函数的连续性、导数及极值

尤伯铭 2016．5
5
不存在。因此，函数
1
y = ������(������) = |������|在 x0=0 处导数不存在，称作函数 y = ������(������) = |������|在 x0=0 处不可导。 ������(������) = |������|的导函数：
−1
������ < 0
������′(������) = {不存在 ������ = 0 ，
是函数 f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
求极值，通常采用求导数的办法：
（1）、求导数������ ′ (������)；
（2）、求方程������′(������)=0 的根，即求出临界点（也称为驻点、稳定点）；
（3）、检查������′(������)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得
条件，但不是充分条件。
函数在某点的导数值，在函数的图像中，代表函数曲线在该点切线的斜率。今函数
y = ������(������) = |������|： 在 x→0+处
在 x→0-处
∆������
lim
∆������→0+
∆������
=
1
=
arctan
45
°
−∆������
lim
∆������→0−
极大值；如果左负右正那么 f(x)在这个根处取得极小值。
对于������(������) = |������|的函数，因������′(0) 不存在，所以不能求出自变量数值为零的临界值。
事实上，函数������(������) = |������|在 x=0 处是连续的，从图像可看到，函数������(������) = |������|的极小值就
使得对任意的 ������ ∈ ������，恒有������(������) ≥ ������(������0) (������(������) ≤ ������(������0))成立，则称 ������(������0)为函数的最小（大） 值。
由定义可知，最值反映的是函数在整个定义域内的性质，是函数在某个区间上的最大值 或最小值，而极值反映的是函数在某一点附近的局部性质。从下例可看到，函数的极大值有 可能是最大值 ，也可能不是；函数的极小值有可能是最小值 ，也可能不是。在确定是否是 最值时，还要考虑到区间端点的函数值。若函数 ������(������) 在[������, ������] 上连续，则其最值点只能在 极值点或端点处找到。
������2
������ ≠ 0
y
0
x
-1 ●
x=0 是函数 f(x)的无穷间断点，但它也是函数 f(x)的极小值临界点。
2 （4）������(x) = { sin 1
������
������ = 0 ������ ≠ 0
4
y
2●
x
x=0 是函数 f(x)的振荡间断点，但它也是函数 f(x)的极大值临界点。 2、最值 最值包括最大值和最小值。其定义为：函数 y=f (x)，假定定义域为 A，若存在 ������0 ∈ ������，
|������=������0
。
今函数 y = ������(������) = |������|在 x0=0 处：
左极限
∆������
|∆������|
∆������
lim
∆������→0+
∆������
=
lim
∆������→0+
∆������
=
lim
∆������→0+
∆������
=
+1
而
是 f (0) = 0。因此，不可导点处(导数不存在)，也可以取得极值。
当函数在区域 D 内的某些孤立点(x1, y1)不可导时，这种点有可能是函数的极值点。向 上尖或向下尖的函数图像的尖点的纵坐标值，便是函数的极大值或极小值。如下例所示：
y M
y
●
a
0 c
0x
x
-a
M●
-c
上面，讨论了连续函数有可能存在极值的问题。再从下面的一些例子，可以看到间断函
3
数也可能存在极值。因此可以得出结论：一切函数都可能存在极值。也就是说，在有极值的 情况下，函数在此的导数可能等于零，也可能在此函数虽连续而导数不存在，甚至在此函数 是间断的。
间断函数有极值的例子：
（1）
������(������) = {−1|������|
������ = 0 ������ ≠ 0
（3） lim������→������0 ������(������) = ������(������0)。 今函数������(������) = |������|在 x0=0 处有：
（1） f(0)=0，
（2） lim������→0−|������| = lim������→0−(−������) = 0 ，lim������→0+|������| = lim������→0+(������) = 0 ， （3） lim������→0−|������| = lim������→0+|������| = 0 = ������(0) = 0 。 所以，������(������) = |������|在点 x=0 处连续。 二、导数
∆������
= −1 = arctan −45°
左右两切线之间的夹角为：
∆φ = ������0+ − ������0− = 45° − (−45°) = 90° ， 也就是说，函数 y = ������(������) = |������| 的图像在 x=0 处形成了一个 90゜的尖角。点（0，0）就是
函数的连续性、导数及极值
——从函数������(������) = |������|的讨论说起
一、连续性 1、 ������(������) = |������| 的解析式和图像
−������ ������ = ������(������) = {
������
������ < 0 ，
������ ≥ 0
������=0
，b 为正奇数，使得：
������������ > 1 + 3 ������
。
2
三、极值与最值
1、极值
函数的极值有极大值与极小值两种。
设函数 f（x）在 x。附近有定义，如果对 x。附近的所有的点，都有 f（x）<f（x。），则
f（x。）是函数 f（x）的一个极大值；如果附近的所有的点，都有 f（x）>f（x。），则 f（x。）
1
������ > 0
y´
1
0
x
-1 函数f ´(x)的图像
由此可知，函数������(������)虽在 x0=0 处连续，但其导函数������′(������)在 x0=0 处不连续。 由上可知，原函数虽然在某点 x0 处连续，但在该点不一定可导。但只有连续函数才可 能具有导数，在间断点一定没有导数。所以说，函数在某点连续，是函数在该点可导的必要
������ = ������(������)在点������0处的导数为：
lim
∆������→0
∆������ ∆������
=
lim
∆������→0
������(������0
+
∆������) ∆������
−
������(������0)
，
记作
������′(������0)
或
�������Biblioteka ���� ������������
右极限
∆������
|∆������|
−∆������
lim
∆������→0−
∆������
=
lim
∆������→0−
∆������
= lim
∆������→0−
∆������
= −1
比值 ∆������
∆������
的左右极限不相等，所以在������0
=0
处，极限lim∆������→0
∆������ ∆������
尖点，图像在这里弯折了一下。
有的连续函数可能在多个点不可导，即可能有多个尖点。例如，下面的三角波形连续函
数在 ������ = −1，0，1 处不可导，其中 A，B，C 三点即为尖点：
y
A1 C
●
●
-2 -1 B●0 1 2 x
这个函数的导函数的解析式为：
+1
������′
=
{
−1 +1
−1
− 2 < ������ < −1
− 1 < ������ < 0 0 < ������ < 1
1 < ������ < 2
2
图像为：
y´ 1
-2 -1
1 2x -1
也存在处处连续但处处不可导的函数，最典型的例子便是维尔斯特拉斯函数 （Weierstrass function）：
其中
0 < ������ < 1
∞
������(������) = ∑ ������������������������������(������������������������)
y
1
●
0
x
x=0 是函数 f(x)的可去间断点，但它也是函数 f(x)的极大值临界点。
(2)
������(������) =
{
1 −������
������ > 0 ������ ≤ 0