第12章量子力学基础

思考题：波长为0.05nm的X射线与自由电子碰撞， 在与入射线60°方向观察散射的X射线，求（1） 散射X射线的波长；（2）反冲电子的动能。
解： （1） 由康普顿效应公式得
2cs2 i2 n 2 0 .00 s 22 i3 4 n 0 3 0 .00n1m 2
故散射X射线的波长为
0 0 .0 5 0 .00 0 1 .02 5n 2 1m 2
0.750
... .. ..............................................................................
0.700
应 (d)
普 顿 (c) 度
康强
对 (b)
石 (a) 墨相
效
的
经典电磁理论在解释康普顿 效应时遇到的困难
根据经典电磁波理论，当电磁波通过散 射物质时，物质中带电粒子将作受迫振 动，其频率等于入射光频率，所以它所 发射的散射光频率应等于入射光频率。
维恩(Wien)经验公式
M (T)c1 e 5 c2T
瑞利(Rayleigh)--金斯(Jeans)经验公式
M(T)c34T
M (T )
实验值
λ
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m
M (T )
实验值
维恩
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mλ
M (T )
实验值
紫 外 灾
难
瑞利--金斯
2. 无法解释红限的存在。
3. 无法解释光电效应的产生几乎无须 时间的积累。
二、光量子（光子） 爱因斯坦方程
爱因斯坦光子假说：一束光是以光速 C 运动的粒
子（称为光子）流，光子的能量为： h
金属中的自由电子吸收一个光子能量 h
以后，一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸 出功W ，一部分转化为光电子的动能，即：
红限频率：
0
W h
三、光的波粒二象性
光子能量: h
光子质量: 因为：
h m c2 c2
m m0
1
c2
2
由于光子速度恒为c，所以光子的“静止质量”为
零. 光子的动量：
pmc h
h
c
h
p h
m
h c2
光子的能量质量 m，动量 p是表示粒子特性的 物理量，而波长 ，频率则是表示波动性的物理量，
光谱公式
~1R(212
1 n2
)
n3,4,5,6,
R=4/B 里德伯常数 1.0967758×107m-1
赖曼系 帕邢系 布喇开系 普芳德系
~
1 R( 12
1 n2
)
~
R(
1 32
1 n2
)
~
R(
1 42
1 n2
)
~
R(
1 52
1 n2
)
n2,3,4,在紫外区 n4,5,6在近红外区 n5,6,7在红外区 n6,7,8,在红外区
作用量子 将在物理中发挥出巨大作用”。
事实上正是这一理论导致了量子力学的诞生，普朗克也成为 了量子力学的开山鼻祖，1918年因此而获得诺贝尔奖。
振子在辐射或吸收能量 时，从一个状态跃迁 到另一个状态。
在能量子假说基础上，普朗克得到了黑体辐射公式：
M(T)2hc25
1
hc
ekT1
c ——光速 k ——玻尔兹曼恒量 e ——自然对数的底
(b)
康强 普 顿 (c) 度 效 应 (d)
... .. ..........
φ=0 O
o
0.700 0.750 波长 （A）
石 (a) 墨相 的对
(b)
康强 普 顿 (c) 度 效 应 (d)
..... . .....
................
..
...
φ=0 O φ=45 O
0.700 0.750 波长 （A）
h 1m2 W
2 ——爱因斯坦光电效应方程
爱因斯坦对光电效应的解释： h 1m2 W
2
1. 光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以 光电流也大。
2. 电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出， 所以无须时间的累积。
3. 从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率 成线性关系。
4. 从光电效应方程中，当初动能为零时，可得到
φ=0 O φ=45 O φ=90 O
0.700 0.750 波长 （A）
... .. .................................................
石 (a) 墨相 的对
(b)
康强 普 顿 (c) 度 效 应 (d)
φ=135 O
o
波长λ（A）
φ=90 O
φ=0 O φ=45 O
o
1
2
3
45
6
7
89
λ m
M (T )
实验值
紫 外 灾
难
维恩
瑞利--金斯
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m λ
2.普朗克量子假说
能量子假说 (1)组成黑体壁的分子、原子可看作是 带电的线性谐振子，可以吸收和辐射电磁波。
(2)这些谐振子只能处于某种特殊的能量状态，它的能
量取值只能为某一最小能量 （称为能量子）的整数
c
n0
X
能量守恒:
m2 ch(0)m 0 c2
动量守恒:
h0hcosm cos
cc
0hsin msin
c
由能量守恒: m2 ch(0)m 0 c2
由动量守恒:
h0hcosm cos
cc
0hsin msin
c
最后得到：
0
2h s m0c
in2
2
康普顿散射 公式
此式说明：波长改变与散射物质无关，仅决定 于散射角；波长改变随散射角增大而增加。
这一公式称为普朗克公式,它和实验符合得很好。
M (T )
实验值
普朗克
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m λ
1918诺贝尔物理学奖
M.V.普朗克 研究辐射的量子 理论，发现基本 量子，提出能量 量子化的假设
12-2 光电效应 光的波粒二象性
一、光电效应的实验规律
光电效应 光照射到金属表面时， 有电子从金属表面逸出的现象。
0m 2h 0csi2n 22cs
i2n
2
c
h m 0c
电子的康普顿波长
其值为 c 0.0243Å
我国物理学家吴有训 在与康普顿共同研究 中还发现：
随着原子序数的增加， 波长不变的散射强度增 加，而波长改变的散射 强度减少．这是因为当 原子序数增加时，内层 电子数相对增加，而外 层电子数相对减少
（2） 由能量守恒，反冲电子的动能为
Ek
hchc58(e2v)
0
12-4 氢原子的玻尔理论
一、氢原子光谱的规律性
0
0
紫H410.12A 红H656.21A 谱线是线状分立的
连 续
H
青 H 深绿 H
0
0
0
3645 .7 A 4340 .1 A 4860 .7 A
巴耳末公式
B
n2 n2
4
0
B364.75A
因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有 关，所以波长改变和散射角有关。
康普顿效应的定量分析
Y
h 0 m 0
eX
Y h
m X
（1）碰撞前 （2）碰撞后
h
n
c
mθ
h
c
0
n0
X
（3）动量守恒
光子在自由电子上的散射
由能量守恒:
h
n
c
h0m 0c2h m2c
由动量守恒:
mhcn hc0n 0
mθ
h 0
例 假设太阳表面的特性和黑体等效，测得太阳 表面单色辐出度的最大值所对应的波长为465nm。 试估计太阳表面的温度和单位面积上的辐射功率
解：
mT b
T b 6232k
m
M T 4 8 .5 5 17 2 W 0m 2
三 、 普朗克的量子假说 普朗克公式
1.经典理论的困难
问题：如何从理论上找到符合实验的函数式 M (T ) ？
R
的散射线进入光谱仪。
康普顿实验装置示意图
康普顿实验指出
(1)散射光中除了和入射光波长 0相同的射线之
外，还出现一种波长大于 0 的新的射线。
康普顿效应
改变波长的散射 康普顿散射
(2)当散射角增加时，波长改变 0
也随着增加. (3)在同一散射角下，所有散射物质的波长
改变都相同。
石 (a) 墨相 的对
这一关系式。他写道：
“我试图将h纳入经典理论的范围，但一切这样的尝试都失败 了，这个量非常顽固”.后来他又说：
“在好几年内我花费了很大的劳动，徒劳地去尝试如何将 作用量子引入到经典理论中去。我的一些同事把这看成是悲 剧。但我有自已的看法，因为我从这种深入剖析中获得了极
大的好处，起初我只是倾向于认为，而现在是确切地知道
光电子 逸出的电子。
光电子由K飞向A，回路中 形成光电流。
AK
OO
OO
OO
G
V R
OO
1、单位时间内从阴极逸出 的光电子数与入射光的强 度成正比。
饱 和
I s2
I
光强较强
2、存在遏止电势差
截 止
电 流
I s1
光强较弱
12mvm2 eUa
电 压
U
Ua
Ua
O