数学分析-2001
关于函数一致连续性的讨论
·数学与计算机科学·
关于函数一致连续性的讨论
杨 艳
（ 吕梁学院 数学系， 山西 离石 033000 ）
摘
要： 从一致连续的定义语序角度， 数形结合角度， 几何意义角度对函数一致连续进行讨论， 并用两个反例
分析来说明结论． 关键词： 函数； 连续； 一致连续； 渐近线 中图分类号： O171 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 185X（ 2011 ） 02 － 0014 － 02
图1 函数 y = sin 1 图象 x
故在该区间不一致连续． 同时它并没有垂直渐近线（ 图 1 ） ， 不过从其图象可以发现， 越靠近于 0 时， 函数图象 已经接近于垂直． a，+ ∞ ） 上连续， a，+ ∞ ） 上一致连续． ［1］ 如果函数 f（ x） 在［ 且有斜渐近线， 则 f（ x） 在［ 综合上述性质可以说明， 如果在当 x 接近于某值 x0 时， 函数图象接近垂直于 x 轴， 则函数在以 x0 为端点 性质 3 要寻找的特殊点就应该从靠近 x0 的点出发． 的区间一定非一致连续． 而且在用定义证明非一致连续时 ， 1 x ∈ （ 0， 1 ） 不一致连续． 例 1 用定义证明 y = ， x 分析 按一致连续性的定义， 为证函数 f 在某区间 I 上不一致连续 ， 只须证明： ε0 ＞ 0 ， δ ＞ 0 ， x' ∈ I， x″ ∈ I， 当 | x' － x″ | ＜ δ 时， 有 | f（ x' ） － f（ x″） | ≥ ε0 ． 1 x' = δ， 有垂直渐近线 x = 0 ， 故， 取 x' 和 x″ 靠近 0 合适． 如， x
在寻找符合要求的 x' 和 x″ 时， 分析到 y = x″ = δ ， （ δ 足够小） 则有 2
用微分法计算行列式
精品好资料——————学习推荐目录摘要0关键词0Abstract0Keywords0引言01 基本知识11.1n阶行列式的定义11.2n阶行列式的性质11.3 一些特殊的行列式的值11.4 求行列式一般方法22 行列式微分法的理论2 2.1 行列式的求导法则22.2 一类行列式的积分法则43 用微分法求行列式43.1用常微分方程求解行列式43.1.1 对阶数比较低行列式求解43.1.2 对n阶行列式求解53.2 用偏微分方程求解行列式73.3 用积分法求解行列式124 结论13参考文献14致谢15用微分法计算行列式摘要将含参数行列式中一个或多个参数看作自变量，把行列式看作参数函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或者一个原函数或者一种递推关系，然后通过不定积分和参数取特殊值或者求导，最终求出行列式的值.利用微分法求解行列式，可以简化行列式的计算.关键词行列式求导法则积分法则Using Differential Method to Calculate the DeterminantStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Ma GuangshengTutor Zhang QunliAbstract Based on derivation or integral rule, consider the parameter(s) of determinant as independent variable, the relations about the determinant, such as the original function, the recursive relations and so on, are obtained and the values of the determinant are found. Using differential method to solve the determinant, the determinant of computation can be simplified.Keywords DeterminantDerivation rule Integration rule引言行列式[15]-是高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵的特征值的基础，并且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.对于一个n行列式都可以由它的定义去计算它的值，但是根据行列式定义知，n行列式的展开式有!n项，计算量很大，因此行列式的计算灵活多变需要技巧的.通常行列式的计算都是用行列式的展开式、行列式的性质、一些特殊的行列式等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，本文用分析手段来求解行列式[69]-为例，作了这方面的尝试.1 基本知识1.1 n 阶行列式的定义将2n 个数(,1,2,,)ij a i j n =排成n 行n 列的形式，按照下式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑计算得到的一个数，称为n 阶行列式(n-order determinant ). 1.2 n 阶行列式的性质性质1行与列互换，行列式的值不变.性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之和之一，其余行（列）元素与原行列式相同.性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零. 性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变. 性质7交换两行（列）的位置，行列式的值变号. 1.3 一些特殊的行列式的值（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积.即11111212122222112212n n nn n n nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即1111,11(1)2,12212,1212,111,11(1)n n n n n n n n n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a a a a ------==-（3）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即111111*********100**00****00**00n n n nn n nn n n n nnn nn a a a a a a a a b b b b b b b b =11111111n nn nn n nna ab b a a b b =111111*********100**00****00**0n n n nn n nn n n n nn n nna a a a a a a ab b b b b b b b =11111111(1)n nnmn nn n nna ab b a a b b =-（4）奇数级反对称行列式的值为零. 1.4 求行列式一般方法常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法，数学归纳法和乘积法.2 行列式微分法的理论2.1 行列式的求导法则定理1设()(,1,2,,)ij a t i j n =为可微函数，则有行列式的求导法则[1011]-1111111212122221221121()()()()()()()()()()()()()()()j n n nn j n j n n nn n nj nn d a t a a t dt a t a t a t d a t a t a t a t a a t d dt dta t a t a t d a t a a t dt==∑.证明 行列式11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n jnn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t τ=-∑故11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n j nn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t d d a t a t a t dtdt a t a t a t τ=-∑111()12(1)()()()j n j n j ni i i i i ni i i i d a t a t a t dt τ-∑111()12(1)(()()())j n j n jni i i i i ni i i i da t a t a t dt τ=-∑111()121(1)()()())j n j n jnni i i i i ni i i i j dat a t a t dt τ==-∑∑111()121[(1)()()()]j n jn jnni i i i i ni j i i i da t a t a t dt τ==-∑∑又因为1111111()2122121()()()()(1)()()()()()j n jn jnj n i i i j n i i ni i i i n nj nn d a t a a t dt d a t a a t da t a t a t dt dt d a t a a t dtτ-=∑，结论的证.注 （1）该定理也可以按行求导数.（2）该公式也可以用数学归纳法证明[9].（3）把导数换成积分类似地证明一些特殊行列式的积分法则.2.2 一类行列式的积分法则定理2 已知(1,2,,;2,,)ij a in jn 为与t 无关的量，1()(1,2,,)i a t in 为t的可积函数，对于矩阵111212122212()()()n n n n nn a t a a a t a a Aa t aa ，有111210212220120()()()x n xx nx n n nna t dt a a a t dta a A dta t dt a a .3 用微分法求行列式3.1用常微分方程求解行列式 3.1.1 对阶数比较低行列式求解例1 计算行列式1111111111111111xx y y+-+-.解令11111111()11111111xx f x y y+-=+-，则21111101101111111()02011110110111111xx df x xy y y dxy y+--=++=++--.对()df x dx求关于x 的不定积分得，22()f x x y c =+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得：(0)0f =， 故22()f x x y =.例2 计算行列式cos 10012cos 10012cos 1012cos αααα.解 用x 代替cos α，则行列式变为100121001210012xx x x，令1001210()0121012x xf x x x=，对()f x 求关于x 的导数得11000001001000210121012001210()01210021012101200012001200020012x x x x x x df x x x x dxx x x =+++33216x x =-对()df x dx求关于x 的不定积分得，42()88f x x x c =-+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，01001010(0)101010010f ==，从而1c =，故42()881f x x x =-+. 把cos x α=代入()f x 中得，4222(cos )8cos 8cos 18(cos 1)cos 1f ααααα=-+=-+2212(2cos sin )12sin (2)cos 4αααα=-=-=.3.1.2 对n 阶行列式求解例3 计算n 阶行列式1231111111111111111na a a a ++++.解 令1231111111111111111n na a D a a ++=++，先设1a 为自变量，122331111111011111110111111101111111n n na a a D a a a a ++=+++++12323111011101110111n na a a a a a a +=+++2311111111111n n na a dD D da a -++==+，所以11n n D a D c -=+（其中c 为积分常数）.当10a =时，23n n D a a a =，所以23n c a a a =.故1123n n n D a D a a a -=+.对于1n D -把2a 看作自变量，运用上面的方法可求出1223n n n D a D a a --=+.同理可求：2334n n n D a D a a --=+2111(1)n n n n n D a D a a a a --=+=++因此，123111123111(1)nnn n i i n n i i iD a a a a a a a a a a a a a -+===+=+∑∑. 例4 计算n 阶行列式a a a ab b D b bλαββββαββββαββββα=. 解 把行列式D 看作关于λ的函数，令()D D λ=，对()D λ求关于λ的导数2100()[(2)]()00n aaaadD n d αβββαββββαβββαββλαβαβββαβββαβλβββαβββα-===+-- 对()dD d λλ求关于λ的不定积分得： 2()[(2)]()n D n c λλαβαβ-=+--+（其中c 为积分常数）当b λ=时,1000011()11b a a a a b a a a ab a a a aD b b b a a a a b a a aaαβββαββββαβββαββββαβββαββββαβββα--------==-------- (2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)n n a a a an n a a a a b n n a a a a n na aaaαββββαβαββαββαβαβββα+------+------=+------+------ 10100[(2)(1)]1001b n n a αβαβαβαβ-=+-----2[(2)(1)]()n b n n a αβαβ-=+----所以22()[(2)]()(1)()n n c D b b n n ab αβαβαβ--=-+--=--- 故22()[(2)]()(1)()n n D n n ab λλαβαβαβ--=+-----2()[(2)(1)]n a n n ab αβλλβ-=-+---.3.2 用偏微分方程求解行列式例5 用偏微分方程求范德蒙德（Vandermonde ）行列式.解 设123222212311111231111n nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=，把范德蒙德行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，对D 求关于1x ，2x ，…，n x 的偏导数得1231232222222212311231111111112123123111111111111110000200(1)000nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-123123222222221232123211111111212312321111111111110100002000(1)0nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-……………………1231232222222212312311111111212312311111111111100010020(1)nn n n nnn n n n n n n n n nnnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-然后，对1D x ∂∂，2D x ∂∂，…，nD x ∂∂求和得 1232222123123121111111112312311111111111102222nn n nn n n n n n n n nnx x x x D D D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --------∂∂∂+++=++∂∂∂1232222123222212311110(1)(1)(1)(1)n nn n n n nx x x x x x x x n x n x n x n x ----+=----从而有特征方程3121111ndx dx dx dx ====可以求得它的首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，故行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤.又因为0(1,2,,1;1,2,,)0iik k n n D x k n i n D x ⎧∂≠⎪∂⎪=-=⎨∂⎪=⎪∂⎩，这说明行列式D 对于每个参数来说都是最高1n -次的，而且行列式D 含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤对于每个参数来说恰好是1n -个.所以行列式1()()j i i j nD cx x c ≤<≤=-∏其中为常数.再根据行列式的每一项的系数可以确定1c =,故行列式1()j i i j nD x x ≤<≤=-∏.例6 用偏微分方程求解行列式1231222221231222221231123111111n nn nn n n n n n n nn n n n n nx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x ---------=.解 把行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，求1x ，2x ，…，n x 的偏导数得12312222212311122222222221231123112311231111111111110000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂12311231222222222212311231322222112311123111111111111(2)00000n n n nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-123122222123122222222222212311231123112311111111111010000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂123112312222222222123112313222222123111231211111111110(2)0000n nn nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-……………………12312222212312222222222212311231123112311111111111000010020n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂123112312222222222123112313222221231112312111111111100(2)0000n nn nn nn nn n n n n n nn n nn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-然后，对1D x ∂∂，2D x ∂∂，…，nD x ∂∂求和得 123122222123112311222222222221231123112311231111111111111111222220n nn nn nnn n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n nn nx x x x x x x x x x x x x x x D D Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----------------∂∂∂+++=+++∂∂∂123112312222222222123112313333322222123112311112311231111111111(2)(2)(2)(2)(2)n nn nn nn nn n n n n n n n n n n nn n nn n nn n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x n x n x n x n x x x x x x x x x x x nx nx nx -------------------+-----1111n n n nnx nx ----1231222221231122222123111111123111111000()n nn nj i i j nn n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x nx x x x x x x nx nx nx nx nx --≤<≤------------=++++=-∏从而特征方程为121111()nj ii j ndx dx dx dDnx x ≤<≤====-∏可以求得首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==；121211()()n ij n i j niji j nd x x x dD D c x x x c nnc ≤<≤≤<≤+++=⇒-⋅+++=∏∏当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，所以行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤，从而可以求得0c =. 因此，11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=-∑∏.对于例5、例6如果我们对列进行求偏导我们很难的出偏微分方程[12]的式子，这也是说利用偏微分方程计算行列式也是有技巧的.以上六个例子是导数（偏导数）在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对含有参数的行列式的求（偏）导,使计算由繁变简,再根据导数性质对不同问题进行分析,达到了解决问题的目的.这说明,(偏)导数是计算含有参数的行列式问题的一种方法.3.3 用积分法求解行列式例7 求n 阶行列式2322212323331231123123n n nn n n n nx x x x x x x Dx x x x nx x x x 的值. 解 把把1x 看作行列式D 的自变量，有1123123222222212312323333333112311231123123123n n n n x x n nnn n n nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x Ddx x x x x dx x x x x nx x x x x x x x 121()nj i i j nx x x x x再对110x Ddx 求关于变量1x 导数1112111[()]x nj i i j ndDdx dDx x x x x dx dx2312131111()[()()()]nji n i j ndx x x x x x x x x x x x dx2311222()(()())nnnnj i j i j i i j nj j k j kx x x x x x x x x x .例8 求1n +阶（设n 为偶数）行列式'222'1111'()12()2()12()3()12()2n n n n f n n f n f n n f n D f n nf n n ++++=+的值. 解 把1n D +看做一个1n +解行列式的积分''0222'222'011111'11'()12()12()()2()12()12()()13()()12()()12()2nnn n n n n n n n f n n f n n f x f x dx f n n f n nf x f x dxD f n f n n f x f x dxnf n n +++++++==+⎰⎰⎰222011112()12()1()()12()n n n n nf x n f x df x f n n f x +++=⎰011[()()(()1)(())]ni j nj i f x f x f x n dx n ≤<≤=-⋅--∏⎰1(1)!()()(()1)(())ni j nn j i f x f x f x n dx ≤<≤=----∏⎰特别地，取()f n n =，这就是参考材料[7]的例4，做变换：2nx t =+，由于n 为偶数， 故2112(1)!()()(1)(1)(1)()222nn n i j nn nnD n j i t t t t t t dx +-≤<≤=--++-+--∏⎰22222212(1)!()(1)(2)[()]02n n i j nnn j i t t t t dt -≤<≤=-----=∏⎰.注：例7、例8是积分在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对一类含有参数的行列式求积分,转化为特殊行列式,再利用导数对结果进行处理,达到了解决问题的目的.4 结论用微分法法计算含参数行列式，把含参数行列式中一个或n 个参数看作自变量，把行列式看作参数的函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或原函数或一种递推关系，然后通过不定积分或求导和参数取特殊值求出行列式或者找到递推关系，最终求出行列式的值.微分法可以简化行列式的计算，为我们提供了一种计算行列式的方法.以上是我们给出了用分析法求解行列式的方法包括用常微分方程计算行列式、用偏微分方程计算行列式、用积分法计算行列式，可以看到这些解法独特、新颖，这实际上是用分析方法解决高代问题思想的一次尝试.高阶行列式的计算方法灵活多样，在化简时，必须根据行列式的特点，采用适当的次序和步骤来进行，才能快速、准确的计算行列式的值.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.955-74 98-103[2] 李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.5 111-140[3] 徐仲.高等代数考研教案[M].2版.西安：西北工业大学出版社，2009.7 44-86[4] 徐仲.高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M].2版. 西安：西北工业大学出版社,2006.9 83-130[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].修订版.北京：中央民族大学出版社，2009.10 24-31[6] 张润玲.n阶行列式的微分法[J].雁北师范学院学报，2003.4 46-47[7] 齐成辉.求解行列式的方法和技巧[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003年31卷 26-29[8] 刘秀丽、张长耀.导数在计算行列式中的应用[J].高等函授学报(自然科学版)，2009.12，第22卷第6期 20-22[9] 龚秀芳.高阶行列式求解方法的探讨[J].菏泽学院学报，2005.10，第27卷第5期 73-76[10] 华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001[11] 陈纪修.数学分析（上、下册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5 119-163 241-269[12] 王高雄等.常微分方程[M].2版(修订).北京：高等教育出版社，2007重印 18-50 304-323致谢在学习高等代数过程中，行列式是不仅是高等代数的重要内容之一，而且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.求解行列式占有极其重要的地位，它是讨论线性方程组理论的有力工具，非常感谢老师在选题修改过程中给予的无私帮助，老师对于工作及科研方面的严谨求实的态度感染了我，使我终生受益，我在此表忠心的感谢，也感谢老师指导了三次数学建模比赛让我受益匪浅，让我知道了学无止境.同时我也感谢系领导与各位老师四年来对我的教育与培养没有你们的教导，就不可能有我的今天.感谢答辩委员会各位老师的精辟点评，让我在马上毕业之际顺利的完成毕业论文.感谢在论文书写过程中给予我支持的父母、老师、朋友，也非常感谢母校让我在大学四年过程中一步步走向独立，我相信这两年半大学生活将是我最宝贵的财富.。
数学分析试题库-选择题
数学分析题库（1-22章）一．选择题１．函数712arcsin162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-.２．函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）.（A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数xe y 1=的（ ）.（A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）.（A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小.５．xx x x 2)1(lim -∞→的值（ ）．（A ）e; (B)e1; (C)2e ;(D)0.６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）． （A ）0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ;(C) ()()x f x f x ∆-→∆0lim; (D)()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000. ７．若()()2102lim0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）.（A ）4; (B)2; (C)21; (D)41,８．过曲线xe x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）.（A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）.（A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.11．函数()x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）te 253; (B)t e 53; (C) t e --53 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是),(b a 上的（ ）（A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数; （C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数. 13．()n =（A ） 21; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x→=（ ）（A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ） ∞+.15．狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(的间断点有多少个（ ）（A ）A 没有; (B) 无穷多个; （C ） 1 个; （D ）2个. 16．下述命题成立的是（ ）（A ） 可导的偶函数其导函数是偶函数; (B) 可导的偶函数其导函数是奇函数; （C ） 可导的递增函数其导函数是递增函数; （D ） 可导的递减函数其导函数是递减函数. 17．下述命题不成立的是（ ） （A ） 闭区间上的连续函数必可积; (B) 闭区间上的有界函数必可积; （C ） 闭区间上的单调函数必可积; （D ） 闭区间上的逐段连续函数必可积. 18 极限=-→xx x 10)1(lim （ ）（A ） e ; (B) 1; （C ） 1-e ; （D ） 2e . 19．0=x 是函数 xxx f sin )(=的（ ） （A ）可去间断点; （B ）跳跃间断点; （C ）第二类间断点; （D ） 连续点. 20．若)(x f 二次可导，是奇函数又是周期函数，则下述命题成立的是（ ） （A ） )(x f ''是奇函数又是周期函数 ; (B) )(x f ''是奇函数但不是周期函数;（C ） )(x f ''是偶函数且是周期函数 ; （D ） )(x f ''是偶函数但不是周期函数.21．设xx x f 1sin1=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则)(x f '等于 （ ） （A ）2cos sin x x x x - ; (B)2sin cos x xx x - ;（C ）2sin cos x x x x + ; （D ） 2cos sin xxx x +. 22．点（0，0）是曲线3x y =的 ( )（A ） 极大值点; (B)极小值点 ; C ．拐点 ; D ．使导数不存在的点. 23．设x x f 3)(= ，则ax a f x f ax --→)()(lim等于 （ ）（A ）3ln 3a; （B ）a3 ; （C ）3ln ; （D ）3ln 3a.24． 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ）（A ） 它们都给出了ξ点的求法; （B ） 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法; （C ） 它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 ; （D ） 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 25．若()f x 在(,)a b 可导且()()f a f b =,则（ ）（A ） 至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （B ） 一定不存在点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （C ） 恰存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=； （D ）对任意的(,)a b ξ∈，不一定能使()0f ξ'= .26．已知()f x 在[,]a b 可导，且方程f(x)=0在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么在(,)a b 内（） ()0f x '=. （A ） 必有； （B ） 可能有； （C ） 没有； （D ）无法确定.27．如果()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，c 为介于 ,a b 之间的任一点，那么在(,)a b内（）找到两点21,x x ，使2121()()()()f x f x x x f c '-=-成立.（A ）必能； （B ）可能；（C ）不能； （D ）无法确定能 .28．若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(,)x a b ∈ 时，()0f x '>，又()0f a <,则（ ）. （A ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b >； （B ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b <； （C ） ()f x 在[,]a b 上单调减少，且()0f b <；（D ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，但()f b 的 正负号无法确定. 29．0()0f x '=是可导函数()f x 在0x 点处有极值的（ ）. （A ） 充分条件； （B ） 必要条件 （C ） 充要条件； （D ） 既非必要又非充 分 条件.30．若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）. （A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值； （D ）极大值必大于极小值 .31．若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在此区间内( ).（A ） 单调减少，曲线是凹的； （B ） 单调减少，曲线是凸的； （C ） 单调增加，曲线是凹的； （D ） 单调增加，曲线是凸的.32．设lim ()lim ()0x ax af x F x →→==，且在点a 的某邻域中（点a 可除外），()f x 及()F x 都存在，且()0F x ≠,则()lim ()x a f x F x →存在是''()lim ()x a f x F x →存在的（ ）.（A ）充分条件； （B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分也非必要条件 . 33．0cosh 1lim1cos x x x→-=-（）.（A ）0； （B ）12-； （C ）1； （D ）12. 34．设a x n n =∞→||lim ，则 （ ）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。
等价无穷小的性质及其运用推广
等价无穷小的性质及其运用推广作者：龚萍， GONG Ping作者单位：攀枝花学院,计算机学院,四川,攀枝花,617000刊名：河北理工大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HEBEI INSTITUTE OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：2009，31(3)被引用次数：0次1.同济大学应用数学系高等数学 20022.杨文泰等价无穷小量代换定理的推广[期刊论文]-甘肃高师学报 2005(02)3.华东师范大学数学系数学分析 20011.期刊论文肖岸纯.Xiao Ancun等价无穷小性质的理解、延拓及应用-数理医药学杂志2007,20(5)等价无穷小具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小.2.期刊论文李涛.LI Tao等价无穷小的性质及其应用举例-吕梁高等专科学校学报2009,25(1)论述了等价无穷小的概念及性质,通过举例,对比了不同情况下等价无穷小的应用及其在应用过程中应注意的一些性质条件,使原本复杂的问题简单化.3.期刊论文王丽.尹琳娟高等数学中"等价无穷小"探讨-中国科教创新导刊2008,""(31)等价无穷小具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小.4.期刊论文王艳梅.Wang Yanmei无穷小的性质在求极限中应用的例证-河北能源职业技术学院学报2001,1(1)无穷小量是高等数学的一个重要概念,在求极限过程中它具有很好的性质,掌握利用好这些性质,能使一些较复杂的极限问题简单化.解题中,要注意分辩各种类型,以灵活运用这些性质解题.5.期刊论文周保平用等价无穷小的性质和泰勒局部公式法求一类函数的极限-塔里木农垦大学学报2001,13(4)函数极限的概念是高等数学中最基本的概念之一,它是今后要研究的导数和定积分概念的基础.在应用方面,如物理学中的瞬时速度,变力做功,化学中反应速度等都是用函数极限概念来定义的.因此,掌握好函数极限概念和运算是十分重要的.作为一位数学教师也应符合当今数学应用的时代要求,应该训练学生的逻辑推理能力,但也应适可而止.否则培养出的学生只会推理,缺乏数学直觉,缺乏对数学知识的灵活变通,是不会有创造性的.本文介绍求一类函数的极限的一种简便方法.6.期刊论文王剑红.杨素芳等价无穷小应用探析-太原城市职业技术学院学报2008,""(3)等价无穷小代换法是解决极限问题的重要方法,我们既要理解等价无穷小的定义,还要熟悉常见的等价无穷小形式,既要能灵活应用等价无穷小代换,又要清楚其使用的前提,还能灵活自如地运用等价无穷小的性质和结论.7.期刊论文崔统强浅谈等价无穷小性质的理解、延拓及应用-科技信息2008,""(17)等价无穷小具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小.8.期刊论文黄爱辉.陈湘涛.HUANG Ai-hui.CHEN Xiang-tao决策树ID3算法的改进-计算机工程与科学2009,31(6) 本文根据ID3算法中信息增益计算原理的特点,利用数学上等价无穷小的性质提出一种新的改进的ID3算法,减少了信息增益的计算量,进而提高ID3算法中信息增益的计算效率.与原ID3算法相比,改进的ID3算法在构造决策树时具有相同的准确率和更高的计算速度.9.期刊论文黄爱辉.HUANG Ai-hui决策树C4.5算法的改进及应用-科学技术与工程2009,9(1)根据C4.5算法中信息增益率计算原理的特点,利用数学上等价无穷小的性质提出一种新的改进的C4.5算法,减少了信息增益率的计算量,进而提高C4.5算法中信息增益率的计算效率.改进的C4.5算法与原C4.5算法相比,在构造决策树时具有相同的准确率和更高的计算速度,将改进后的C4.5算法应用到成绩分析中.10.期刊论文王莉萍.WANG Li-ping幂指函数几个性质的研究-湖北广播电视大学学报2007,27(8)利用f(x)g(x)=eg(x)Inf(x)(f(x)＞0)对幂指函数的极限、微分和积分进行了探讨,获得了应用更广泛更灵活的几个结果:将分式型不定式的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则推广到幂指型不定式中;给出了幂指函数求导的四种方法;得到了一类幂指函数的积分定理.所得结果从理论上系统解决了幂指函数的极限、微分和积分的求解问题.本文链接：/Periodical_hblgxyxb200903025.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：b0cc8abb-7657-4226-9165-9dcd008b9bc3下载时间：2010年8月9日。
不可导点的一些注记
高等数学中无论是求极值、最值还 是判断单调区间都需要考察函数的不可导 点。如何快速准确地判定所考察的函数在 哪些点不可导，这需要一些行之有效的办 法，而不能仅靠直觉。
１ 、用导函数的定义域来判定不 可导点
例 1 讨论函数
的单调性.
解 函数的定义域为
.
当 x ≠ 0 时，函数的导数为
这些可疑的点用导数定义来判断在该点函 数是否可导。这里的预先划定怀疑范围也 会带来一些麻烦，如果可疑点是可导点， 则似乎我们做的定义判别是无用功，因此 用导数定义来判断一个点是否是可导点， 针对一些具体的题目是可以的.但是通常在 一些较为综合的题目中，这个方法就显得 很笨拙。
在这个题目中，我们其实可以凭直 觉，得到 x=1,x=2 很可能是不可导点，然
-２ ０ ４ -
后可以用定义来判定其是否为不可导点。 但是在这样一个综合性的题目中，我
们用定义来判定不可导点，显得既麻烦， 又没有效率，但是求最大值的规则要求我 们必须验证这些点的身份。（当然这个题 目我们为了求得最值，不需要验证 x=1, x=2 是否可导点，直接将其作为可疑最值 点与端点和驻点进行比较即可）。
事实上，从上面的求解过程，我们“感
因此函数
在 x = 0 处不可
导。 下面看一个较为综合的题目。
例 3 讨论函数
在[-
3,4] 上的最大值与最小值。
觉”从导函数
的定义域，就能
看出 x=0 是不可导点，那么果真如此吗？
很显然，如果原函数
在 x=0
处可导，则其导函数在 x=0 处一定有定 义，逆否命题的说法即是：导函数在 x=0 处没有定义，原函数一定在 x=0 处不可 导。
２ 、用导数的定义来判定不可导 点
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义 设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用 相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =，则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间，距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射，且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明 在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =，12Tx x =，…，n n Tx x =+1，… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=； ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=； ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+， ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明 由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时（λ是常数）,()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明 在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-，R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0，取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ，已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ，且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微，且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明：若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1，任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根（即*x 为()x f 的不动点）.证明 已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1（),(a x n ∈ξ） 由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明 易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤，则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设： 对椅子和地面做一些假设：1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4）椅子转动时中心不动.模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和，()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2）知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的θ，()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0，当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解：令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵，()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明：若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑，则方程b Cx x +=有唯一解.证明 设X 是n R （或n C ）,定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理 相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1（Brouwer 不动点定理）设Ω是n R 中的有界闭凸子集，Ω∂表示Ω的相对边界；设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点（否则，存在B x ∈，使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1，得到矛盾）.在应用中,常常涉及到无穷维空间（如[][]b a L b a C ,,,2）上的算子,由上例可知，Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”，则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2（Schauder 不动点定理） 设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3（Leray —Schauder 不动点定理）设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明 令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰，则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊，屈田兴.应用泛函分析[M].长沙：国防科技大学出版社，2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2003.[4]钟承奎，范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州：兰州大学出版社，2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报，2008.。
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输油管的布置摘要本文针对最优化输油管线问题，建立优化数学模型，把生活中的数学问题转化为简单的数学模型来解决.通过Matlab软件编程对数据进行处理，计算出结果.将非常复杂的问题简单化.在问题1中，先考虑无共用管线情形，主要是使管线的总长度最短.为了解决此问题，作出了图形1，采用初等几何的方法，利用对称性求出最短距离，然后由勾股定理等求出管线的总长度.然后考虑有共用管线情形，运用求偏导的方法求出最短管线的长度.讨论共用管线与非共用管线价格的相同与不同，得出铺设管线的费用，对此进行比较.求出问题的最优解.在问题2中，考虑到两炼油厂分别位于郊区和城区，所需的铺设管线费用不同.经过对附加费用进行评估，比较得出三家公司最合适的一家，据此，建立几何图形，然后列出方程.通过运用Matlab软件编程，解出每种情况中管线的费用.最后再比较每种情况的计算结果，取费用最少的作为最终的设计方案.在问题3中，实际上是对问题1和问题2的更进步一考虑.考虑了炼油厂输送成品油到车站所铺设管线的费用不同，根据分析图形中每段管线的几何关系列出方程，然后通过Matlab软件编程对数据进行处理，计算出结果，得到最优设计方案.最后，经过认真的探究讨论，将这种生活中常见的复杂问题通过建立数学模型，结合简单的数学知识去解决，得问题的答案，将复杂的问题简单化.关键词：共用管线；最优解；管线费用一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.问题1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案.在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.问题 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20.若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示：工程咨询公司4 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用.问题3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二、问题分析对于问题1，为了解决两炼油厂到铁路距离和两炼油厂间距离的最优方案，设计了两种解决方案：根据方案作出了图形1、2.图形中用A、B、E 分别表示两炼油厂和车站，方案1，考虑两炼油厂没有共用管线，线段AE、BE 之和就是我们所要求的总管线长度，通过做A 点关于铁路线的对称点，构造出直角三角形，然后直接列出方程.方案2，考虑两炼油厂有共用管线.图形2中还要考虑到一段共用管线，当共用管线与非共用管线的费用相同时，只要求出管线最短就可以求出最省费用.当共用管线与非共用管线的费用不同时，将使用共用管线与不使用共用管线的费用比较得出最省的方案.1A 对于问题2，由于两炼油厂建立在两个不同的区域，但由于铺设城区的管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用，给解题带来了难度.在附加费用上聘请了三家工程咨询公司，但因他们的资质不同我们还要对其进行求解分析.题目中已经介绍所有管线（共用管线和非共用管线）费用相同，即我们不用考虑管道的质量问题.对此，我们设计了最优的解决方案.运用问题1中所得到得结果和 Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果，对于问题3，在该问题中，为了进一步接近实际还需要考虑从A、B 两厂输送成品油到车站的管线费用不同.铺设A 厂管线到车站的价格便宜，B 厂稍贵，他们的共用管线最贵，我们可以将铁路设置的离A 远点，B 近点，共用管线短点.三、模型假设我们认为建造两家炼油厂主要从路线及费用考虑，寻找一种可行的路线同时又较为省钱，为了这个问题的最佳方案，我们做出几点假设. 1．假设管线接口处无损失. 2．假设管线的质量无影响.3．假设管线的架设不受地理、人为环境的影响. 4．假设铁路是直的.5．对于问题一不考虑两炼油厂位于不同区域. 6．把两炼油厂与车站看作三点.四、符号说明a……表示炼油厂A 到铁路的距离； b……表示炼油厂B 到铁路的距离； m……最优方案中的共用管线的的长度； q……管线费用；1q ……共用管线的价格； 2q ……非共用管线的价格；S……管线总费用；k……表示公司附加费用； l ……相对于铁路的水平距离；附录中：X(1)……表示模型二求解中的m ； X(2)……表示模型二求解中的n ； X(2)……表示模型三求解中的r ； X(3)……表示模型三求解中的n.五、模型建立与求解5．1模型一的建立与求解该模型针对问题1，仅考虑管线的路线，分别找出路线在图形中的位置关系，将之简化成简单的数学模型，利用数学模型来解答所要求的问题.假设图形1中线段AE 与线段BE 的和就是我们所求管线的长.图形1中我们首先设A 到铁路的距离为AC=a,B 到铁路的距离为b.作A 点关于铁路的对称点，连接B，由对称性知道B 为最短管线，如图1中CD 长为l ，延长BD 到使得=a，连接，建立直角三角形1A 1B 1A 11A DB 11B A 11A B B 图形2中设共用管线的长度为m，若要使得总的管线建设费用为最优值（即最小值），则有、E、B 三点在一条直线上时建设管线的费用最省.图1、2中示的距离（单位：千米）1A图形1中AC、BD 都垂直于铁路CD，因为A 点与点关于CD 对称得出,根据勾股定理求解管线1A E A AE 1=1A B =,所求管线的费用为B A q s 12×=,根据平面直角坐标系建立方程，得出车站建在距离AC 的距离为alCE a b=+.把①式代入f 得到图形2中建立直角坐标系，则1(0,2)A m a −，1(,2)B l m a −，(,)B l b ， .(,E x )m 我们知道、E、B 在一条直线上，如图形2所示，根据勾股定理得1A 1AB =则所用管线的长度为f m =+.为了求得最省管线建设费用我们要使得变量m 最小.对f求导'1f =+.令'f=0,得到1(2m a b =+①1min()(2f a b =++−32即为所求管线的最小值. qⅠ.若共用管线与非共用管线费用相同，即1q q =则我们只要用最短管线乘以就是最省费用S，即min()s f q =×.根据点、1A B 求得直线方程为1A B 22b a my x lm a +−=+−. 把E 点代入方程y 得x =.所以我们应将车站设在距离C3：AE、BE 铺设非共用管线， m 段铺设共用管线.Ⅱ.若共用管线费用与非共用管线的费用不同,即21q q ≠.考虑质量等问题. 21q q 〉1）若使用共用管线，如图形2则管线建设费用最优解为21()s AE BE q mq =+×+ = 1A B 21q mq ×+= 2q ×+. ②1mq 2）若不使用共用管线，如图1，即m=0.则管线建设费用最优解为2()s AE BE q =+×2q ③因为最优方案的费用是价格和管线长度之积，所以管线最短不一定费用最省，因此对上述做了比较.当② < ③时，则我们选择1）为管线建设的最佳方案. 当② > ③时，则我们选择2）为管线建设的最佳方案.当② = ③时，原则上1）与2）都可行，但是为了建设上的方便我们最好选择不使用共用管线.5．2模型二的建立与求解针对问题2，问题中因为铺设在城区的管线还需要增加拆迁和工程费补偿等附加费用，我们为了减少费用，建立了最优方案，如下所示.图形3铺设在城区的管线还需考虑拆迁和工程补偿等附加费用，为了减少这项费用，同时考虑管线铺设的长度，因此假设铺设在城区的最优管线为BH.设共用管线的长度为m，图中我们作A 与点关于对称，可以得到，设HN=n (05 ) ， 图3中各字母表示的距离（单位：千米）.1A 1L 1AE A E =m ≤≤0n ≤≤8因为所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，城区管线拆迁和工程补偿等附加费用每千米k 万元，所以我们得出管线建设总费用的方程为7.2)(7.2)s m k =×+++.运用Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果： k=21时，m=5.0000 , n= 7.7681, 最小值 s= 286.9751 k=20时，m= 5.0000, n= 7.7602, 最小值 s= 281.9696 k=24时，m=5.0000 , n=7.7889, 最小值s=301.9898 k=21.6时，m=5.0000 , n= 7.7726, 最小值s= 289.9783通过对铺设管线的费用和三家工程咨询公司的资质两方面的问题的综合考虑，根据附表1中图线的走向，最后我们得出最优解决方案是：我们选择公司一进行的估算，当k=21时，铺设管线的最小费用为s=286.9751万元.根据图形2的求解可以得到车站所建设的位置距离C 点2.9496==千米处5．3模型三的建立与求解此模型针对问题3中牵涉到炼油厂输送成品油到车站的费用不同，进一步节省费用，设车站到A 炼油厂的水平距离为EF r = ，共用管线的费用为m ， （，，）通过对问题1和问题2的分析，综合问题1和问题2的解决方法得出问题3管线最佳布置方案及相应的费用.所以管线费用的方程为HN n =01r ≤≤505m ≤≤0n ≤≤85.66(621)7.2s m=+++× （，，）01r ≤≤505m ≤≤08n ≤≤通过Matlab 软件编程对数据进行处理，计算出结果，如下： m=0.1328; r=6.7425 ; n=7.2659 最小值:s=249.4422所以管线的铺设费用s=249.4422万元.车站建设的位置距离C 点6.7425千米处.六、模型的评价6．1 模型优点1、本文的模型简单，其算法直观易于理解.2、模型中巧妙的运用直角坐标系，使模型简单化.3、该模型实用性强，对现实具有很强的指导意义.4、假设合理、分析透彻6．2模型缺点在建模与编程过程中，使用的数据有的只是一种近似值，因而得出的结果可能与实际情况有一定的差距.由于人为等因素的影响管线的铺设与模型的建立可能存在差距.七、模型的推广随着社会的经济发展，建设节约型社会是我们工作的宗旨，节约资源是我们做好每一项工程所应考虑的因素，该模型具有普遍的实用性，不仅可以应用到输油管的布置，在排除地理因素的影响下，我们只要把模型中的输油管线用其他的材料铺设，此模型还可以用于污水排放的管道、地下光缆铺设管道、建设运输天然气管道等，这样我们只需要建立一种模型就可以解决许多相似的管道铺设方面的问题.将实际生活中的复杂问题，综合利用本文中的最优方法，求的最优解，有利于资源的节省.综上所述，我们把输油管的布置合适的应用到其他方面的设计具有可行性、经济性.参考文献[1] 谭永基，蔡志杰，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005.[2] 华东师范大学数学系，数学分析，北京：高等教育出版社，2001.[3] 雷功炎，数学模型讲义，北京：北京大学出版社，2000.[4] 袁震东，洪渊，林武忠，数学建模，上海：华东师范大学出版社，2000.[5] 龚劬，图论与网络最优化算法，重庆：重庆大学出版社，2009.[6] 杨启帆等，数学模型，杭州：浙江大学出版社，1990.[7] 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003.九、附录9．1三家工程咨询公司费用图：11 12 21 2231321322 331 332333 K1(21) 249.4422 286.9751 250.9751 249.1177 280.1771 442.4364281.3307 229.1516 250.8742250.9543 K2(20) 244.3865 281.9696 245.9696 244.1177 275.1343 437.4028276.3307 224.1516 245.8742245.9543 K3(24) 264.5867 301.9898 265.9898 264.1177 295.2888 457.5247296.3307 244.1516 265.8742265.9543 K4(21.6) 252.4737 289.9783 253.9783 252.1177 283.2013 445.4554284.3307 232.1516 253.8742253.9543附表19．2运用Matlab软件编程模型二的计算如下：function f=test12(x)% kk=21;% kk=20;% kk=24;kk=21.6;f=7.2*(sqrt((x(2)+5-2*x(1))^2+15^2)+x(1))+(7.2+kk)*sqrt((8-x(2))^2+5^2) ;endA=[1 0;-1 0;0 1;0 -1];b=[8;5;8;0];lb=[5 0];ub=[8 8];x0=[5 0];[x,fval,exitflag]=fmincon(@test12,x0,A,b,[],[],lb)运行结果：k=21时：最小值点:( 5.0000 7.7681),最小值: 286.9751k=20时：最小值点:( 5.0000 7.7602),最小值: 281.9696k=24时：最小值点:( 5.0000 7.7889),最小值: 301.9898k=21.6时：最小值点:( 5.0000 7.7726),最小值: 289.97839．3运用Matlab软件编程模型二的计算如下：function f=test11(x)% kk=21;% kk=20;% kk=24;kk=21.6;f=5.6*sqrt((5-x(1))^2+x(2)^2)+6*sqrt((15-x(2))^2+(x(3)-x(1))^2)+(6+kk)*sqrt(5^2 +(8-x(3))^2)+7.2*x(1);endA=[1 0 0;-1 0 0;0 1 0;0 -1 0;0 0 1;0 0 -1];b=[5;0;15;05;8;0];lb=[0 0 0];ub=[5 15 8];x0=[0 0 0];[x,fval,exitflag]=fmincon(@test11,x0,A,b,[],[],lb)运行结果：k=21.6时：最小值点:( 0.1328 6.7425 7.2659),最小值: 249.4422k=20时：最小值点:( 0.1196 6.7607 7.2370),最小值: 244.3865k=24时：最小值点:( 0.1668 6.6953 7.3406),最小值: 264.5867k=21.6时：最小值点:( 0.1402 6.7322 7.2822),最小值: 252.473711。
关于实数完备性的基本定理
目 录摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. 3关键词：实数；完备性 3Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. 3Key Words: Real number; Completeness 3前言 31 预备知识 3关于确界的定义 3极限的定义 4区间套的定义 4聚点的定义 5有限覆盖的定义 52 关于实数完备性的基本定理 5确界定理 5单调有界定理 6区间套定理 6聚点定理和致密性定理 7有限覆盖定理 7设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . 7 柯西收敛准则 7结语： 8关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ 8参考文献： 8摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. (3)关键词：实数；完备性 (3)Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real,including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthyconvergence criterion, and some related examples to illustrate. (3)Key Words: Real number; Completeness (3)前言 (3)1 预备知识 (3)关于确界的定义 (3)极限的定义 (4)区间套的定义 (4)聚点的定义 (5)有限覆盖的定义 (5)2 关于实数完备性的基本定理 (5)确界定理 (5)单调有界定理 (6)区间套定理 (6)聚点定理和致密性定理 (7)有限覆盖定理 (7)设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b . (7)柯西收敛准则 (7)结语： ......................................................................................................................................... 8 关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！ (8)参考文献： (8)关于实数完备性的基本定理摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明.关键词：实数；完备性Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate.Key Words: Real number; Completeness前言数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.1 预备知识关于确界的定义∈都有设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切x S ≤≥，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界()x M x L（下界）.若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集.若S 不是有界集，则称S为无界集.设S 是R 中的一个数集.若数η满足：(i) 对一切x S ∈，有x η≤，即η是S 的上界；(ii) 对任何αη≤，存在0x S ∈，使得0x α>，即η又是S 的最小上界，则称数η为数集S 的上确界，记作sup S η=设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足：(i) 对一切x S ∈，有x ξ≥，即ξ是S 的下界；(ii) 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<，即ξ又是S 的最大下界，则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=上确界与下确界统称为确界.极限的定义设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时有||n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞， 读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.区间套的定义设闭区间列{[,]}n n a b 具有如下性质：(i) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊃,n=1,2,…；(ii) lim()0n n n b a →∞-=, 则称{[,]}n n a b 为闭区间套，或简称区间套.聚点的定义设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ）.若ξ的任何邻域上都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点.对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域上都含有S 中异于ξ的点，即(;)o U S ξε⋂≠∅，则称ξ为S 的一个聚点.若存在各项互异的收敛数列{}n x S ⊂，则其极限lim n n x ξ→∞=称为S 的一个聚点.有限覆盖的定义设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如(,)αβ的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.2 关于实数完备性的基本定理确界定理设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A ,B 为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.证明：数集A有上确界，数集B 有下确界，且sup inf A B ≤证 由假设，数集B 中任一数y 都是数集A 的上界，A 中任一数x 都是B的下界，故由确界原理推知数集A 有上确界，数集B 有下确界.对任何y B ∈，y 是数集A 的一个上界，而由上确界的定义知，sup A 是数集A 的最小上界，故有sup A y ≤.而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界，故由下确界定义证得sup inf A B ≤.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设111...,12n a nααα=+++>.证明:{}n a 收敛. 证 显然{}n a 是递增数列.因为当2n ≥时，2n a =112α++…1(2)n α+=11(1...)3(21)n αα+++-+11(...)2(2)n αα++ <11(1...)3(21)n αα+++++11(...)2(2)n αα++ <122n a α+=112n a α-+, 以及2n n a a <，所以11112n a α-<-故{}n a 是有界的.根据单调有界定理可知数列{}n a 是收敛的.区间套定理若{[,]}n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[,]n n a b ξ∈，n=1,2,…，即n n a b ξ≤≤，n =1,2,…推论：若[,]n n a b ξ∈( n=1,2,…)是区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给的0ε>，存在N >0,使得当n>N 时有[,](;)n n a b U ξε⊂注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.例3 证明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界.证 假设()f x 在[,]a b 上无界，利用二分法总可找到一个闭区间无界得{[,]}n n a b 且满足：(1) 11[,][,]n n n n a b a b ++⊂;(2) 0()2n n n b a b a n --=→→∞; (3) ()f x 在[,]a b 上无界，由区间套定理有[,]a b ξ∃∈且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.因为[,][,]n n a b a b ξ∈⊂，所以()f x 在ξ处连续.于是，一方面由连续函数的局部有限性定理得()U ξ∃使()f x 在()U ξ上有界；另一方面由推论得0,,[,]()n n N n N a b U ξ∃>∀>⊂，因此()f x 在[,]n n a b 上有界，则与条件(3)矛盾，故得证.聚点定理和致密性定理聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列.有限覆盖定理设H 为闭区间[,]a b 的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[,]a b .注：(1)该结论只对闭区间[,]a b 成立，而对开区间则不一定成立.(2)若将订立中的H 改为其他类型的区间集，则结论不一定成立.(3) H →开区间集，S →闭区间，该结论才能成立.例4 S=[0,1],11{(,)|}1H n N n n=∈+,H 是否覆盖S ？ 解1 n N ∀∈，当1n >时，尽管()10,1n ∈，但1n 不属于H 的任何开区间，因此H 不覆盖S .解2 012x S ∃=∈1,2H ∀∆∈∉∆⇒H 不覆盖S . 柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n,m>N 时有||n m a a ε-<.这个定理从根本上完全解决了数列极限的存在性问题.柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数. 结语：关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3] 沐定夷.数学分析(第一版)[M].上海:上海交通大学出版社,1993.[4] 周性伟,刘立民.数学分析(第一版)[M].天津:南开大学出版社,1986.[5] 何琛,史济怀,徐森林.数学分析(第一版)[M].北京:高等教育出版社,1983.。
南开大学数学分析
南开大学2000年硕士研究生入学考试1.设222222()sin 0(,)00x y xy x y x yf x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，证明(,)f x y 在点(0,0)处连续但不可微2.设()f u 具有连续的导数，且{}2lim ()0,(,)|,,0(0)u f u A D x y x y R x y R →+∞=>=+≤≥>1） 证明lim ()u f u →+∞=+∞2） 求22()R DI f x y dxdy =+⎰⎰3） 求2limR R I R→+∞3.（1）叙述()f x 于区间I 一致连续的定义（2）设(),()f x g x 都于区间I 一致连续且有界，证明()()()F x f x g x =也于上I 一致连续 4.设函数列{}()f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a 使得x I ∈当是，总有 (),(1,2...)n f x a n ≤=，证明()f x 于I 上有界5，设10(1,2...),nn n kk a n S a=≥==∑，证明（1） 若1n n na S =∑收敛，则1n n a =∑也收敛（2） 如果 ?>1，1n n na S =∑收敛，问1n n a =∑是否必收敛？说明理由6.设(,)f x t 于[],;,a c d +∞连续，(,)af x t dx +∞⎰于(],c d 一致收敛，证明(,)af x d dx +∞⎰收敛南开大学2001年硕士研究生入学考试1. 计算三重积分22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰，其中Ω为由曲面22x y z +=与平面4z =为界面的区域2. 计算220sin x xy dx xdy yπ⎰⎰3. 计算2222()yx I y dx dy xyx y=--++⎰，c 为椭圆22194xy+=，方向为正4. 设{}n a 为一数列，满足lim ,0n n na a a →∞=>（1） 证明1n n a ∞=∑收敛（2） 能否确定1n n a ∞=∑的敛散性？说明理由5．设()f x 于[),a +∞可导，且'()0f x c ≥>（c 为常数），证明 （1）lim ()n f x →∞=+∞（2）()f x 于[),a +∞必有最小值6.设()f x 于[)0,+∞有定义，对任意实数,()A a f x >于[]0,A 可积，且lim ()0n f x →∞=，证明01lim()0x f x dt x+∞→∞=⎰7.设0,0x y ≤≤+∞<<+∞时(,)f x y 连续且有界，证明 （1）对任意正数0,(,)xyxef x y dx δ+∞-⎰，于(),δ+∞一致收敛（2）0()(,)xyF y xef x y dx +∞-=⎰于()0,+∞连续（3）问0(,)xyxef x y dx +∞-⎰于()0,+∞是否必不一致收敛？说明理由南开大学2002年硕士研究生入学考试1.计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω为由222x y z +=及2z =所围成2. 设s 为抛物面22x y z +=位于0,1z z ==之间的部分，取外侧，求222sxydydz y dzdx x dxdy --⎰⎰3. 设1n n a nα∞=∑收敛，βα>，证明1n n a nβ∞=∑收敛4. 设{}()n f x 于()00,,0x x δδδ-+>内一致收敛，且0lim ()(1,2,...)n n x x f x a n →==证明{}n a 收敛5. 设()f x 于区间I 一致连续，(1,2,...)n x I n ∈=且{}n x 收敛，证明{}()n f x 也收敛 问若将()f x 于区间I 一致连续改为()f x 于I 连续，上述结论是否仍成立？说明理由6. 设()f x 于[),a +∞（a 为实数）连续，且()0,lim ()0x f x f x →+∞≥=，证明()f x 于[),a +∞有最大值，问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由7. 证明0()xyf y xedx ∞-=⎰于()0,+∞连续问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由南开大学2003年硕士研究生入学考试1. 设(,,)w f x y x y x =+-，其中(,,)f x y z 有二阶连续偏导数，求xy u2. 设数列{}n a 非负单增且lim n n a a →∞=证明112lim ()nn n n nn a a a a →∞+++=3．设2ln(1)0()00x x x f x x α⎧->=⎨≤⎩试确定α的取值范围，使()f x 分别满足（1） 极限0lim ()x f x +→存在（2） ()f x 在0x =连续 （3） ()f x 在0x =可导3. 设()f x 在(),-∞+∞连续，证明积分22()()Lf x y xdx ydy ++⎰与积分路径无关5. 设()f x 在[],a b 上可导，()02a b f +=且'()f x M <，证明2()b zf x dx ≤⎰Ｍ（b-a ）４6. 设{}n a 单减而且收敛于0.1sin n n a n ∞=∑发散（1）证明级数1sin n n a n ∞=∑收敛（2）证明lim 1n n nu v →∞=其中11(sin sin ),(sin sin )nnn kk n kk k k u ak a k u ak a k ===+=-∑∑7. 设1sin ()txxF t edx x +∞-=⎰证明（1）1sin txx edx x+∞-⎰在[)0,+∞一致收敛（2） ()F t 在[)0,+∞连续8. 命{}()n f x 是[],a b 上定义的函数列，满足（1） 对[]{}00,,()n x a b f x ∈任意是一个有界数列（2） 对任意0ε>，存在一个0δ>，当[],,x y a b ∈且x y δ-<时，对一切自然数n,有()()n n f x f y ε-<求证存在一个子序列{}()n f x 在[],a b 上一致收敛南开大学2004年硕士研究生入学考试1. 设()f x 在点a 的一个邻域中有定义，'()0,()0f a f a ≠=，求1()lim ()x ax af x f a -→⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 设(,)f u v 所有二阶偏导数都连续，(,)y z f xy x=，求2z x y∂∂∂3. 证明不等式 12l n (1)1(0)1xx x x x+<+>+ 4. 计算二重积分2222221ln()x y x y x y dxdy +≤+⎰⎰5. 计算第二型线积分22()2Lx y dx xydy --⎰其中L 是从(0,1)A 沿sin x y x=到(,0)B π的一段曲线6.证明级数11n nα∞=∑在0α>时收敛，在0α≤时发散7. 设()f x 在[),a +∞上可微且有界，证明存在一个数列{}[),n x a ⊂+∞，使得l i m n n x →∞=-∞且'lim ()0n n f x →∞=8. 设{}()n f x 是[],a b 上的连续函数序列，且存在常数0M >，使得对任何n N ∈和任何[],x a b ∈，有()n f x M <（1） 证明对任何n N ∈，{}12()min (),(),,()n n F x f x f x f x = 在[],a b 上连续 （2） 举一个例子使{}()inf ()n n NF x f x ∈=在[],a b 上不连续（3） 若{}()inf ()n n NF x f x ∈=在[],a b 上连续，则{}()n F x 在[],a b 上不一致收敛于()F x ，其中{}12()min (),(),,()n n F x f x f x f x =9. 设()f x 在(),a b 上有定义且对任何()12,,x x a b ∈和任何[]0,1λ∈，有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-<+-（1） 证明()f x 在(),a b 内处处有右导数'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆且'()f x +是(),a b 上的单增函数（2）'()f x +在(),a b 内至多只有可数个间断点南开大学2005年硕士研究生入学考试1. 计算二重积分2DI xydxdy =⎰⎰ 其中{}2(,)|1D x y R x y =∈+≤2. 设()u u x =为由方程组(,,)(,,)0(,,)0u f x y z g x y z h x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定的隐函数，求du dx3.求极限lim n →∞+4. 求证0sin ()t f x dx x t+∞=+⎰在()0,+∞上连续5. 判断级数1111(1)1!2!!n e n ∞=⎡⎤-++++⎢⎥⎣⎦∑ 的敛散性 6. 设函数()f x 在[]1,1-上连续可导且(0)0f =（1） 求证11()n xf n n∞=∑在[]1,1-上一致收敛 （2） 设11()()n xS x f n n∞==∑，求证()S x 在[]1,1-上连续可导 7. 设(,),(,)P x y Q x y 在全平面2R 上有连续的偏导数，并且对任何一个圆周C ，有(,)(,)0CP x y d x Q x y d y +=⎰求证Q P xy∂∂=∂∂8. 设()f x 在[]0,a 上两次可导，''(0)(0)()0,()1f f f a f a ====，并且对任何[]0,x a ∈，有"()1f x ≤，设,02(),2a x x g x a a x x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） 求证'()()f x g x ≤（2） 求证()00,x a ∈存在，使得'00()()f x g x < （3） 求证0a > 9.设()f x 和()g x 在区间(),a b 内有定义，且对任何()0,,x x a b ∈，有00()()()()f x f xg x x x -≥-（1）求证()f x 在(),a b 内连续南开大学2006年硕士研究生入学考试.1.求极限24sin()limt t tx dx t→⎰2.设122221211112111n nn n n nx x x u xxxx x x ---=，试证1(1)2nii iu n n x u x =∂-=∂∑3.设()f x 在[]0,2上有界可积，20()0f x dx =⎰求证存在[]0,1a ∈使得1()0a af x dx +=⎰4.若幂级数nnn ax∞=∑在()1,1-内收敛于()f x ，设()01,1n x ≠∈-满足l i m 0()0,nn n x f x n →∞===和，则()0f x =对所有()1,1x ∈-5.设函数()f x 在(),-∞∞有任意阶导数，且导数函数列()()n f x 在(),-∞∞一致收敛于(),(0)1x ϕϕ=，求证()xx e ϕ= 6.设(,,)f x y z 在球{}222(,,)|1x y z x y z ++≤上连续令{}{}2222222()(,,)|,()(,,)|,0B r x y z x y z r S r x y z x y z rr =++≤=++=>求证()()(,,)(,,),(0,1)B r S r d f x y z dxdydz f x y z dS r dr=∈⎰⎰⎰⎰⎰7.设(,,)f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于x,y,,z 都是1周期的，即对任意点（x,y,,z ）成立(1,,)(,1,)(,,1)(,,)f x y z f x y z f x y z f x y z +=+=+=则对任意实数,,αβγ，有f f f dxdydz xyz αβγΩ⎡⎤∂∂∂++=⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰ 这里[][][]0,10,10,1Ω=⨯⨯是单立方体8.设A 为三阶实对称方阵，定义函数(,,)(,,)x h x y z x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求证(,,)h x y z 在条件2221y z ++=下的最大值为矩阵A 的最大特征值9.（1）设0n a ≠数列满足0,n a n →→∞，定义集合{|,}i p ka k Z i N =∈∈,Z 为整数集，N 为自然数集，求证对任何实数b ，存在数列k b p ∈使得lim k k b b →∞=（2）试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期10.设()x ϕ是(),-∞∞定义的周期连续函数，周期为1，且1()0x dx ϕ=⎰，令10()xn a e x dx ϕ=⎰，对任意自然数n ，求证级数21nn a ∞=∑收敛南开大学2007年硕士研究生入学考试1.填空 （1）111lim ()122n n n n→∞+++++（2）1sin te tdt t+∞--⎰（3）函数22(,)212f x y x xy y =++在闭区域{}222(,)|425D x y R x y =∈+≤的最小值 （4）设{}222(,)|1,0,0D x y R x y x y =∈+≤≥≥，则二重积分D⎰⎰（5）设{}3222(,,)|1,n n n S x y z R x y z n N =∈++=∈，则下面曲面积分333()Sx y z dS ++⎰⎰的值（6）设L 为单位圆221x y +=的方向，则下曲线积分[]22(sin cos )(sin )yLex x y x dx y x xcox dy xy++-+⎰的值是2.设()f x 函数在[)0+∞，上连续，(0)0f <，并且'()2f x >对0x >成立，求证方程(0)0f =在区间(0)0,2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭中有且仅有一根3.设()f x 在[]0,1上连续，求证121lim (()()(1)())nn n f f f n nn→+∞--++-4.若正项级数1n n a ∞=∑收敛，求证（1）1p n n a ∞=∑收敛，1p >（2）1n n∞=∑收敛，,2k N k ∈≥5.求证含参变量广义积分2txtedx +∞-⎰在关于[)0,t ∈+∞的任何有界闭子区间上一致收敛6.设()f x 在区间()0,+∞连续有界，且(1)()f x f x +≠对所有0x >成立，求证 ()l i m ()(1)0n f nf n →+∞--=7.设{}:1n x R x Ω=∈<，函数()u x 在Ω内二阶连续可微，在Ω上连续，且在Ω内满足0u bu ∆-=，其中221ni ix =∂∆=∂∑为Laplace 算子，0b >为常数，设对任意边界上的点x ∈∂Ω有()0u x >，证明：对任意x ∈Ω，有()0u x >南开大学2008年硕士研究生入学考试一．计算题1．()[]x x x +-∞→1ln lim 22．()()∑∞=-+-1121n n n n3．求()x f ，已知()()()1''+-=x fx x f4． 5．()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求⎰⎰-DdS y x二．61+=+n n x x ，61-≥x ，求n x x ∞→lim三．()[]b a C x f ,∈，[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，()0=ξf四．()x f 在[)+∞,a 一致连续且广义几分()⎰+∞adx x f 收敛，证()0lim=+∞→x f x五．()∑-=nxnex f ，证：（1）()x f 在()+∞,0收敛但不一致（2）()x f 在()+∞,0无穷次可导六．()1ln -=n n a f a ，()()x mf x f≤'，10<<m ，证∑--1n n a a 收敛 七．x yu =，x v =，y xz +=ω，0222=+∂∂+∂∂y x zx zx ，求()v u ,ω八．求222a az y x =++分az z y x 2222=++成两部分体积之比。
[整理]一致连续性的判定定理及性质.
一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题： （1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1=在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续. 证明 ［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续, 即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f .现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}nx 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里[]b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x kk n n 021.因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02, 并且()()()()021ε≥-kkn n x f x f对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()021lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k kn n x f x f对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f ax +→lim 和()x f bx -→lim 存在.证明 ［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］ 因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在.定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f .证明 ［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε,当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x .则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f .［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有2)(ε<-A x f ,从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,m in{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论 若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 .定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+称是区间 上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim)(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ ,则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(. 下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- .令)(2111b a c +=,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ . 由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I hh ∈+-2,2ξξ时，有M hf h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f hf h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f在区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(min )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+)(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明 先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f hx f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由)2(2)()(00xx f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤,从而)(x f 在0x 点连续,即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论 若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明 ［充分性］ 若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法） 设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξGx x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明 由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< .再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有Mx g x g Mx f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},m in{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<MMMM22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明 由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},m in{21δδδ= ,则对0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f （3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65, 所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续.性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故)(x f ),[+∞a 在 一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论 设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→x x e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。