湖北省黄冈中学2020届高三下学期6月第三次模拟考试理科数学试题

湖北省黄冈中学2020届高三下学期6月第三次模拟考试理科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U =R ，(){}2ln 1A x y x==-，{}0B y y =>，则()U A B ∩=（ ） A ．（－1，0） B ．[0，1） C ．（0，1） D ．（－1，0]2．若复数z 满足()1i 1z +=，则复数z 的共轭复数的模为A ．1B C ．2 D ．3．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．804．已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-=A ．4B ．3C ．2D ．0 5．已知0.12(tan),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b6．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到A 、B 、C 三所不同的乡镇医院中，若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到A 医院的概率为（ ）A ．112B ．16C ．14D ．137．把函数()sin(2)6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为（ ） A ．[],2ππ B ．4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．39．已知双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第一象限，若OA OF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．53B ．12C ．2D 10．方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC ，则c b b c+的最大值是（ ）A ．8B ．6C ．D ．4 12．在三棱锥A BCD -中，ABC 和BCD 都是边长为2的正三角形，当三棱锥A BCD -的表面积最大时，其内切球的半径是（ ）A．B．2 CD．6第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X =________.14．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=________. 15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ，N 为抛物线准线上相异的两点，且M ，N 两点的纵坐标之积为－8，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，F ，B 三点共线，则p =________.16．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为____________.三、解答题17．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知11a =，12b =，222b a =，3322b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足1,2(),2kn k n n c k N a n ⎧==∈⎨≠⎩，设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求2nS . 18．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，AB =60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的角最大为60°，求二面角E AF C --的余弦值.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为2，且TFO △面积的最大值为12. （1）求椭圆的方程；（2）设点()0,1A ，直线l ：(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ；直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若2OM ON ⋅=，求证：直线l 经过定点.20．某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布2(,3.2)N μ，其中μ近似为样本平均数x (同一组数据用该组区间的中点值作代表). （1） 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2） 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若n P 表示A 的概率，1231(3,,4n n n n P aP P bP n a b ---=++≥为常数)，且0121P P P ===.（ⅰ）求3P ，4P 及a ，b ； （ⅱ）判断并证明数列{}n P 从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义. (参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈，(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈21．已知函数()sin ()f x x a R =∈.（1）当0a =时，证明：()0f x ≥；（2）若14a <-，证明：()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的极值点0x ，且()0001π2f x x x >--. 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=.（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值.23．已知,,a b c 为正数，且满足3a b c ++=．证明：（1）1113ab bc ca++； （2）2222223a b b c c a abc ++．参考答案1．D【解析】【分析】解二次不等式求出集合A ，然后求出U B ，最后取交集即可.【详解】 {}{}21011A x x x x =->=-<<，{}0B y y =>， ∴{}0U B y y =≤，()(]1,0UA B ⋂=-. 故选：D【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2．B【解析】【分析】首先求出复数z ，即可得到复数z 的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案．【详解】由于12+，则22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，所以复数z 的共轭复数1z i =+，则z ==故答案选B【点睛】 本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题． 3．C【解析】分析：写出103152r r r r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rr rr r r r T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭ 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C =⨯=故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．4．B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅ 5．A【解析】【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.【详解】 对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<< 即0.10.12(tan )(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33cos cos cos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log cos log 1007c π⎛⎫<=⇒< ⎪⎝⎭ 综上，a b c >>故选：A【点睛】本题较易。

只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间.6．D【解析】【分析】先确定基本事件总数，再确定医生甲恰好分配到A 医院的包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】基本事件总数234336n C A ==， 医生甲恰好分配到到A 医院包含的基本事件个数32233212m A C A =+=， 所以医生甲恰好分配到A 医院的概率为121363m p n ===. 故选：D【点睛】 本题考查古典概型概率、排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B【解析】【分析】 先利用三角函数的图象变换，求得函数的解析式为()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，将函数()sin(2)6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍， 可得sin()6y x π=-的图象； 再将向左平移3π个单位，得到函数()sin sin 366πππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 令322262πππk πx k π+≤+≤+，解得42233ππk πx k π+≤≤+，k Z ∈，可得函数()g x 的减区间为42,233ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得函数()g x 的一个减区间为4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的单调区间的求解及判定，其中解答中熟记三角函数的图象变换，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====易得22211C D BD BC =+，因此111cos BC BC D C D ∠===C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．9．A【解析】【分析】求出直线l 的方程，以及与渐近线方程联立，进而通过OA OF=，转化求解双曲线C 的离心率. 【详解】解：由题意可知，左焦点(),0F c -，直线l 的方程为：()12y x c =+，与渐近线b y x a =联立可得122acx a b =⋅-，2bcy b a=-， 因为OA OF =，即22222ac bc c b a b a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理可得34b a =，22916b a =，即()222916c a a -=，则22925c a =，因为1c e a =>，解得53e =. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】根据曲线的表达式，结合选项，研究其对称性，函数图像，则容易进行判断. 【详解】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122x xx x f x f x e e -+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立，故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的对称性、函数图像的研究，属综合中档题 11．D 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形的面积公式、辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】22b c b c c b bc++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc +-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，1122a =bc sin A ，即a 2＝bc sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A A )，∴b c c b+＝2(cos A A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选：D ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式以及辅助角公式，需熟记公式，属于基础题. 12．A 【解析】【分析】根据ABC 和BCD 都是边长为2的正三角形，由三棱锥A BCD -的表面积4sin =∠S ABD ，当90ABD ∠=，即AB BD ⊥时，表面积最大，然后过A 作BC的垂线，垂足为E ，连接ED ，根据BD ⊥平面AED ，利用--=+B AED C AED V V V 求得三棱锥的体积，再由13V Sr =求解. 【详解】三棱锥A BCD -的表面积为S ，=+++ABC CD ABD ACD S S S S S △△B △△，11222222sin 60sin =⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯∠⨯B D A B ABD ，4sin =∠ABD ，当90ABD ∠=，即AB BD ⊥时，表面积最大为4+， 过A 作BC 的垂线，垂足为E ，连接ED ，三棱锥A BCD -的体积为V ，1233B AEDC AED V V V --=+==， 设内切球的半径为r ， 因为13V Sr =，所以r=故选：A 【点睛】本题主要考查三棱锥的表面积和体积的求法以及内切球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 13．2.91 【解析】 【分析】 根据二项分布()100,0.03X B ，由公式得到结果.【详解】解：由于是又放回的抽样，所以抽到二等品的件数符合二项分布，即()100,0.03XB ，由二项分布的方差公式可得()()11000.030.97 2.91D X np p =-=⨯⨯= 故答案为：2.91. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 14．2425-【解析】 【分析】根据题设条件和三角函数的基本关系式，求得π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,444α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为π3sin 0,452α⎛⎛⎫-=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以ππ0,44α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭可得π4cos 45α⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以πππ24cos 2sin 22sin cos 24425αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2425-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【解析】 【分析】根据已知条件设8,,,22p p M k N k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出直线OM 、ON 的方程从而求得点A 、B 的坐标，由A ，F ，B 三点共线知AF//BF ，由平行向量的坐标关系列方程即可求得p . 【详解】抛物线的()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，M ，N 两点的纵坐标之积为－8，则设8,,,22p p M k N k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则直线OM 的方程为2k y x p=-，直线ON 的方程为16y x kp =，因为直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，所以322,2p p A k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，322,1288p k kp B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A ，F ，B 三点共线，则AF//BF ，又323222(,),(,)2221288p p p p p k kp AF BF k k =-=--，所以232322()()()02128228p p p k p p kp k k ----=，化简得21681161022k p k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11602k k +≠，所以2108p -=，解得p =或-（舍去）.故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.16．ln 2-. 【解析】 【分析】令f （x ）＝x ﹣3lnx +1﹣mlnx ﹣n ，利用导数可得当x ＝m +3（m +3＞0）时，f （x ）有最小值，则f （m +3）＝m +3﹣3 ln （m +3）+1﹣mln （m +3）﹣n ≥0，即n ﹣3≤m +1﹣（m +3）ln （m +3），33n m -+≤11(3)3m n m m +-++，令g （x ）＝11(3)3x n x x +-++，利用导数求其最大值得答案． 【详解】解：令f （x ）＝x ﹣3lnx +1﹣mlnx ﹣n ， 则f ′（x ）＝1﹣3m x+（x ＞0）， 若m +3＜0，则f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，由当x →0时，f （x ）→﹣∞，不合题意； ∴m +3＞0，由f ′（x ）＝0，得x ＝m +3，当x ∈（0，m +3）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（m +3，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴当x ＝m +3时，f （x ）有最小值，则f （m +3）＝m +3﹣3ln （m +3）+1﹣mln （m +3）﹣n ≥0， 即n ﹣3≤m +1﹣（m +3）ln （m +3），33n m -+≤11(3)3m n m m +-++， 令g （x ）＝11(3)3x n x x +-++， 则g ′（x ）＝22211(3)3(3)x x x x ---=+++．当x ∈（﹣3，﹣1）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（﹣1，+∞）时，g ′（x ）＜0， ∴当x ＝﹣1时，g （x ）有最大值为﹣ln 2． 即33n m -+的最大值为﹣ln 2 ． 故答案为：ln 2-. 【点睛】本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．17．（1）n a n =，2nn b =；（2）21122322n n n S n --=-⋅++. 【解析】 【分析】（1）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，根据条件求出1d =，2q ，再代入通项公式即可；（2）利用等差数列和等比数列的前n 项和公式求和，即可得答案； 【详解】（1）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列， 由11a =，12b =，222b a =，3322b a =+， 可得()221q d =+，()222122q d =++，解得1d =，2q，则11n a n n =+-=，2nn b =，*N n ∈；（2）()()1212123222222n n n n S c c c a a a a a a a n =+++=+++⋯+-++⋯++()()21232222n n n =++++-++++()()()112112211122212222322221n n nn n n n n n n n -+---=+-+=+-++=-⋅++-. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算求解能力. 18．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】 【分析】(1)证明线线垂直转化为线面垂直,即证明AE PAD ⊥平面 即可；（2）因为AE ，AD ，AP 两两垂直，建立空间直角坐标系，设AP a =，利用平面PAD 的法向量，表示出EH 与平面PAD 所成角为θ，用a 表示出θ，根据夹角最大值为60°求解出a 的值, 然后求解出平面AEF 的法向量和平面ACF 的法向量，利用法向量的夹角求解出二面角E AF C --的余弦值. 【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD 又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥.（2）因为AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AP a =，则(0,0,)P a ，(3,0,0)E，C，(0,D，3,,222a F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设(1)(0,0,),)AHλλa a a λ=+-=-，(,)EH a a λ=--平面PAD 的法向量为()01,0,0n =，EH 与平面PAD 所成角为θ，sin θ==2=，解得2a =3,,122AF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(3,0,0)AE =.设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 则1100n AF n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3302230x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩故一个解为(10,2,n =. 同理平面ACF的法向量为2(1,n =∴12121221cos ,7n n n n n n⋅<>==⋅. 所以二面角E AF C --的余弦值为7. 【点睛】本题考查第一问考查了线线垂直的证明，可以转化为线面垂直即可证明，属于简单题目；第二问考查了空间向量在立体几何中的应用，主要是利用空间向量求解二面角的余弦值，解题时主要是利用线面角的最大值求解四棱锥的一条边长，其次是利用平面的法向量求解二面角的余弦值，运算难度大，需要有较强的计算能力.19．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】 （1）根据max 1122S cb =⋅=和离心率，可得a =1b =，即可得答案； （2）将直线l 的方程代入椭圆的方程，利用2OM ON ⋅=可求得0t =，从而证明直线过定点； 【详解】（1）设()00,T x y ，(c,0)F ，由2c a =，可得222a c =， 依题意max 1122S cb =⋅=，所以a =1b =， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得()222124220k x ktx t +++-=，>0∆，122412kt x x k +=-+，21222212t x x k -=+，直线AP ：1111y y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以()12121212122111x x x x y y y y y y --==---++化简得221121t t t -=-+，解得只有0t =满足题意， 所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点（0，0）. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率、直线过定点等知识，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用. 20．（1）11.4万.（2）（ⅰ）378P =，41316P =，12a =，18=b .（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减，证明见解析，用概率统计知识解释其实际意义见解析 【解析】 【分析】（1）由直方图求得x 的平均数，结合正态分布的概率计算，即可容易求得旅游费用支出不低于1820元的概率，再乘以500即可；（2）（ⅰ）根据题意，即可容易求得34,P P ，再列出,a b 方程，即可求得；（ⅱ）根据递推公式计算1n n P P +-，即可判断数列的单调性；再结合实际问题，进行解释. 【详解】 （1）直方图可得()0.012540.0580.1375120.375160.12520411.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∵11.8x μ==， 3.2σ=，218.2μσ+= ∴旅游费用支出不低于1820元的概率为 1(22)10.9544(2)0.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===，∴5000.022811.4⨯=，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元.（2）（ⅰ）317188P =-=， 4211311616P +=-=， 所以321043211,41,4P aP P bP P aP P bP ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩即71,841371,1684a b a b ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得1,21.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ⅱ）数列{}n P 从第三项起单调递减123111(3)248n n n n P P P P n ---=++≥，故1n n P P +-12123111111248248n n n n n n P P P P P P -----⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12311112488n n n n P P P P ---=---12312311111112248488n n n n n n P P P P P P ------⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭3116n P -=- 又0n P >，所以31016n P --<，即从第三项起数列{}n P 单调递减.由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ” 的可能性会越来越小. （即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件) 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图､平均数､正态分布､随机事件的概率､数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查分类与整合思想､统计思想､化归与转化思想.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求得函数的单调性，结合单调性，即可证明； （2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出()f x 在(0,)2π上有唯一的极小值点0x ，进而做出证明. 【详解】（1）由题意，当0a =时，()sin f x x =，当1x >1sin x >≥；当01x ≤<x ≥， 令()si ,(01)n g x x x x =-≤<，可得()1cos 0g x x '=-≥， 所以函数()g x 在[0,1)上单调递增，所以()()00g x g ≥=， 即(sin 0),1x x x ≥≤<(sin 0),1x x ≥≤<，sin 0x ≥，即()0f x ≥成立.（2）由函数()sin ()f x x a R =∈，则()cos f x x '=，令()cos g x x =-，则321()sin 4()g x x x a '=-+-， 因为14a <-，所以()g x '是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又321(0)04()g a '=-<-，32π1102π42g a ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故存在唯一实数0π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=， 当()00,x t ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当0π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 递增，因为(0)10g =<，π02g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故存在唯一实数0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00cos 0g x x =-=. 当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，()f x 递减； 当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，()f x 递增. ∴()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点0x ，且极小值为()00sin f x x =.又由()00cos 0g x x =-=，012cos x =，∴()0001sin 2cos f x x x =-， 又()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->.以下只需证明00112cos π2x x >-，0002cos π2x x <<-.∵0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0000ππ2cos 2sin 2π222x x x x ⎛⎫⎛⎫=-<-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 则()()0000000111sin 2cos 2cos π2f x x x x x x x +=+->>-，()0001π2f x x x >--. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及利用导致证明不等式问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），合理转化是解答的关键，注重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于难题. 22．（Ⅰ）5x =；（Ⅱ）5. 【解析】 【分析】（Ⅰ）首先依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解. 【详解】（Ⅰ）设P 的极坐标为(),(0)ρθρ>，M 的极坐标为()11,(0)ρθρ>，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以4cos 20ρθ=， 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =.（Ⅱ）交点()5,0D ，所以直线l的参数方程为5,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的直角坐标方程()22400x y x x +-=≠，代入得：250t -+=，70∆=>， 设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以125DA DB t t ⋅==. 【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）要证1113ab bc ca++即证3a b c abc ++≥即1abc ≤，由333a b c abc =++即可得证．（2）要证2222223a b b c c a abc ++，可证()()()222222222222+++6a b b c b c c a c a a b abc ++，因为222222a b b c ab c +，222222b c c a abc +，222222c a a b a bc +即()()()2222222222222222+++++22=2()a bb c b c c a c a a b ab c abc a bc abc a b c ++++，将3a b c ++=带入即得证．【详解】证明：（1）因为333a b c abc =++（当且仅当1a b c ===时取等号），所以01abc <． 又由1113a b c ab bc ca abc abc ++++==，因为01abc <，所以33abc．故有1113ab bc ca++． （2）因为2222242222a b b c a b c ab c +=（当且仅当a c =时取“=”）， 2222224222b c c a a b c abc +=（当且仅当b a =时取“=”）， 2222422222c a a b a b c a bc +=（当且仅当c b =时取“=”）， 三式相加可得2222222()2()a b b c c a abc a b c ++++（当且仅当a b c ==时，“=”成立）． 又由3a b c ++=，得2222223a b b c c a abc ++． 故有2222223a b b c c a abc ++． 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，需要注意的是“一正、二定、三相等”缺一不可，本类题型难点在于如何配凑使用基本不等式得到目标式子．属于中档题．。