课程设计 银行排队论分析

南京理工大学

课程考核论文

课程名称：课程设计

论文题目：银行服务数据的统计分析姓名：李其然

学号：1111850114

成绩：

【摘要】

排队论是运筹学的一个重要分支，又称随机服务系统理论，是研究由随机因素的影响而产生拥挤现象的科学。它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决服务系统的最优设计与最优控制问题。随着社会文明的发展与进步，排队已成为和我们生活密不可分的话题。去银行、商场等随机性服务机构购物，如在结算时出现长时排队等待现象，是件让人头痛的事情，有时会因此取消购物计划。身为商家，如何在最低成本运营的情况下最大化的为顾客提供优质服务，减少顾客无谓的等待时间，是重多经营者亟待解决的问题。因此，根据排队论的知识来优化银行的排队系统是具有现实意义的。

计算机模拟就是利用计算机对所研究系统的内部结构、功能和行为进行模拟。由于排队论的应用已越来越广泛，排队特征、排队规则和服务机构也变得越来越复杂，解析方法已无法求解，而计算机模拟是求解排队系统和分析排队系统性能的一种非常有效的方法，并且计算机模拟具有成本低，运行速度快，准确度高的优点。将排队论与计算机模拟结合起来，是今后排队论发展的必然趋势。

在银行中客户排队是一个常见的现象，特别是近年来随着客户规模的不断,扩大以及营业厅扩建速度跟不上客户需求增长的矛盾愈显突出。因此，为平稳波动的客户，需求与移动营业厅有限的服务能力之间的矛盾，提升客户满意度，开展缩短客户等待时长，优化营业厅服务的项目刻不容缓。本文基于需求管理的理论，运用现代项目管理工具，针对南京交通银行营业厅进行顾客达到时间（间隔）、服务员完成服务时间等资料的收集和对客户进行问卷调查、访谈的基础上，对数据进行统计分析，包括数据的均值、众数、中位数、方差指标，并做经验分布函数、拟合数据分布、分布参数的估计、分布假设检验，来反映目前交通银行营业厅排队现状。之后，从客户角度出发，分析了造成移动营业厅排队问题的原因，进而从缴费类型和对时间与价格敏感度两个角度对客户的需求进行了分析，总结出适合缩短客户等待时长的项目管理方案。并在此基础上提出基于需求管理的解决移动营业厅排队问题。

【关键词】：统计特征；分布假设；分布检验

第1章绪论

1.1 本论文的背景和意义

随着社会文明的发展与进步，我们的物质文化生活水平在日趋提高，但由此也给我们的生活带来了诸多不便。“排队”已成为和我们生活密不可分的话题。公交车站长长的等候队伍，拥挤的站台，水泄不通的城市交通和超市、商场的大量购物客流都会让我们陷入短期的不安与烦躁之中。排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究排队等待中的概率特性，是一门随机服务系统理论。这门应用数学学科开创于20 世纪30 年代初。排队论逐渐被数学界承认是在30 年代中期，这源于W.Feller 将生灭过程引进了排队论。此后，伴随着研究的不断深入，在海陆空的各项运输管理与城市交通管理、计算机存储、银行服务及物流调度等各领域排队理论都逐步得到了广泛的应用。

目前，各大中城市的银行越建越多，但有时，银行常常存在不协调的现象：顾客较多，开放的收银台个数较少，银行结算需要排很长时间的队，直接影响顾客的返途乘车，间接导致顾客对银行的满意度下降。有时则出现顾客较少，开放的收银台个数较多的现象，导致收银员闲置，直接影响银行收益。动态开放柜台数之所以必要，不仅是因为它可以降低成本，还因为它可以同时增加顾客的满意度，这样能够提高整体收益，使系统达到最佳运行状态。对于任何一家银行而言，在激烈的市场竞争下，想要生存与发展不仅要考虑打价格战，还要更多的考虑顾客的需求与感受。作为银行等大型服务单位而言，让顾客满意是服务的宗旨，也是长久吸引顾客光顾的重要保障。达到顾客满意或提升在顾客心中的形象的根本做法则是尽可能的减少顾客因排队等待而浪费的宝贵时间，同时，再兼顾最低的经营成本，就会在激烈的竞争下，占有一席之地或具备较高的竞争实力。银行排队服务系统是一个随机服务系统，顾客的到达是随机的，而员工对顾客的服务时间也是由顾客的情况随机而定的。在客流量较大时，如果银行开放的柜台数目过少，将会导致顾客长时排队等待，容易引起不满，严重会致使客流损失，降低收益。反之，若开放过多柜台, 虽能为顾客提供快速服务，但是却会增加员工的空闲时间，导致经营成本增加，整体收益下降。如何合理的开放柜台的数目，并根

据顾客数量动态协调，是银行等随机服务行业亟待解决的问题。由此，基于排队理论研究如何设置超市收银台的数目，开放多少，是具有现实意义的。

1.2 统计初步

南京理工大学北三号门对面交通银行实地检测统计，统计的时间为2014年9月2日、3日、6日和9日的上午9：00-11:30或下午2:00-4:30，记20个工作小时，606位顾客，其中有4个数据由于记录时间段的不完整，无法进行统计，成为无效数据。原数据见附件1，整理数据见表1。

表1 顾客到达分布表（以10分钟为一个时间间隔）

第2章正文

2.1 初等统计

随着社会和经济的发展，概率统计的基础知识越来越多的应用于社会的各个方面，所以，初中学习统计初步知识很有必要。如下图1所示的各方各面即为我们所要考察的部分。

图1 统计初步图

2.1.1 均值、中位数与众数

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。平均数是统计中的一个重要概念。小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况、和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。

众数是样本观测值在频数分布表中频数最多的那一组的组中值，主要应用于大面积普查研究之中。众数是在一组数据中,出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数。一组数据中的众数不止一个，如数据2、3、-1、2、1、3中，2、3都出现了两次，它们都是这组数据中的众数。

中位数（又称中值，英语：Median），统计学中的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。一个数集中最多有一半的数值小于中位数，也最多有一半的数值大于中位数。如果大于和小于中位数的数值个数均少于一半，那麽数集中必有若干值等同于中位数。设连续随机变量X的分布函数为F(X)，那么满足P(X≤m)=F(m)=1/2的数称为X或分布F的中位数。对于一组有限个数的数据来说，它们的中位数是这样的一种数：这群数据里的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。

平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数则着眼于对各数据出现的次数的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据排列位置有关,当一组数据从小到大排列后,最中间的数据为中位数(偶数个数据的最中间两个的平均数)。因此某些数据的变动对它的中位数影响不大。

在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:

(1)中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；

(2)众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可能相等。

每10分钟顾客平均到达率

分钟）（人10/2.5116606

==

=

∑∑i i

i f

f n λ

顾客的平均到达时间间隔

人）（分钟人）分钟（/9.1/1019.038572

==

众数：4

中位数：5

2.1.3 极差、最值

极差是指一组测量值内最大值与最小值之差，又称范围误差或全距，以R 表示。它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简单的指标。

移动极差（Moving Range ）是其中的一种。极差没有充分利用数据的信息，但计算十分简单，仅适用样本容量较小（n<10)情况。

最大值zuìdàzhí[maximum]∶在给定情形下可以达到的最大数量或最大数值；一个量由于起初增大然后开始减小而达到的最大值；程度上的最高点；最高、最大或极端发展的时间或时期。

最小值zuìxiǎozhí ∶在给定情形下可以达到的最小数量或最小数值；一个量由于起初减小然后开始增大而达到的最小值；程度上的最低点；最低、最小或极端发展的时间或时期。

极差：13

最大值：14

最小值：1

2.1.4 方差、标准差

方差是实际值与期望值之差平方的平均值，而标准差是方差算术平方

根。在实际计算中，我们用以下公式计算方差。

方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,即

其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，xn表示个体，而s^2

就表示方差。

而当用作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的倍，

的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用

来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。

方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X 的方差，记为D(X),Var(X)或DX。

即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差.方差越大，离散程度越大。否则，反之)

若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,

若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

标准差（Standard Deviation ），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion ）上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：

为非负数值， 与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式：

假设有一组数值X1,X2,X3,......XN （皆为实数），其平均值为μ。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为

。

简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。

标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。

方差：()78.612

=-=

∑n n n D i

标准差：60.278.6===D σ

2.2 初步分析

初等统计数据完成后，利用Excel作出直方图，折线图以及饼状图，通过直观分析初步判断应检验哪些分布。

直方图又称质量分布图，它是表示资料变化情况的一种主要工具。用直方图可以解析出资料的规则性，比较直观地看出产品质量特性的分布状态，对于资料分布状况一目了然，便于判断其总体质量分布情况。在制作直方图时，牵涉统计学的概念，首先要对资料进行分组，因此如何合理分组是其中的关键问题。按组距相等的原则进行的两个关键数位是分组数和组距。是一种几何形图表，它是根据从生产过程中收集来的质量数据分布情况，画成以组距为底边、以频数为高度的一系列连接起来的直方型矩形图。

排列在工作表的列或行中的数据可以绘制到折线图中。折线图可以显示随时间（根据常用比例设置）而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势。在折线图中，类别数据沿水平轴均匀分布，所有值数据沿垂直轴均匀分布。

饼图英文学名为Sector Graph, 有名Pie Graph。常用于统计学模块。2D饼图为圆形，手画时，常用圆规作图。仅排列在工作表的一列或一行中的数据可以绘制到饼图中。饼图显示一个数据系列（数据系列：在图表中绘制的相关数据点，这些数据源自数据表的行或列。图表中的每个数据系列具有唯一的颜色或图案并且在图表的图例中表示。可以在图表中绘制一个或多个数据系列。饼图只有一个数据系列。）中各项的大小与各项总和的比例。饼图中的数据点（数据点：在图表中绘制的单个值，这些值由条形、柱形、折线、饼图或圆环图的扇面、圆点和其他被称为数据标记的图形表示。相同颜色的数据标记组成一个数据系列。）显示为整个饼图的百分比。

下面根据顾客达到分布表分别画出直方图和折线图以及饼状图：

图2 顾客到达直方图（以10分钟为一个时间间隔）

图3 顾客到达折线图（以10分钟为一个时间间隔）

图3 顾客到达饼状图（以10分钟为一个时间间隔）

根据直方图与折线图，作出分析，假定其服从泊松分布，指数分布，回归分布，下面对其进行具体分析。

2.3 深入分析

2.3.1 泊松分布

2.3.1.1 泊松分布介绍

Poisson分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。

泊松分布的概率质量函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

2.3.1.2 泊松分布检验方法

用2χ拟合检验法，检验原始数据是否服从Poisson 分布。在Poisson 分布中，

因为参数λ是未知数，所以要对其进行估计，使用极大似然估计法。

设总体X 服从Poisson 分布，参数为λ，即

()14

,,2,1,0,!

Λ==

=-i i n

i n e n n X P i

λλ

n

X X X ,,21Λ，是来自总体X 的样本，

i

n x x x ,,,21Λ为对应样本 n

X X X ,,21Λ，的一

个样本值，则样本的极大似然函数为

()()i

n

i i

n

i i e i x X P L -==∏

∏===1

1

!

λλ，

对上式两边取对数，得

()()

∑∑==--?=n

i n

i i i x n x L 1

1

!ln ln ln λλλ，令

()0

ln 1

=-=

∑=n x d L d n

i i

λ

λλ，

得到关于λ的极大似然估计值

x x n n

i i ==∑=1

1?λ。

故λ的极大似然估计量是

X X n n

i i ==∑=1

1?λ。

先假设到达规律符合2.5=λ的Poisson 分布，

()∑

-=14

2

2

i

i i nP nP f χ，

14

,,2,1,0,!

Λ==

-i i n

i n e n P i

λλ，见表2.

表2 Poisson 分布配合适度2

χ检验计算表

人数 n 实际频数

i f

Poisson 分布

i P

理论频数 i nP

()i

i i nP nP f 2-

0 0

0.005517 0.639921 0.639921 1 4 0.028686 3.327592 0.135874 2 12 0.074584 8.651738 1.295792 3 19 0.129279 14.99635 1.068876 4 21 0.168063 19.49525 0.116145 5 9 0.174785 20.27506 6.270116 6 15 0.151480 17.57172 0.376385 7 12 0.112528 13.05328 0.084990 8 12 0.073143 8.484630 1.456496 9 4 0.042261 4.902231 0.166051 10 6 0.021976 2.549160 4.671459 11 0 0.010388 1.205057 1.205057 12 1 0.004502 0.522192 0.437198 13 0 0.001801 0.208877 0.208877 14 1

0.000669

0.077583

10.96705 合计

116（n ）

28.46036

28.460362=χ，132-15==ν，取05.0=α，查2χ值表()819.291305.02=χ，本

例()1305

.022

χ

χ<，因此，当显著性水平05.0=α时可以接受假设，即单位时间内（10分

钟）顾客到达规律服从参数为λ的Poisson 分布。

2.3.2 指数分布

2.3.2.1 指数分布介绍

指数分布（Exponential distribution ）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

一个指数分布的概率密度函数是：

其中λ > 0

是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter ）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential （λ）

累积分布函数可以写成：

2.3.2.2 指数分布检验方法

我们仍使用皮尔逊2

χ检验法，研究顾客到达是否服从指数分布。估计指

数分布里的参数μ，使用极大似然法。 假设总体T 服从指数分布，即

()??

?<≥=-0,00

,0t t e t f H t μλ：

n

T T T ,,21Λ， 是取自总体T 的样本，n

t t t ,,21Λ

，

为对应于n

T T T ,,21Λ

，

的一组样

本值，则

()()i

t n

i n

i i e t f L μμθμ-==∏∏==1

1

,

表示样本的似然函数，将其两端取对数，可得

()∑=-=n

i i

t n L 1ln ln μμμ

令()0ln 1

=-=∑=n

i i t n d L d μμμ

得μ的最大似然估计值是

由原始数据计算得192.0=μ，如果0H

为真，则T 的分布函数估计为

()???<≥=-0,00,?t t e t F

t μμ

见表3

表3 指数分布配合适度2

χ检验计算表

()819.291305.02=χ，70.72671>29.819，故拒绝0H ，认为总体不服从指数分布。

2.3.3 线性回归分布

2.3.3.1 线性回归简介及做法

在统计学中，线性回归是利用称为线性回归方程的最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归,大于一个自变量情况的叫做多元回归。（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。

在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定X 值的y 的条件均值是X 的仿射函数。不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X 的条件下y 的条件分布的分位数作为X 的线性函数表示。像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X 值的y 的条件概率分布，而不是X 和y 的联合概率分布（多元分析领域）。

线性回归是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。

给一个随机样本，一个线性回归模型假

设回归子

和回归量

之间的关系是除了X 的影响以外，还有其他

的变量存在。我们加入一个误差项

（也是一个随机变量）来捕获除了

之外任何对

的影响。所以一个多变量线性回归模型表示为以下

的形式：

其他的模型可能被认定成非线性模型。一个线性回归模型不需要是自变量的线性函数。线性在这里表示

的条件均值在参数里是线性的。例如：模型在

和

里是线性的，但在

里是非线性的，它是

的非线性函数。

区分随机变量和这些变量的观测值是很重要的。通常来说，观测值或数据（以小写字母表记）包括了n个值.

我们有个参数需要决定，为了估计这些参数，使用矩阵表记是很有用的。

其中Y是一个包括了观测值的列向量，包括了未观测的随机成份以及回归量的观测值矩阵：

X通常包括一个常数项。

如果X列之间存在线性相关，那麽参数向量就不能以最小二乘法估计除非被限制，比如要求它的一些元素之和为0。

样本是在母体之中随机抽取出来的。

因变量Y在实直线上是连续的，

残差项是独立且相同分布的(iid)，也就是说，残差是独立随机的，且服从高斯分布。

这些假设意味着残差项不依赖自变量的值，所以和自变量X（预测变量）之间是相互独立的。

在这些假设下，建立一个显示线性回归作为条件预期模型的简单线性回归，可以表示为：

回归分析的最初目的是估计模型的参数以便达到对数据的最佳拟合。在决定一个最佳拟合的不同标准之中，最小二乘法是非常优越的。这种估计可以表示为：

对于每一个，我们用代表误差项的方差。一个无偏误的估计是：

其中

是误差平方和（残差平方和）。估计值和实际值之间的关系是：

其中服从卡方分布，自由度是对普通方程的解可以冩为：

这表示估计项是因变量的线性组合。进一步地说，如果所观察的误差服从正态分布。参数的估计值将服从联合正态分布。在当前的假设之下，估计的参数向量是精确分布的。

其中表示多变量正态分布。

参数估计值的标准差是：

参数的置信区间可以用以下式子来计算：

误差项可以表示为：

单变量线性回归，又称简单线性回归（simple linear regression, SLR），是最简单但用途很广的回归模型。其回归式为：

为了估计和，我们有一个样本

最小二乘法就是将未知量残差平方和最小化：

分别对和求导得到正规方程：

此线性方程组可以用克莱姆法则来求解：

协方差矩阵是：

平均响应置信区间为：

2.3.3.2 线性回归检验

我们采用SPSS程序做检验。

SPSS是世界上最早的统计分析软件，由美国斯坦福大学的三位研究生Norman H. Nie、C. Hadlai (Tex) Hull 和 Dale H. Bent于1968年研究开发成功，同时成立了SPSS公司，并于1975年成立法人组织、在芝加哥组建了SPSS 总部。1984年SPSS总部首先推出了世界上第一个统计分析软件微机版本