平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。

b-1/2a。

B。

a-1/2b。

C。

b+1/2a。

D。

a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。

若a-b=0，则a=bB。

若ab=0，则a=0或b=0C。

若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。

若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。

-2.B。

2.C。

-1/2.D。

不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。

a+b=a-b。

B。

a+b=a+b。

C。

a-b=a-b。

D。

a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。

3/2.B。

-3/2.C。

1/2.D。

06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。

3.B。

3/2.C。

53.D。

53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。

长方形。

B。

平行四边形。

C。

菱形。

D。

梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。

(π/3，-3)。

B。

(π/6，3)。

C。

(π/12，-3)。

D。

(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。

4.B。

1.C。

3.D。

610.向量a=(-1，1)，且a与a+2b方向相同，则a·b的范围是（）A。

(1,+∞)。

B。

(-1,1)。

C。

(-1,+∞)。

D。

(-∞,1)11.O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足λ∈(0,+∞)，则直线AP一定通过△ABC的（）OP=OA+λ(AB+AC)，AD=2+√3，∠C=45°，∠ADB=60°）A。

内心。

B。

外心。

C。

重心。

D。

垂心二、填空题（每小题10分，共40分）12.已知D是△ABC中AC边上一点，且DC=AB/2，则∠ADB的度数为______°。

13.若向量a=(1，2)，向量b=(x，y)，且a·b=0，则向量b 的坐标为______。

14.已知向量a=(3，-4)，向量b=(x，y)，且a·b=2，则向量b的坐标为______。

15.设向量a=(2，1)，向量b=(x，y)，且a·b=3，则向量b 与向量a的夹角的余弦值为______。

三、解答题（共40分）16.已知向量a=(3，1)，向量b=(k，2)，且向量a与向量b 垂直，求实数k的值。

17.在平面直角坐标系中，点A(1，2)和点B(3，-4)的连线AB的中点为M，向量a=AM，向量b=MB，求向量a和向量b的坐标，并求证向量a·b=0.18.已知向量a=(3，4)，向量b=(x，y)，且向量a与向量b 夹角的余弦值为1/2，求向量b的坐标。

19.已知向量a=(1，2)，向量b=(x，y)，且|a|=|b|，求向量a与向量b夹角的余弦值。

答案：1.D。

2.B。

3.B。

4.C。

5.B。

6.D。

7.C。

8.B。

9.D。

10.A。

11.B12.60.13.(-2，1)。

14.(2/5，3/5)。

15.3/√516.k=-6.17.a=(1，-3)，b=(2，6)，a·b=0.18.(4，-3)。

19.1/3二、填空题（每小题4分，共16分）13.$\sin A=\dfrac{3}{5}$14.点Q的坐标为$(6,5)$15.$\cos \theta = \dfrac{119}{120}$16.真命题的序号为①、③三、解答题（74分）17.设向量OD为$(x,y)$，则向量OC为$(x+3,y+1)$，向量OB为$(x-2,y-1)$。

由于OC垂直于OB，所以它们的内积为0，即$(x+3,y+1)\cdot (x-2,y-1)=0$，解得$x=1,y=2$。

又BC与OA平行，所以它们的方向向量相同，即$(x-2,y-1)=k(3,1)$，解得$k=-1$，即BC的方向向量为$(-1,-2)$。

由于BC与OA平行，所以它们的内积为0，即$(-1,-2)\cdot (3,1)=0$，解得$OD=BC=(-1,-2)$。

18.（1）由向量加法可得$OA+OC=(-2\cos\alpha+2,2\sin\alpha)$，所以$\cos\theta=\dfrac{(2,0)\cdot (-2\cos\alpha+2,2\sin\alpha)}{2\cdot 2}=-\dfrac{\cos\alpha}{2}$。

又$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$，所以$\cos\alpha=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$。

当$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$时，$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$，所以$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$或$\dfrac{4\pi}{3}$；当$\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$时，$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$，所以$\theta=\dfrac{\pi}{3}$或$\dfrac{5\pi}{3}$。

综上所述，$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$或$\dfrac{4\pi}{3}$。

2）由于AC垂直于BC，所以它们的方向向量的内积为0，即$(\cos\alpha-2,-\sin\alpha)\cdot (2,\cos\alpha)=0$，解得$\tan\alpha=2\sin\alpha$，即$\tan\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$。

19.（1）向量OE为向量OB到向量OA的平移，即$OE=OB-OA=(-2t-2a,a-b)$。

2）设向量OL为$(x_1,y_1)$，向量OM为$(x_2,y_2)$，向量ON为$(x_3,y_3)$，则$L(\dfrac{a-b}{2},\dfrac{a+b}{2})$，$M(-t-a,-\dfrac{a+b}{2})$，$N(-\dfrac{3}{2}b,-\dfrac{3}{2}a)$。

计算向量$\overrightarrow{LM}$和$\overrightarrow{MN}$的方向向量，发现它们是相同的，即$(-\dfrac{3}{2}b-a,\dfrac{1}{2}a-b)$，所以$L,M,N$三点共线。

20.（1）四边形OABC在第一象限部分的面积为$\dfrac{1}{2}AC\cdotOB=\dfrac{1}{2}\sqrt{5t^2+4}\cdot\sqrt{t^2+1}$。

2）对于$t>0$，$S(t)$关于$t$单调递增，所以$S(t)$的最小值为$S(0)=\dfrac{1}{2}$。

21.设小岛A的坐标为$(x,y)$，则$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$。

设补给船到小岛的距离为$d$，则$\cos\beta=\dfrac{d}{\sqrt{x^2+y^2}}$。

设两船相遇时的坐标为$(x_1,y_1)$，则$\dfrac{y_1}{x_1}=\tan(\alpha-\beta)$，所以$x_1=\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$y_1=\dfrac{dy}{\sqrt{x^2+y^2}}$。

又因为$S=\dfrac{1}{2}OB\cdot OD=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\dfrac{3d}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{3d}{2}$，所以$d=\dfrac{2S}{3}$。

将$d$代入$\cos\beta=\dfrac{d}{\sqrt{x^2+y^2}}$，得$\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{2S}{3\cos\beta}$。

将$x_1$和$y_1$代入$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{y_1}{x_1}$，得$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{3y}{2x}$。

将$\tan\alpha$和$\cos\beta$代入$\tan\beta=\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\beta}}{\cos\beta}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-d}{d}$，得$\tan\beta=\dfrac{3\sqrt{x^2+y^2}}{2d}-2=\dfrac{9S}{4d^2}-2$。

将$\sqrt{x^2+y^2}$和$d$代入，得$\tan\beta=\dfrac{9S}{8S^2/9}-2=\dfrac{81}{4S}-2$。

所以$\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{27y}{2x}\cdot\dfrac{81}{4S}-\dfrac{27}{2}=\dfrac{729S-54xy}{8S}$。

由于$\tan\alpha\tan\beta$为一定值，所以$S$的取值范围为$\dfrac{54xy}{729}<XXX最小值为$\dfrac{54xy}{729}$，此时$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$，$\tan\beta=\dfrac{81}{4S}-2$。

求S关于m的函数关系式S(m)，并确定最适合的补给值。

已知向量a=(-3,2λ)，b=(-3λ,2)，定点A(3，0)，其中0<λ<1.从点A发出的光线以向量a为方向向量射到y轴上的点B处，并被y轴反射。

反射光线与从点A出发以向量b为方向向量的光线相交于点P。

1.求点P的轨迹方程。

2.问A、B、P、O四点能否共圆（O为坐标原点），并说明理由。

答案：1.设点P的坐标为(x,y)，则AP = ka，BP = kb，其中a和b分别是向量a和向量b的模长，k为比例系数。

因为反射光线在y轴上的方向向量为(3,0)，所以BP与y轴平行，即BP 的坐标为(0,kb)。

同时，因为AP与BP的方向相反，所以它们的比例系数k满足ka + kb = 0.又因为AP在反射光线上，所以AP与反射光线的方向向量(3,0)成比例关系，即ka = 3t，其中t 为比例系数。