2、 、同时发生所构成的事件为事 件 A1、A2、 的积事件 . 记之为 A1 A2 , 简记为
考察下面的现象:
A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度；
确定性现 象
C. 上抛物体一定下落；
D. 新生婴儿的体重.
2012-12-2
5
概率论
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游 戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间 万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随 机性.
7
概率论
从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认 识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东 西. 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者 是去测量不定性.
2012-12-2 8
概率论
将不定性数量化,来尝试回答这些问题，是 直到20世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已 经十分成功了, 但就是那些已得到的成果,已经 给人类活动的一切领域带来了一场革命.
A1 A2 An , 简记为 Ai .
i 1 n
件为 称事件 A1、A2、 中至少有一个发生的事
事件 A1、A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
简记为 Ai .
i 1
2012-12-2
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概率论
3. 积事件 : 事件 A、B 同时发生所构成的事件 叫做事件 A 与事件 B 的积事件 .记作 A B 或 AB .
2012-12-2
17
概率论
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
2012-12-2
18
概率论
几个具体试验
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况 .
特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观 察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果 中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其 结果.
概率论
例如:一门火炮在一定条件下进行射击, 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随 机性的误差, 但大量炮弹的弹着点则表 现出一定的规律性,如一定的命中率,一 定的分布规律等等.
又如:在一个容器内有许多气体分子,每 个气体分子的运动存在着不定性,无法 预言它在指定时刻的动量和方向.但大 量分子的平均活动却呈现出某种稳定性, 如在一定的温度下,气体对器壁的压力 是稳定的,呈现“无序中的规律”.
2012-12-2 12
概率论
特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的 结果却呈现出固有规律性.
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5 事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
2012-12-2 34
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件) 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点}
S3 :
例2 一个袋中装在 8 个大小完全相同的球 , 其中
有 4 个是白色的 , 4 个是红色的 , 搅匀后从中任取 一球 ,求此随机试验的样本空间 .
2012-12-2
S:
白球 , 红球
31
概率论
请注意： 实际中,在进行随机试验时,我们往往 会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定 灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 那么我们关心 灯泡的寿命 t 是否满足 t 500 . 或者说, 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合{t t 500} . 这就是
i 1
Ai .
40
2012-12-2
概率论
例如 B 2,4 , C 1,2,3,5, 则 B C 1,2,3,4,5 ,
则 B C 2 .
性质
1 A A B , B A B ;
A B A , A B B;
2 A A B A , B A B B ; 3 A A A , A A A ;
概率论
湖北警官学院
概率论
课程要求
考试课:平时作业20%,期末考试80%,没有作
业一定不及格. 作业一周一次,每周五交.用稿纸写或交电子版.
2012-12-2
2
概率论
我的联系方式
办公室：办公楼 516 邮箱：lth9595@
2012-12-2
3
概率论
2012-12-2
4
概率论
2012-12-2 35
概率论
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
2012-12-2
出现.
2012-12-2
S = {t ：t ≥0｝
29
概率论
调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支 出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、 酒年支出的元数.
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域 内一切点构成 .
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三 档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），…， (低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .
2012-12-2 21
概率论
小结
几个试验实例 随机试验的定义
2012-12-2
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概率论
第二节
样本空间 随机事件
样本空间 随机事件 事件间的关系与事件的运算 小结
概率论
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
试验是在一定条件下进行的
统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复 观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随 机现象.
2012-12-2
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概率论
小
结
从表面上看,随机现象的每一次观察结果都 是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现, 在大量的偶然之中存在着必然的规律.
2012-12-2
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概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.