2010年高等数学密押1

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2010年考研数学一真命题及答案解析

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=(A)1 (B)e (C)e a−b (D)e b−a 【考点】C。

【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞{[1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b)](x−a)(x+b)(a−b)x+ab}(a−b)x+ab(x−a)(x+b)x=e a−b【方法二】原式=limx→∞e xlnx2(x−a)(x+b)而limx→∞ xln x2(x−a)(x+b)=limx→∞xln(1+(a−b)x+ab(x−a)(x+b))=limx→∞x∙(a−b)x+ab(x−a)(x+b)(等价无穷小代换) =a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若limα(x)=0, limβ(x)=0,且limα(x)β(x)=A 则li m(1+α(x))β(x)=e A,求极限由于limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x2−(x−a)(x+b)(x−a)(x+b)∙x=limx→∞(a−b)x2+abx(x−a)(x+b)=a−b则limx→∞[x2(x−a)(x+b)]x=e a−b【方法四】lim x→∞[x2(x−a)(x+b)]x=limx→∞[(x−a)(x+b)x2]−x=limx→∞(1−ax)−x∙limx→∞(1+bx)−x=e a∙e−b=e a−b综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数z=z(x,y)由方程F(yx ,zx)=0确定，其中F为可微函数，且f′′2≠0,则xðzðx+yðzðy=。

2010年浙江省高等数学竞赛试题(经管类).

2010年浙江省大学生高等数学(微积分竞赛试题
(经管类
计算题(每小题14分满分70分
1. 计算
n n →∞
2. 计算2(1sin cos
cos x e x x dx
x +∫
3. 设为锐角(含直角三角形,求ABC ∆sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++−−−的最大值和最小值。

4. 设[]x 为小于等于的最大整数,
x {(,|13,24}D x y x y =≤≤≤≤,求[]D
x y dxdy +∫∫。

5. 设连续,满足f 20((x
x t f x x e f t d −′=+∫t ,求(0f ′。

(本题满分20分如图设有一个等边三角形,内部放满排半径相同的圆,彼此相切, 记n A 为等边三角形的面积,为n 排圆的面积之和,求n A lim
n n A A
→∞。

(本题满分20分设((x
f x e P x =,其中为5次多项式,证明
(P x (1必有极值点;
(f x (2必有奇数个极值点。

(f x
(本题满分20分证明:
22
22
1
0,
t x
x
x e dt e
x
+∞−−∀><
∫。

（本题满分 20 分）定义数列 {an } 如下： a1 = 求 lim an 。

n →∞ 1 1 , an = ∫ max{an −1 , x}dx, n = 2,3, 4,L ， 0 2 6。

2010年全国大学生高等数学竞赛总决赛(答案)

2010年全国大学生数学竞赛决赛答 tian27546这是献给博士论坛一个礼物转载时请勿注明是博士论坛一、（20分）计算下列各题：1．求极限 211sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+解法1因211sin )1(n k n k n k π∑-=+211222sin sin 21(2sin 21n n k n k nn k πππ∑-=+=） )22cos 22(cos 1(2sin 2122112n k n k n k nn k πππππ+--+=∑-=） )22cos 22(cos 1(22112nk n k n k n n k πππππ+--+≈∑-=） 2112211222cos 1(22cos 1(n k nk n n k n k n n k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=）） 222211222cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n nk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k πππππππ-+--+-+=∑-=） 21222222)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(nk n n n n n n n n n k ππππππ-+---+=∑-=）（*）而2122)12(cos n k n k π-∑-=212222sin 2)12(cos22sin 21n n k nn k πππ∑-=-=])1(sin [sin2sin2121222n k n k nn k πππ--=∑-= 2222sin 2sin )1(sinn n n n πππ--=222sin2)2(sin 2cos n n n n πππ-=（**）将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos 12(2cos )11([lim 222222n n n nn n n n n n n n n ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222n n n n n n n n n n n ππππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2232222n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222n n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=--解法2 Step 1因∑-=112sin n k n k π211222sinsin 22sin 21n nk nn k πππ∑-==)22cos 22(cos2sin2122112n k n k nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222n n n n πππ--=故)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sinlim 222112n n n nn k n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222n n n n n πππ--=→∞nn n n n 2sin 2)1(sin2lim22πππ-=→∞n n n n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π= Step 2因222)12(cosn k nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21n n k nnk πππ∑=-=])1(sin [sin2sin212222nk n k nnk πππ--=∑= 2222sin 2sinsin n n n n πππ-=2222sin 2)1(sin 2)1(cos nn n n n πππ-+=因此∑-=112sin n k n k nk π211222sin sin 22sin 21n n k n k n n k πππ∑-== ]2)12(cos 2)12(cos [2sin 212112112n k n k n k n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21222112n k n k n k n k nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21n k n n n n n n n nn k ππππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21n k n n n n nnnk ππππ(*) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21nn n n n n n n n n n ππππππ 于是∑-=→∞112sin lim n k n n k nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim nn n n n n n n n n n n ππππππ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n n n n n ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222y x a z ---= 的上侧, 0>a .解记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz ⎰⎰⎰Ω+++=dxdydz a z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydz a z )32(⎰⎰⎰≤+---+=2222220)32(a y x y x a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[a y x y x a dxdy az z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222a y x dxdy y x a a y x a ⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(ar r r r a a r a⎰-++-=a r r r a a r a 02222d )3(2π ⎰-++-=ar r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(a u u a a u a π223222)(42a u a a uu a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 227333a a a πππ-=+-=3．现设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbVπ+=，则2322242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV V h ，因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Vab a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.4．已知 x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f 解因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin 1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ 令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t tt t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222⎰+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(222 ⎰+-=t tt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(222222⎰-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222 ⎰-+++=t t t t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t t t t tt tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424 令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122u u u u u u ⎰-+++=v v v v v v d )233(212222⎰+-++=v v v v v v d )323(122222 令)()323(1222v R vAv v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v v vv v x f ⎰+-+=323d 324ln 622v v vv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v v C v v +-+=32231arctan 3221924ln 62C v v +-+=2213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C x x +-+++=221)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222ππ 二、（10分）求下列极限1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e n n n n )11(lim解设xx x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim010x f x e x x xx '=-+→→)()(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 20x x x x x x f x x +++-=→→20)1ln()1(limx x x x e x ++-=→22)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→2．nnn n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c 解因300ln 3ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故原式=333lim)13(1lim 10003lim abc ee c b a x c b a c b axxxx x x x x x x xx xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (sin lim 220++→ 解设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 111lim220020-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x xx x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x1cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 411--=→t f t f t )1(41f '=21= 四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→yy x x xf y 0d )(1lim.解令⎰=xt t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim0000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→y yy y y y y x x G x xG yx G x y x x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→yy x x G yy G ⎰+∞→-=yy x x G y A 0d )(1lim 0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证（1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=x x xe x f e --+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1)1()1(n n n f 条件收敛. 证因 0)(lim>=→a xx f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2)(aa x x f <-因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，nn f a 1)1(2<，n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞=-1)1()1(n n n f 发散.下证原级数收敛：由0)(lim0>=→a xx f x 知，0)(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，0)(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a xx f x f x f f x x由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0x f f a x '='=→，因此存在一个正数η，使得当η<-0x 时，有2)(aa x f <-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η1>n 时，)1()11(n f n f <+，且0)0()1(lim ==∞→f nf .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.综上可知，原级数条件收敛.六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根. 证记!!2!11)(2n t t t t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n t t t e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n t t t r e nx 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn t n n tt t r e n t t r e ,2d )()(0nt t p e n nn t -=⎰-ψ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=202220d )(d )(d )(2d ))(1(n nn n t n t n n n t n n t tt p e t t r e tt p e nt t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(n n n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1nnn nt t t n t p e t e e n ξ ⎰⎰+-++-=+---202022d ))2((d )!1(1nnn nt nt t t n t r e e t e e n ξ ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121nnnnt t t e e n t e e n n ξξ ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n nt t t e e n t e e n n ξξ ⎰-+->202d )!1(22n nt t e e n n []202)!1(22nt ne e n n -++= )1()!1(222-+-=ne n n )!1(2)!1(222+++-=n n e n n )!1(22)!1(2222+-=+->n en n e n n n012>->n（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()⎰⎰-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t te t t t e F ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(2111>-=--+-=--ee e 031)2(>->eψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e e ψ 01232452!522)4(2>->->->e e e ψ,0122212e e 12)(>->++->n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（，若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。

2010年浙江省高等数学竞赛试题(数学类)

2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
（数学类）
1、计算题（每小题14分满分70分）
1．计算
2．计算
3．请用描述圆落在椭圆内的充要条件。

并求此时椭圆的最小面积。

4．已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面上，设在上围成的面积为，求
，
其中与的方向成右手系。

5．设连续，满足，且，求。

2、（本题满分20分）定义数列如下：，求。

3、（本题满分20分）设函数，且，证明：
4、（本题满分20分）设非负函数在上满足且，证明
（1）；
（2）。

5、（本题满分20分）设全体正整数集合为，若集合对加法封闭
（即），且内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数，
当时，。

2010年浙江专升本高等数学试卷

2010年浙江省普通高校专升本联考试题高等数学（一）题号一二三四总分题分 40 20 70 20得分一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分） 1．下列函数相等的是（）A. x y xx y ==,2B. x y x y ==,2C. ()x y x y ==,2D. 2,x y x y ==2. 曲线 xe y x= ( )A.有且仅有水平渐近线B. 既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D. 既无水平又无垂直渐近线3. 设区域D 由直线)(,a b b x a x >==，曲线)(x f y =及曲线)(x g y =所围成，则区域D 的面积为 ( ) A. dx x g x f b a⎰-)]()([ B. dx x g x f ba ⎰-)]()([ C.dx x f x b a⎰-)]()(g [ D. dx x g x f ba ⎰-)()(*4. 若方程yzx ln=确定二元隐函数),,(y x f z =则 =∂∂x z ( ) A. 1 B. xe C. xye D. y5.下列正项级数收敛的是 ( ) A.1312+∑∞=n n B. ∑∞=1ln 1n n nC. ()∑∞=12ln 1n n n D. ∑∞=11n nnn二、填空题（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，有10个小题，每小题4分，共40分）1.当0→x 时，x a x sin 2+与x 是等价无穷小，则常数._________=a2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,,0,12sin )(2x a x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则._________=a 3．曲线xy 1=在点)1,1(处的切线方程为.__________ 4．设,sin )(0x x dt t f x =⎰则.__________)(=x f *5．设函数),ln(22y x z +=则.__________11===y x dz 6．定积分._____________4)2(222=--⎰-dx x x7．过点)0,2,1(-并且与平面32=++z y x 垂直的直线方程为.__________*8.二重积分.___________sin 11=⎰⎰dy yydx x 9. 幂级数nn nx n n ∑∞=1!的收敛半径R=.__________ 10.微分方程02=-'y y x 的通解为是.__________三、计算题（本题共有10个小题，每小题6分，共60分）1.求极限.111lim 0⎪⎭⎫⎝⎛--→x x e x 2.已知),21sin(ln x y -=求.dxdy3. 求不定积分⎰.arctan xdx x4.函数⎩⎨⎧>-≤+=,0,2,0,2)(x x x x x f 计算⎰-11)(dx x f 的值.5.设),(y x z z =是否程22=-+-z xy e z e 所确定，求.5.02-==y x dz6.设D 是由直线1,0==y x 及x y =所围成的区域,计算.2dxdy e I Dy⎰⎰-=7.设参数方程 ⎩⎨⎧+==,2,2t t y e x t 所确定的函数为),(x y y =求.122=t dx yd*8.求函数x xy y x x f 82-3)(22++=的极值. 1．求微分方程x e y y 22='+''的通解. 10. 将函数341)(2++=x x x f 展开成)1(-x 幂级数.四、综合题（本题有3个小题，共30分，其中第1题12分，第2题12分，第3题6分） 1．平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.试求：（1）该平面图形D 的面积；（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积.2.欲围一个面积为1502m 的矩形场地.所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽各为多少时,才能使所用材料费最少?3.设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续,在开区间)1,0(内可导,且，0)1()0(==f f ，1)21(=f 证明:存在∈ξ)1,0(，使得1)(='ξf 成立.。

上海市2010年部分高校高职高专层次依法自主招生测试数学试题

2010年上海市部分高校高职高专层次依法自主招生测试数学（考试时间80分钟，满分150分）（不可使用计算器）一、填空题（每题5分，共50分）1、函数1521)1lg()(2-++-=x x x x f 的定义域为________________2、如果)(1x f -为函数2)(+=x x x f 的反函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-311f _________ 3、已知实数x 、y 满足关系式：0|4|1022=-++-+y x y x ，则=xy __________4、若函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3πsin 3x y ω的最小正周期为π4，则正的常数=ω________ 5、=︒︒+︒︒12sin 72sin 78sin 18sin ____________6、如果向量a 与b 的夹角为120°，且1||=a ，2||=b ，则=+⋅)(b a a _________7、计算组合数：=--+221C C n nn _________ 8、计算：=+++++201032i i i i 1 ___________（i 是虚数单位）9、在平面直角坐标系中，直线l 经过原点且直线l 的倾斜角⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21arccos α，则直线l 的方程为____________________ 10、用0，1，3，5这四个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有___________个。

二、选择题（每题5分，共25分）11、已知{1，2}=X {1，2，3，4}且{1，2}=X { 1 }，则集合X 为（）（A ）{1，2，3} （B ）{1，2，4} （C ）{2，3，4} （D ）{1，3，4}12、“12log 1>+a ”是“10<<a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件13、在平面直角坐标系中，抛物线x y 82=上有一点M ，若点M 到抛物线的焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）1014、已知矩阵乘法满足等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛93752310321x ，则实数x 为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）515、某同学从家到学校途中有三处交通信号灯，在这三处遇到红灯的概率分别为21、31、41，则该同学从家去学校途中没有遇到过红灯的概率为（）（A ）241 （B ）41 （C ）43 （D ）1312 三、解答题（本大题共5题，满分75分）16、（本题满分14分，第（1）（2）小题各7分）（1）在平面直角坐标系中，已知圆C 的圆心与椭圆18102222=+y x 的右焦点重合，并且圆C 与直线10=x 相切，求圆C 的方程；（2）设1F 和2F 分别为双曲线1342222=-y x 的左、右焦点，M 为该双曲线上的某一点，且212F F MF ⊥，求||1MF 的值。

2010年成人高考专升本高等数学一真题

17．设 z = 2x + y2 ，则 dz = ___ .
18．设 z = xy ，则 2 z = ___ . xy
19．
1
3n
n=0
=
___ .
20．微分方程 dy + xdx = 0 的通解为 y = ___ .
三、解答题：21~28 小题，共 70 分。解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答．题．卡．相．应．题．号．后．。 21．（本题满分 8 分）
9．幂级数 xn 的收敛半径 R = n=1 n A． 0 C． 2
B．1
D． +
10．微分方程 ( y'' )2 + ( y' )3 + sin x = 0 的阶数为
A．1 C． 3
B． 2 D． 4
二、填空题：11~20 小题，每小题 4 分，共 40 分。将答案填写在答．题．卡．相．应．题．号．后．。
28．（本题满分 10 分）
证明：当 x 0 时， (1+ x) ln(1+ x) x .
11． lim(1− 3)x = ___ .
x→
x
12．曲线 y = e−x 在点 (0,1) 处的切线斜率 k = ___ .
13．设 y = x2ex ，则 y' = ___ .
14．设 y = cos x ，则 y' = ___ .
15． (x3 +1)dx = ___ .
16． e−xdx = ___ . 1
x2 + 2a , x 0
设函数
f
(x)
=
sin
x
，在 x = 0 处连续，求常数 a 的值.
2x , x 0

2010年高职数学高考试题 (1)

装订线2013年对口升学模拟试题（2）1、关于下列关系中正确的的是（） A 、{}00∈ B 、φ=0 C 、φ⊂0 D 、{}φ⊂02、“x,y 中至少有一个小于0”是“x+y<0”的（）条件（） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件3、0)3(x ≥+x 的解集（） A 、{}30≤≤x x B 、{}30-≤≥x x x 或 C 、{}03≤≤-x x D 、{}03≤≥x x x 或4、下列函数中为奇函数的是（）A 、x y 3log =B 、xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 C 、x y sin 2= D 、 23x y =5、241xy -=的定义域（）A 、{}22≤≤-x xB 、{}22-≤≥x x x 或C 、{}2±≥x xD 、{}22<<-x x6、如果二次函数 ,2)(2-+-=mx x x f ()3-，在∞-上是增函数，()∞+-，在3上是减函数，则m= ( )A 、-3B 、3C 、-6D 、 67、函数,63)(2x x x f +-=的顶点坐标为（）A 、（0，0）B 、（-3，6）C 、（1，-1）D 、（1，3）8、1cos -=m α,m 的取值范围 ( ) A 、20<<m B 、 2≤m C 、0≥m D 、20≤≤m9、ααα,0tan sin <⋅在第（）象限（）A 、第一、第二象限B 、第二、第三象限C 、第三、第四象限D 、第一、第四象限 10、α终边上一点()=αin s 3-1，则，（） A 、21 B 、23- C 、3- D 、33- 11、.已知=-+=zx xx •x cos 2sin cos sin 2,3tan 则（）A 、6B 、7C 、8D 、 912、 537537-+与的等比中项为（） A 、2 B 、-2 C 、4± D 、2±13、.已知等差数列{}n a ，64=a ，=7S 则（） A 、24 B 、42 C 、21 D 、少条件无法确定 14、.如果A(-3,2)与B(a,5)之间的距离为5，则a 的值是（） A 、1 B 、7 C 、-7 D 、1或-715、设点A(6,4)、点B(2,9)、点C(1.3)则AC AB ⋅= ( ) A 、25 B 、(20,-5) C 、15 D 、 (-20,5){}{}{}、空间中，两条直线能确定一个平面29、=∈=x x os sin ),2,23(,53c ππα30、一年级一班有男生35人，女生14人，选派一人参加学校的学生代表会议，共有种选派法。

2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]

∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ，则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
hk 2
⋅
ε
2 k
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ +
kknε
2 n
≤
hk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯+
kknε
2 n
=
kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .

2010年浙江省高等数学竞赛试题(经管类)

2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
（经管类）
计算题（每小题14分满分70分）
1．计算
n n →∞
2．计算2(1sin cos )
cos x e x x dx
x +∫
3．设为锐角(含直角)三角形，求ABC ∆sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++−−−的最大值和最小值。

4．设[]x 为小于等于的最大整数，
x {(,)|13,24}D x y x y =≤≤≤≤，求[]D
x y dxdy +∫∫。

5．设连续，满足f 20()()x
x t f x x e f t d −′=+∫t ，求(0)f ′。

（本题满分20分）如图设有一个等边三角形，内部放满排半径相同的圆，彼此相切，
记n A 为等边三角形的面积，为n 排圆的面积之和，求n A lim
n n A A
→∞。

（本题满分20分）设()()x
f x e P x =，其中为5次多项式，证明
()P x （1）必有极值点；
()f x （2）必有奇数个极值点。

()f x
（本题满分20分）证明：
22
22
1
0,
t x
x
x e dt e
x
+∞−−∀><
∫。

（本题满分20分）定义数列{如下：}n a 11101,max{,},2,3,4,2
n n a a a x dx n −===∫L ，求。

lim n n a →∞。

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《高等数学》密押试题一一、单项选择题（每题2分，共计60分。

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选.错选或多选者，该题无分）1.函数25ln 4x x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．[1,4] B.(1,4) C.(1,4] D.[1,4) 解：2255ln 011444x x x x x ⎛⎫--≥⇒≥⇒≤≤ ⎪⎝⎭，应选A. 2.lim sin x xx→∞的值为 ( ) A.1 B.∞ C.不存在 D.0 解：分母是振荡的，分子是无穷极限，该极限不存在，应选C.3. 当0→x 时，1xe --是x sin 的 ( ) A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶非等价无穷小解：11~;~sin lim1sin x xx e e x x x x --→∞---⇒=-⇒D. 4.0=x 是221sin )(xx x f =的（）A.连续点B.跳跃间断点C.可去间断点D.第二类间断点解：2201lim ()lim sin0x x f x x x →→==，而(0)f 不存在，所以0=x 是221sin )(x x x f =的可去间断点，应选C.5.若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--= ( )A.-3B.-6C.-9D.-12解：000000()(3)limlim[()3(3)]h h f x h f x h f x h f x h h→→+--''=++-04()12f x '==-,应选D.6.已知2)3()3()(lim 23=--→x f x f x ，则)(x f 在3=x 处 ( )A.导数无意义B.导数2)3(='fC.取得极大值D.取得极小值解：23()(3)lim 203(3)x f x f x x →-=>⇒→-时，()(3)f x f >，从而)(x f 在3=x 处取得极小值，应选D.7.若())(,00x f x 是函数)(x f 的拐点，则)(0x f '' ( ) A.不存在 B.等于零 C.等于零或不存在 D.以上都不对解：根据拐点的定义，在拐点的横坐标处二阶导数等于零或不存在，应选C.8.曲线1-=x xe e y 的水平渐近线为 ( )A.1y =B. 0y =C. 1y =或0y =D. 0x = 解：1lim lim 1,lim 01,0111x xxx x x x x e e y y e e e -→+∞→+∞→-∞===⇒==---，应选C. 9.函数212xy x e =-的凹区间为（）A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.(,)-∞+∞D.(,1)-∞ 解：100x x y x e y e x '''=-⇒=->⇒<,应选A. 10.若323()f x x dx x C '=+⎰，则()f x = ( )A.13x C + B.313x C + C.3x C + D. 3x C + 解：3233331()()3f x x dx x C f x dx x C ''=+⇒=+⎰⎰3311()3()3f x x C f x x C ⇒=+⇒=+,应选D.11．(sin )cos f x xdx '=⎰ （） A.(sin )f x C '+ B. (sin )f x C + C. (sin )f x C -+ D. (cos )f x C + 解：(sin )cos (sin )sin (sin )f x xdx f x d x f x C ''==+⎰⎰,应选B.12. 下列定积分等式成立的是（）A.⎰⎰=b aba dt t f dx x f )()( B.)()()(a fb f dx x f ba+='⎰C.⎰⎰-=aaa dx x xf dx x xf 0)(cos 2)(cos D.⎰-=-+aadx x f x f 0)]()([解：根据定积分值只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关。

应选A 。

13.设x x dt t f xcos )(0=⎰，则()f x = ( ) A.x x x sin cos - B.x x x cos sin - C.x x x sin cos - D.x x sin 解：x x dt t f xcos )(0=⎰两边对x 求导得()cos sin f x x x x =-，应选A.14.320()(0)a I x f x dx a =>⎰，则 ( )A.⎰=adx x xf I 0)( B.2()a I xf x dx =⎰C.⎰=a dx x xf I 0)(21D.21()2a I xf x dx =⎰解：222322220000111()()()()222x t a a a a I x f x dx x f x dx tf t dt xf x dx ======⎰⎰⎰⎰，应选D.15.=++⎰dx x x 40122( ) A.322 B.211 C.310 D.38解：23232143111223322262321x tt x x t t t dx dt x +=-=⎛⎫++=====+= ⎪+⎝⎭⎰⎰，应选A. 16.下列广义积分收敛的是 ( ) A.dx x⎰+∞191 B.dx x x ⎰+∞⋅274)(ln 1C.3211dx x+∞⎰D.dx x x ⎰+∞⋅235)(ln 1解：上述广义积分都可以看作p 广义无穷积分，只有55223311ln (ln )(ln )dx d x x x x +∞+∞=⋅⎰⎰中513p =>是收敛的，应选D. 17.平面0222=++-z y x 与平面5132-=---z y x 的位置关系是 ( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.重合解：1212{2,1,2},{1,2,3},,n n n n =-=--⇒不平行也不垂直，从而这两个平面斜交，应选A. 18.过（0，2，4）且平行于平面23,12=-=+z y z x 的直线方程为 ( )A.34120--=-=z y x B.34021--=-=z y x C.14322-=-=-z y x D. 24231x y z --==-- 解：12102{2,3,1}013i j ks n n =⨯==--，代入直线方程的标准式得直线方程为14322-=-=-z y x ，应选C. 19.旋转曲面122222=--z y x 是 ( ) A.xOy 面上的双曲线绕x 轴旋转所得 B.xOz 面上的双曲线绕z 轴旋转所得 C.xOy 面上的椭圆绕x 轴旋转所得 D.xOz 面上的椭圆绕x 轴旋转所得解：旋转曲面122222=--z y x 可看作2221x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 旋转一周而得到，应选A.20.设2sin ,0(,)0,0x yxy f x y xy xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则=')1,0(x f ( )A.0B.1C.∞D. 不存在解：222000sin 0(0,1)(0,1)sin (0,1)lim lim lim 1x h h h h f h f h h f h h h→→→-+-'====，应选B. 21.函数222y x z +-=的极值点是函数的 ( )A.可微点B.驻点C.不可微点D.间断点解：函数222y x z +-=是顶点在（0，0，2），以z 为旋转轴的圆锥，它的极值点是（0，0），显然是函数不可微的点.22.设D 是xOy 平面上的闭区域，其面积是2，则3Ddxdy =⎰⎰ ( )A.2B.3C.6D.1 解：336DDdxdy S==⎰⎰,应选C.23.设区域D 是由)0(>=a ax y ，1,0==y x 围成，且1512=⎰⎰dxdy xy D，则=a （） A.354 B.3151 C.1 D.3解：333111224000003315axaxDya a xy dxdy dx xy dy xdx x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以1a =,应选C.24.设L 是抛物线22x y =上点（0，0）与点（1，22）之间的一段弧，则L ydx =⎰( )A.248B.31（122-）C.0D.122-解：L 的参数方程为22x y y y⎧=⎨=⎩y 从0变到22，所以222232001241248L ydx y dy y ===⎰⎰. 应选A.25.下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛解：此题考察收敛级数的必要条件：收敛级数一般项的极限为零.当一般项极限不存在或存在但不为零，这个级数一定发散.应选B.26.下列级数绝对收敛的是 ( )A.3115223)1(n n n n n⋅+--∑∞= B.∑∞=-1ln 5)1(n nn nC.∑∞=+-1132tan )1(n n nD.)1()1(1n n n n-+-∑∞=解：利用p 级数的性质和比较判别法的极限形式可得：A 、B 、D 都是发散的级数.而112tan 3n n ∞+=∑与1123n n ∞+=∑具有相同敛散性，1123n n ∞+=∑是收敛几何级数.故∑∞=+-1132tan)1(n n n 绝对收敛，应选C.27.11!n n ∞=∑的收敛于 ( ) A.e B.1 C.1e - D.1xe -解：因为11!n xn x e n ∞==-∑，所以111!n e n ∞==-∑，收敛半径为R =+∞,应选C.28.20y y y '''++=的通解为 ( )A.12cos sin y C x C x =+B. 12x x y C e C e -=+C. 12()x y C C x e -=+D. 212x xy C e C e =+解：20y y y '''++=的特征方程2210r r ++=有两个重根121r r ==-，所以微分方程的通解为12()x y C C x e -=+，应选C.29. 微分方程0ln =+ydx y xdy 的通解为 ( )A. C ye x =B. C x ye x+=-C. C y x =lnD. xCe y 1= 解：ln 0ln(ln )ln ln ln ln dy dxxdy y ydx y x C x y C y y x+=⇒=-⇒+=⇒=；也可以从所给的函数出发，求微分确定。