北师大版九年级数学上册2.3 一元二次方程的解法 公式法求解课件
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新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
用因式分解法求解一元二次方程
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
中考数学复习《2.3一元二次方程》课件
(2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 x 2 0
2 2 2
(√ ) ( ) × (×) (√ ) (×)
(5) x 1 3
2
(6) y 0
y 4 2
2 2、把方程（1-x)(2-x)=3-x
化为一般 2-3x-1=0 2 x 形式是：___________, 其二次项系数 是____, 2 一次项系数是____, -3 常数项是 ____. -1 3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则 （C ） A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠ ±2
考点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤
和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、设、列、解、验、 答六步．
例:解下列方程
１、用直接开平方法： (x+2)2=９
解:两边开平方, 得: x+2= ±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
5.(2013•平凉)现定义运算“★”，对
于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，
如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则 -1或4 实数x的值是___________ .
6.(2013•眉山)已知关于x的一元二次方程
x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则 (α+3)(β+3)=_________ 9 . 7.(2013•巴中)方程x2-9x+18=0的两个根是
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
我来做一做
2 2 2
(√ ) ( ) × (×) (√ ) (×)
(5) x 1 3
2
(6) y 0
y 4 2
2 2、把方程（1-x)(2-x)=3-x
化为一般 2-3x-1=0 2 x 形式是：___________, 其二次项系数 是____, 2 一次项系数是____, -3 常数项是 ____. -1 3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则 （C ） A. m=±2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠ ±2
考点四 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤
和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、设、列、解、验、 答六步．
例:解下列方程
１、用直接开平方法： (x+2)2=９
解:两边开平方, 得: x+2= ±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
5.(2013•平凉)现定义运算“★”，对
于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，
如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则 -1或4 实数x的值是___________ .
6.(2013•眉山)已知关于x的一元二次方程
x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则 (α+3)(β+3)=_________ 9 . 7.(2013•巴中)方程x2-9x+18=0的两个根是
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
我来做一做
北师大版一元二次方程总复习课件
2 ∴x b b 4ac 1 9 1 3 . x 2, x 1. 1 2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
2a
2 1
2
方法三：配方法 移项，得x2+x=2,配方，得 x 2 x 1 2 1 ,即(x 1 ) 2 9 . ∴ x 1 3 , x1 2, x 2 1.
知 能 综 合 检 测
公式法→配方法.
策 略 · 专 x+1)(x-2)=x+1的解是( (A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-1，3
)
例 题 · 典 例 导 练
【解析】选D.(x+1)(x-2)=x+1,
考 点 · 知 识 清 单
移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0, ∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0, ∴x+1=0或x-3=0.∴x1=-1,x2=3.
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
原方程，可以使方程成立，从而得到一个 新的方程，通过解这个方程，可以求出含 某些字母的代数式的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.(2011·泰州中考)一元二次方程x2=2x的根是(
)
(A)x=2
(C)x1=0,x2=2
【解析】∵x(x-2)+x-2=0， ∴(x-2)(x+1)=0，
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
∴x-2=0或x+1=0，
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
2a
2 1
2
方法三：配方法 移项，得x2+x=2,配方，得 x 2 x 1 2 1 ,即(x 1 ) 2 9 . ∴ x 1 3 , x1 2, x 2 1.
知 能 综 合 检 测
公式法→配方法.
策 略 · 专 x+1)(x-2)=x+1的解是( (A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-1，3
)
例 题 · 典 例 导 练
【解析】选D.(x+1)(x-2)=x+1,
考 点 · 知 识 清 单
移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0, ∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0, ∴x+1=0或x-3=0.∴x1=-1,x2=3.
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
原方程，可以使方程成立，从而得到一个 新的方程，通过解这个方程，可以求出含 某些字母的代数式的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.(2011·泰州中考)一元二次方程x2=2x的根是(
)
(A)x=2
(C)x1=0,x2=2
【解析】∵x(x-2)+x-2=0， ∴(x-2)(x+1)=0，
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
∴x-2=0或x+1=0，
数学_公式法解一元二次方程_课件
22
4
x1
1 2
，x2
=4
九年级数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
练一练：方程2x2+5x-3=0的解是( C )
A.x=3 B.x=-3
1 C.x1=-3,x2= 2
1 D.x=
2
九年级数学名师课程
随堂练习 解方程：
（1）x2 +7x – 18 = 0； 解 ∵ a＝1，b＝7，c＝－18. b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根
公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由
求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
九年级数学名师课程
想一想：若b2-4ac ＜0，那么方程有实数根吗？
∵a 0, 4a2 0, 当b2-4ac ＜0时，
x
b 2a
2
b2
x 3 1 = 3 1
2 1
2
∴x1=-1 ，x2=-2
初三数学名师课程
1 用公式法解一元二次方程
例 解下列方程：
（2）2(x2-2)=7x 解: 把方程化成一般形式，得2x2-7x-4=0 ∵a＝2，b＝－7，c＝-4.
b2－4ac＝(－7)2－4×2×(－4)＝81＞0.
x 7 81 = 7 9
4ac 4a2
＜0.
而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根.
九年级数学名师课程
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由
方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-
北师大版九年级数学一元二次方程复习课件
有两个相等的实数根，则m的值是（
）
A ．0
B ．8
C． 4 2
D ． 0 或8
例5:若方程
x 3x 1 0
2
的两根为
1 1 x1 、x2 ，则 x1 x2
的值为(
)
A ．3
1 C． 3
B．－3
1 D． 3
练习： 1：若 x1，x2 是一元二次方程 x 2 5 x 6 0 的两个根， 则 x1 +x2 = ， x 1×x 2 = ，
1 C、x 2 0 x
2
D、x
2
21 0ຫໍສະໝຸດ 化成一般形式是3、把方程
3( x 1) 2 x
______________
考点二：一元二次方程的解法 例2:解下列方程： （1）x
2
4x 2 0
2 （2） 3x
6x 1 0
（3）3x( x 1)
3x 3 （4） x 2 2 x 3 0
注意：（1）整式方程 （2）只含有1个未知数， （3）含未知数项的最高次数是_2__ 且二次项系数不为零； 二：一元二次方程的一般形式是：
ax bx c 0(a 0且a, b, c为常数)
2
考点一：一元二次方程的概念
例1：1、下面是一元二次方程的是（ ） ⑴（x-2）(x+2)=(x+1)2 ⑶2x2-3x-6=0 ⑸ ax2+bx+c=0 ⑵ 3x2-2x+1
1 1 x1 x2
=_______;
2：已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根， 则方程的另一个根是（ ） 3:x=a是方程 x 2 x 2009 0 的一个实数根， 则
一元二次方程解法公式法初中数学课件完美版PPT
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1: 2.移项: 3.配方:; 4.变形: 5.开方: 6.求解: 7.定解:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x 9 17. 44
x 9 17. 44
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
x19417;x29417. 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动 公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 xx2x :当 2xba22bbaxba2 ba2x4x2abba2cacac42a.0 4时 20a.,c2b.a2ac方.右5系12程4..3.边.开数化移.两变配合方绝1项边形:方并:对把:开:根:把同方值二方平据常类程一次程方平数;左半项 两;方项分的系边根移解平数都意到因方化加义方式;为上,程,一1的;次右项边;
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
x b
b2 4 α c 2α
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
九年级数学《一元二次方程组的解法》课件
练习：
1.解下列方程：
（1）x 16；
2
（2）x 0.81 0；
2
（3）y 2 144 0； （4） 9 x 2 4. 解：
（1）x 2 16
（2）由x 2 0.81 0得：
因为x是16的平方根， x 2 0.81 所以 因为x是0.81的平方根， x 4. 所以
所以 2 x 3= 5， 即x1 53 53 , x2 . 2 2
一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0 (a≠0)
2
解: 把方程两边都除以 移项，得 配方，得
a
b c x x 0 a a
2
b c x x a a
2 b2 4ac （ 7 ） 4 1 （ 18 ） 121 >0
方程有两个不等的实数根 2 b b 4ac (7) 121 7 11 x 2a 2 1 2 即 ： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值. 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法 用配方法解一元二次方程
问题1 :什么叫做平方根？ 如果 x a ( a 0)，那么x叫做a的平方根.
2
问题2 :什么叫做开平方运算？ 求一个数平方根的运算叫做开平方运算.
2
问题3 :根据平方根的意义你能解方程 x 25吗？ 像这种用直接开平方求一元二次方程 解的方法叫做直接开平方法.
2Байду номын сангаас2
（3） x 4 25 0；（4） 2 x 3 5 0.
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
第二章一元二次方程
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 4用因式分解法求解一元二次方程习题课件 (新版)北师大版
x33241135，
2
2Байду номын сангаас
x1325,x2
3 5. 2
(2)开平方,得x-1=± ,3∴x1=1+ ,x3 2=1- . 3
(3)移项,得x2-3x=0,
因式分解,得x(x-3)=0,
于是得x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3. (4)配方,得(x-1)2=5,∴x-1=± ,5∴x1=1+ ,x52=1- . 5
2
提示:不正确,因为方程两边若同时除以x,结果就把x=0这个根 遗漏了,所以不正确.
【备选例题】用因式分解法解方程(3x-1)2=16.
【解析】移项,得(3x-1)2-16=0,
∴(3x-1+4)(3x-1-4)=0,
∴3x-1+4=0,或3x-1-4=0,
∴x1=-1,
x2
5. 3
【方法一点通】 因式分解法解一元二次方程的“四个步骤” 1.转化:把方程化为右边为0的形式. 2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式. 3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程. 4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解.
4 用因式分解法求解一元二次方程
1.因式分解法的定义: 将一元二次方程因式分解化为两个_一__次__因__式__的乘积等于_0_的 形式,再使这两个一次因式分别等于_0_,从而求出方程的解的 方法.
2.因式分解法的理论依据: 如果a·b=0,那么a=__0或b=__0. 3.因式分解法的数学思想: 体现了_转__化__的思想,即将二次方程利用因式分解转化为一次 方程.
【微点拨】 (1)解方程若没有具体的要求,我们通常选择较简便的方法求解. (2)一般解方程最后的选择是公式法和配方法,因为它适合任意 的一元二次方程.