福建省南安一中2013-2014学年高二数学上学期期中试卷 理 新人教A版

南安一中2013～2014上学期高二年期中考数学（理）试卷本试卷考试内容为：人教版选修2—1，分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1．命题:p 32,x N x x ∀∈>的否定形式p ⌝为（ ）A.32,x N x x ∀∈≤B.32,x N x x ∃∈>C.32,x N x x ∃∈<D. 32,x N x x ∃∈≤2．过椭圆1422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A. 2B. 4C. 8 D ．10 3．若a ∈R ，则“a ＝2-”是“2a ＝4”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．已知空间向量＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且∥，则x 的值为（ ）A ．10B ．12 C. －10 D ．－125．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A ．(1，－1, 1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－326．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B. (x －3)2＋y 2＝1C. (2x －3)2＋4y 2＝1D. (x ＋32)2＋y 2＝127． 下列说法正确的是（ ）A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件C ．若1,m <则方程220x x m -+=无实数根D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题8．已知抛物线x y 82=的准线与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于A,B 两点，双曲线的一条渐近线方程是x y 22=，点F 是抛物线的焦点，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是（ ）A ．121622=-y xB ．1822=-y xC ．116222=-y xD ．1822=-y x9．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB ·AC ＝0， AD ·AC ＝0，AD ·AB ＝0，则△BCD 的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定10．如图，12,F F 是双曲线C ：22221x y a b-=，（a>0,b>0）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 11． )2,0,0(),3,0,2(),3,1,2(==-=，则=+)(a ____________．12．已知双曲线22221x y a b -=的一个焦点为)0,10(，且双曲线的渐近线方程为03-03==+y x y x 和，则该双曲线的方程为____________．13．已知“3x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则p 的取值范围是____________．14．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为____________ ．15．如图，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在平面 α、β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BD ＝AB ＝1， 则CD 的长度为____________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分13分) 已知抛物线E 的顶点在原点，焦点为双曲线14222=-y x 的右焦点， (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)已知过抛物线E 的焦点的直线交抛物线于A,B 两点，且|AB|长为12，求直线AB 的方程.17．(本小题满分13分) 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2a x 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分13分) 如图所示，A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A1B 1和A 1C 1的中点， BC ＝CA ＝CC 1=2，(Ⅰ) 求BD 1与AF 1所成角的余弦值；(Ⅱ) 求直线1AF 和平面ABC 所成的角的正弦值.19．(本小题满分13分) 已知命题p ：曲线方程15222=-+-ky k x 表示焦点在y 轴的双曲线； 命题q ：,3,,,1,,）（）（已知+=-=k x x k x 对任意,R x ∈0>⋅恒成立． (Ⅰ) 写出命题q 的否定形式q ⌝；(Ⅱ) 求证：命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件.20.(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC ，PC =(Ⅰ)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)已知棱PA 上有一点E ．（ⅰ）若二面角E BD A --的大小为45，求AE :EP 的值； （ⅱ）若Q 为四棱锥P ABCD -内部或表面上的一动点，且EQ //平面PDC ，请你判断满足条件的所有的Q 点组成的几何图形(或几何体)是怎样的几何图形(或几何体).（只需写出结果即可，不必证明）21．(本小题满分14分)我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ，A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过2F 的一条直线l ，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，使得1FMH ∆与1F NG ∆的面积比为6:5？若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由．南安一中2013～2014上学期高二年期中考数学（理）参考答案一、选择题： 1—5：DCABB 6—10：CDCCA 二、填空题11． 19 12． 2219x y -= 13． 3≥p 14．22 15．2-3．三、解答题16．解：(Ⅰ) 双曲线焦点为（23，0），设E ：px y 22=，则3232==p p 得， x y 62=∴抛物线方程为…………………………4分(Ⅱ)当过焦点的直线斜率不存在时，弦长为6，不合题意；设过焦点的直线为)23(-=x k y 代入xy 62=得方程049)63(2222=++-k x k x k ……6分∴由韦达定理得222163kk x x +=+，…………………8分 再由抛物线定义知|AB|=21x x ++p=2263k k ++3=12…………………………10分解得1±=k ,…………………………12分∴所求直线方程为03220322=-+=--y x y x 或.…………………………13分17．解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．…………………………3分若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2]，∴a ≤1. …………………………7分 若q 为真命题，即x 2＋2a x ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2，…………………………11分综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1. ……………………13分18．解：(Ⅰ)如图所示，以1,,CC 分别为z y x ,,轴的非负半轴建立空间直角坐标系，…………………………1分由BC ＝CA ＝CC 1＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)．∵D 1、F 1为A 1B 1、A 1C 1的中点， ∴D 1(1,1,2)，F 1(1,0,2)，………3分 ∴1BD ＝(1，－1,2)， 1AF ＝(－1,0,2)， ∴1BD ·1AF ＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3， |1BD |＝1＋1＋22＝6，|1AF |＝1＋22＝5， ∴|cos 〈1BD ，1AF 〉|＝36×5＝33030＝3010，即BD 1与AF 1所成角的余弦值………7分(Ⅱ) 1AF ＝(－1,0,2), 平面ABC 的一个法向量为k （0，0，1），………10分则552152=⨯=即所求直线1AF 和平面ABC 所成的角的正弦值. ……13分19．解：(Ⅰ) :q ⌝,2,,,1,,）（）（已知+=-=k x x k x 对∃,0R x ∈使得0≤⋅．……3分(Ⅱ)由命题p 成立得52<<k ，………6分命题q 成立时，对任意,R x ∈032>++-=⋅k kx x 恒成立，即01242<--=∆k k 解得62<<-k ，………10分又 ()()()()5,26,2,6,25,2⊄--⊆∴命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件. ………13分20.解：(Ⅰ)取AB 中点H ，连接PH ，PAB 是正三角形，H 为AB 中点，2AB =，∴PH AB ⊥，且PH =2分ABCD 是矩形，2AB =，BC ，∴CH ==．又PC ∴222PC PH CH =+，∴PH CH ⊥．AB CH H ⋂=，∴PH ⊥平面ABCD ．PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………4分(Ⅱ) （ⅰ）以H 为原点建立如图所示的空间坐标系H xyz -，设()01AE AP λλ=<<，则()20BE BA AE ,λ=+=-，()20BD =．…………………………5分设平面EBD 的法向量为()x,y,z =n ，由00BD ,BE ,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n解得()2,λ=-n ，即平面EBD的一个法向量为()2,λ=-n ．………………………………………7分又平面ABD的一个法向量为(00HP ,=， 二面角E BD A --的大小为45，∴453HP cos cos ,HP HP⋅=<>===⋅n n nCA又01λ<<，解得12λ=，所以1AE :EP =，即E 是PA 的中点．………10分 （ⅱ）所有的Q 点组成的几何图形是等腰梯形及其内部．……………………………14分 （注：考生不必作答）理由如下：因为点Q 在运动时，恒有EQ //平面PDC ，所以Q 在任意两个不同的点12Q ,Q 时，1EQ //平面PDC ，2EQ //平面PDC ，12EQ EQ E ⋂=，当12E,Q ,Q 三点不共线, 12E,Q ,Q 确定平面α， 所以平面//α平面PDC ，且所有的点均在平面α内，因为平面//α平面PDC ，平面α⋂平面PDA ME =，平面PAD ⋂平面PCD PD =， 所以ME //PD ，故M 为AD 中点，同理，MN //CD ，N 为BC 中点；FN //PC ，F 为PB 中点， 所以EF //AB ，12EF AB =， 而AB //CD ，AB CD =，所以EF //CD ，EM 与FN 不平行，且EM FN =， 故所求图形为等腰梯形EFNM 及其内部．21．解：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=， 故椭圆为22198x y +=．………4分 （Ⅱ） 设直线l 为1(0)x my m =+≠， (,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，………………………………6分则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩① ……………………………………… 8分联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y my y +=⎧⎨=-⎩ ② 10分1FMH ∆与1F NG ∆的面积比11F MH M HF NGN GS MH y y S NG y y ∆∆-===-整理得112212618958F MH F NGS m S m ∆∆==⇒=+ ……………………………………………… 12分若m 由②知N G 、坐标为1(,2、，其中232=>A x ，故N 不在“盾圆C ”上；同理4m =-l 不存在．…………………14分。