二次根式化简求值的常用技巧
二次根式化简的几种方法
二次根式化简的几种方法
一次根式是指根号内没有根号的根式，而二次根式是指根号内还存在根号的根式。
简化二次根式的方法有以下几种：
1.提取公因式法：
如果根号内含有相同因式的项，可以提取其最大公因式。
例如：
√48=√(16*3)=4√3
2.合并同类项法：
如果根号内含有相同根次和相同指数的项，可以合并它们。
例如：√32+√8=4√2+2√2=6√2
3.恒等变形法：
利用一些基本的恒等变形公式来对二次根式进行化简。
如下所示：-分解法则：将被开方数分解成两个因子的乘积，其中一个因子为较大平方数，另一个因子仍为二次根式。
例如：√72=√(36*2)=6√2 -指数与根号交换法则：改变次序或分配根号。
例如：
√(a*b)=√a*√b。
-平方根的分解法则：将平方数分解成每一项的平方根相加或相减。
例如：√18=√(9*2)=√9*√2=3√2
-有理化分母：用分母的共轭复数去除根号内的分母。
例如：
1/√3=(1/√3)*(√3/√3)=√3/3
4.化简四则运算法：
利用加减乘除的性质对二次根式进行化简。
例如：(√5+√7)*(√5-√7)=5-7=-2
5.倍角公式和平方差公式：
对二次根式的平方进行化简时，可以利用倍角公式和平方差公式。
例如：
-(√2+√3)^2=2+2√6+3=5+2√6
-(√5-√3)^2=5-2√15+3=8-2√15
这些是常见的二次根式化简方法，根据具体情况选择合适的方法进行化简，可以使计算过程更加简洁和高效。
同时，通过反复练习和深入理解这些方法，可以提高对二次根式的处理能力。
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们常被用于解决各种数学问题。
在本文中，我们将讨论如何化简和计算二次根式。
一、二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式，即约分到根号下的数不能再存在平方因子。
下面是几种常见的二次根式化简方法：1. 取出公因数法当二次根式的根号下部分含有多个因子时，我们可以尝试通过取出公因数的方式进行化简。
例如，对于√18，我们可以将其分解为√(9*2)，进一步化简为3√2。
2. 平方因式分解法当二次根式的根号下部分可以进行平方因式分解时，我们可以利用这个特性进行化简。
例如，对于√75，我们可以将其分解为√(25*3)，进一步化简为5√3。
3. 有理化分母法当二次根式的根号下部分含有分母时，我们可以通过有理化分母的方式进行化简。
具体来说，我们需要将根号下的分母用有理数表示，并将分子乘以相应的因子，以消除根号下的分母。
例如，对于(2/√3)，我们可以用有理数的形式表示为(2*√3/3)，从而实现了化简。
二、二次根式的计算计算二次根式主要指的是进行加减乘除等数学运算。
下面是几种常见的二次根式计算方法：1. 加减运算进行二次根式的加减运算时，我们需要首先化简每个二次根式，然后按照相同根号下的内容进行合并，并化简结果。
例如，计算√3 + 2√3，我们首先化简两个根号下的3，然后合并系数得到3√3。
2. 乘法运算进行二次根式的乘法运算时，我们需要将每个二次根式展开，并按照指数规则进行计算。
具体来说，对于√a * √b，我们可以将其化简为√(a*b)。
例如，计算√2 * √3，我们可以化简为√6。
3. 除法运算进行二次根式的除法运算时，我们需要利用有理化分母的方法，将除数有理化，并利用分数的除法规则进行计算。
例如，计算(2√3) / √2，我们可以有理化分母，化简为(2√3 * √2) / (√2 * √2)，进一步计算得到(2√6) / 2，最终化简为√6。
综上所述，二次根式的化简与计算是解决数学问题中常见的基本技巧。
二次根式的运算及化简求值技巧
二次根式的运算及化简求值技巧哎呀，说起数学，那可真是让人又爱又恨的一门学科。
咱们得承认，它有时候挺绕人的，特别是那些复杂的二次根式问题，简直能让人头疼到怀疑人生！不过别担心，今天我就给大家来点干货，教大家如何轻松搞定这些让人头疼的二次根式问题。
咱们得明白，二次根式就像是数学界的“小怪兽”，你得学会怎么驯服它们，而不是被它们吓得屁滚尿流。
比如，当遇到这样的式子：√(4+3)=√7时，咱们可以先把它看作是两个数的和，也就是4和3。
咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示4，再画一个圈表示3。
然后，咱们用这根火柴棍去画一个箭头，把4和3连起来，这样就相当于找到了√7这个数。
接下来，咱们再来说说二次根式的化简。
化简其实就是让那些看起来复杂难懂的式子变得简单易懂。
比如说，有一个式子是√25，咱们可以想象成两个数的乘积，也就是5乘以2。
咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示5，再画一个圆表示2。
然后用这根火柴棍去画一个箭头，把5和2连起来，这样就等于简化成了√25。
当然了，化简还有更高级的技巧呢。
比如，咱们可以用配方法来化简二次根式。
比如，有一个式子是√9+1，咱们可以先把它看作是两个数的和，也就是3和2。
咱们可以用一根火柴棍在地上画个叉，表示3，再画一个圆表示2。
然后用这根火柴棍去画一个箭头，把3和2连起来，这样就等于简化成了√9+1。
咱们再来说说化简后的结果怎么求值。
化简后的结果就是你要求解的那个数了。
比如，咱们刚才化简的是√9+1，那么结果就是√9+1。
你只需要把这个结果代入原来的式子中，就可以计算出你想要的答案了。
二次根式的运算和化简求值技巧可是相当重要的哦。
掌握了这些技巧，你就能轻松应对各种复杂的二次根式问题啦！所以啊，赶紧拿出你的数学小本本，好好学一学这些实用的知识吧！。
二次根式化简的常用技巧
二次根式化简的常用技巧,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：一、巧用乘法公式例1、化简：)303223)(532(-+++二、巧因式分解例2、化简 2356101528-+--+解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.三、巧用逆运算例3、化简20092008)322()322(-+ 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：n n n ab b a )(=四、巧拆项、裂项例4、化简42356305627+++++解析：本题的关键是将分子中的62拆成66+，分母因式分解，进而裂项化简 五、巧换元例5、化简 1111-++--+x x x x +1111--+-++x x x x解析：注意到11-++x x 与11--+x x 的和为12+x ，积为2因此若设11-++x x =A ， 11--+x x =B则 A +B =21+x ，2)1()1(=--+=x x AB所以，原式=A B +B A =AB B A 22+=()AB AB B A 22-+ =()222122⨯-+x =x 2 六、巧构方程例6、化简 333解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x = 333两边平方，得 x x 32= 即 0)3(=-x x解得 0,321==x x （不合舍去） 所以 333= 3七、巧取倒数例7、化简 132533515-++--八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。
例11 （十二届初二“希望杯”）化简.______3426302352的结果是+--+.126621ac21)a c b (ac 2c b a )c a ac abc (2cb a ,3c ,5b ,2a ：22===+--+=+--+====原式则设解九、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+=解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。
化简二次根式的技巧
化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.解：原式==二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方.例2. 分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成12，然后再利用二次根式的性质进行化简.解：原式2===. 三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.根式的性质进行化简.解：原式2===. 四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例4.. 分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得11322+，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.解：原式==五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成2()m a 或2()m a ·b 的形式），然后再开方.例5.分析：由于3527x y 是一个单项式，因此应先将3527x y 分解为22223()3x y y ⨯⨯⨯的形式，然后再进行开方运算.解：原式3xy =六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例6.分析：由于5243412x y x y +是一个多项式，因此应先将5243412x y x y +分解因式后再开方，切莫直接各自开方得2222x x解：原式22x =七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例7.分析：由于2512z x y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将2512z x y 的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简.解：原式==八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例8.. 分析：由于被开方数是2211a b +，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简.解：原式==. 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.。
初中数学：双重二次根式化简求值,如何配方,很多人都不会!
初中数学：双重二次根式化简求值，如何配方，很多人都不会！标题：初中数学：双重二次根式化简求值，如何配方，很多人都不会！数学在初中学习中起到至关重要的作用，特别是双重二次根式的化简求值，对未来的学习有着很大的帮助。
想必很多人对这一题目都很疑惑，如何才能正确的进行求解呢？下面就来让我们一起来学习一下双重二次根式化简求值的具体步骤。
首先，双重二次根式是指将一个复杂的根式分解为两个简单的二次根式。
具体来说，双重二次根式可以写成：a^2 + b*c + c^2 = 0。
其中a, b, c常数，其值可以任意变化。
那么，双重二次根式求值的步骤有哪些呢？1.先，需要把双重二次根式分解为两个简单的二次根式，即：ax^2 + bx + c = 0，其中a, b, c 为常数，a 0。
2.后，计算出两个二次根式的根的值。
首先，先求出两个二次根式的判别式D，即：D = b^2 - 4ac。
若D > 0,两个二次根式根的值分别为：x_1 = (-b +sqrt(D))/2a x_2 = (-b - sqrt(D))/2a ;D = 0，则根的值 x_1 = x_2 = -b/2a；若D < 0，则两个二次根式无解。
3.后，根据两个二次根式的根的值，将双重二次根式化简求值。
以上就是双重二次根式化简求值的具体操作步骤。
其实，它们只是数学基础知识的一部分，在实际的应用中，有时候会遇到更复杂的双重二次根式，这时就要用到积分、极限、级数以及几何等等概念来求解。
上述只是双重二次根式求值的基本步骤，但在实际学习中，还要掌握一些实用的技巧，以便更加轻松的掌握双重二次根式求值的操作。
比如，要想更好的掌握双重二次根式化简求值，我们可以查阅一些书籍，看看在解决具体双重二次根式求值时，专家们是如何思考和操作的；另外，可以利用一些软件程序，让计算机代劳，加快双重二次根式求值的进程；最后，不妨让自己去模仿一些例题，总结出解题的步骤，有助于加深对双重二次根式的理解和掌握。
二次根式的化简求值(含答案)
第八讲 二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解 【例l 】已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用xx 1+的代数式表示．【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】 已知：aa x 1+= (0<a<1)，求代数式42422362222----+---+÷-+x x xx x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a1的制约．【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．(2003年北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．学历训练1．已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．2．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 3．已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题)4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为 ． (2003年黄石市中考题)5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．20027．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b8．设a a x -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a -1C ．aa 1+ D ．不能确定 9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+414122．11．已知31+=x ，那么2141212---++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3的值为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)A ．20022002B ．2001C ．1D ．016．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (2002年全国初中数学联赛题)17．当220021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()11(--⋅-b a ba ，将结果表示成不含b 的形式．21．已知a a x 21+=(a>0)，化简：2222-++--+x x x x ．22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)答案：。
化简二次根式的方法和技巧
化简二次根式的方法和技巧
以下是 9 条关于化简二次根式的方法和技巧：
1. 嘿，你知道吗，可以先看看被开方数里有没有能开出来的整数！比如说，像根号 48，不就可以写成根号 16 乘 3 嘛，这不就简单多啦！
2. 哇哦，完全平方数可是个宝呀！要是被开方数里能凑出完全平方数，那可太好啦！就像根号 12 可以变成根号 4 乘 3，等于 2 根号 3 呀。
3. 嘿呀，分母有理化可别忘！如果碰到分母有根式的，想办法给它弄干净呀！比如 2 除以根号 2，分子分母同乘根号 2，就变成 2 根号 2 除以 2，也就是根号 2 啦。
4. 你想想看呀，同类二次根式要合并呀！像 3 根号 5 加 4 根号 5，不就等
于 7 根号 5 吗，多简单！
5. 哎呀呀，根式里的小数也得处理呀！把小数变成分数再化简呀！就像根号，那就是根号 1/4，不就是 1/2 嘛。
6. 嘿！遇到那种超级复杂的式子，别慌呀，一步一步来！就像解难题一样，逐个击破嘛！
7. 哇，碰到带字母的根式也别怕呀！按照规则来，该怎么化就怎么化！比如根号 x 的平方，不就是 x 嘛。
8. 咦，要善于观察式子的特点呀！有时候一眼就能发现化简的方法呢！像根号 50 减根号 8，这不很明显可以化简嘛！
9. 哈哈，多练习才能更熟练呀！你不练怎么能掌握这些神奇的技巧呢？对吧！
总之，化简二次根式就得多尝试，多找感觉，你就能轻松搞定啦！。
(有理化)二次根式化简的基本方法
二次根式化简的基本方法 一、乘法公式法 例1 计算： 分析：因为2=，所以中可以提取公因式。 解：原式= =×× =19 二、因式分解法
例2 化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采
取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
解：原式= = =0. 三、整体代换法
例3 化简。 分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，
设=a，=b则a+b=2，ab=1.
解：原式= === =4x+2 四、巧构常值代入法
例4 已知，求的值。 分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。 解：显然x0，化为=3. 原式===2. 以上就是二次根式化简的一些方法，希望同学们在学习中活学活用，并能总结出更多更好的计算方法来 二次根式化简的基本方法 湖北省黄石市下陆中学 陈 勇 二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。 一、乘法公式法
例1 计算： 分析：因为2=，所以中可以提取公因式。 解：原式= =×× =19 二、因式分解法
例2 化简：。 分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采
取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
解：原式= = =0. 三、整体代换法 例3 化简。 分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。不妨另辟蹊径，
设=a，=b则a+b=2，ab=1.
解：原式= === =4x+2 四、巧构常值代入法
例4 已知，求的值。 分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。 解：显然x0，化为=3. 原式===2. 以上就是二次根式化简的一些方法，希望同学们在学习中活学活用，并能总结出更多更好的计算方法来
初二数学下册：二次根式化简的4个方法
初二数学下册：二次根式化简的4个方法二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．1乘法公式法例1计算：分析：因为2=，所以中可以提取公因式。
解：原式==××=192因式分解法例2化简：。
分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。
但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
解：原式===0.3整体代换法例3化简。
分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。
不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1.解：原式=====4x+24巧构常值代入法例4已知，求的值。
分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。
解：显然x0，化为=3.原式===2.end。
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二次根式化简求值的常用技巧
陈开金
二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.
一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例1 化简10
1514215
7--+-
2
32
31)
57)(23(5
7)
23(5)23(75
7：-=+=-+-=
+-+-=
原式解
二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.
例2 2004
2003200320041
32231221++
++++ 化简 解:因为1n n n )1（n 1
+++
,
1
n 1n 1)1n (n n 1n )n 1n ()1n (n 1
+-
=
+-+=+++=
.1002
501
12004
11）
2004
12003
1（
）3
12
1（
）2
11（-
=-
=-
++-
+-= 所以原式
三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决. 例3 .1
2232236+++++化简
.2
1
31
31,1312231
21231x 1,
x )
12()23()
12)(23(:+=
-=
-=-+-=+++==+++++=
所以原式则设原式解
四、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得
.
，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，
，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+= 例4 化简.5614- 解：原式=55329+⨯⨯- .53)53(2-=-=
例5 化简)(212172232等于-+-
（A ）245- (B)124-
（C ）5
（D ）1
.
1223222)223()12(28223291122222
12172232:22=-+-=-+-=⨯⨯⨯-++⨯⨯-=-+-解
五、公式法：对于
,2
k
a 2k a
b a ,k b a ,0k ＞,0b ＞,0a ＞,b a 22-±+=
±=-±则使得且存在若这可以利用算术平方根的定义进行证明。
例6 化简.537+ 解：原式=,457+ ,2445722==-由于
所以a=7,k=2, .2
10
2232
2
72
2
745
7+=
-++=+=所以原式 六、平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。
1
103
103107
+-+
+化简
例
解:设原式=x,则,21
102102x 2=++=
所以原式=.2
七、方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x 的方程求解.
例8 化简求值 +++666
解:设原式=x,则x=,x 6+两边平方得,06x x 2=-- 即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.
++
+
+
221221
22129化简例
解:设原式=x,,m 2x =+
.01m 22m ,
m 1
22m 2=--+=所以则
.
3,32m .
322
12
22m =+=±=±=
原式取正值用求根公式得 八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形
式转化为简单形式，以便于发现解题规律。
例10 （第十届初二“希望杯”）已知a 、b 、c 都为正数，且
,ac 1
bc 1ab 1y ,c 1b 1a 1x ,b a ++=++=≠则x 与y 的大小关系为（ ）
（A ）x ＞y
（B ）x ＜y
（C ）x=y
（D ）随a 、b 、c 的取值变化而定 []
（A）。
,mk nk ＞mn k n m .
0mk ＞nk mn k n m ,k n m ,c b a ,)k m ()k n ()n m (2
1
mk nk mn k n m .
mk nk mn y ,k n m x ,c
1
k ,b 1n ,a 1m ：222222222222222答案为故所以从而又因为因为则设解++++---++≠≠≠≠-+-+-=---++++=++====
例11 （十二届初二“希望杯”）化简.______3
426302352的结果是+--+
.12
66
21ac 21)a c b (ac 2c b a )
c a ac abc (2c b a ,3c ,5b ,2a ：22==
=+--+=+--+=
===原式则设解。