08高考文科试题分类圆锥曲线

07 圆锥曲线

一、选择题

1．（北京3）“双曲线的方程为2

2

19

16

x

y

-

=”是“双曲线的准线方程为95

x =±

”的（ A ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．（福建12）双曲线

222

2

1x y a

b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，

且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ）

A.（1，3）

B.（1，3）

C.（3，+∞）

D. [3，+∞] 3．（宁夏2）双曲线

2

2

110

2

x

y

-

=的焦距为（ D ）

A ．32

B ．42

C ．33

D ．43

4．（湖南10）．双曲线)0,0(12

22

2>>=-b a b

y a

x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线

的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )

A ．(1,2]

B ．[2,)+∞

C ．(1,21]+

D ．[21,)++∞ 5．（江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，

则椭圆离心率的取值范围是（ C ）

A ．(0,1)

B ．1(0,]2

C ．2(0,

)2

D ．2[

,1)2

6．（辽宁11）已知双曲线2

2

2

91(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15

，

则m =（ D ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

7．（全国Ⅱ11）设A B C △是等腰三角形，120ABC ∠=

，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ） A ．

22

1+ B ．

2

3

1+

C ． 21+

D ．31+

8．（上海12）设p 是椭圆2

2

125

16

x

y

+

=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12

PF PF +等于（ D ）

A ．4

B ．5

C ．8

D ．10

9．（四川11）已知双曲线2

2

:

19

16

x

y

C -

=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，

且212PF F F =，则12P F F ?的面积等于( C )

（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 10．(天津7) 设椭圆

222

2

1(00)x y m n m

n

+

=>>，的右焦点与抛物线2

8y x =的焦点相同，

离心率为

12

，则此椭圆的方程为（ B ） A ．

2

2

112

16

x

y

+

= B ．

2

2

116

12

x

y

+

= C ．

2

2

148

64

x

y

+

= D ．

2

2

164

48

x

y

+

=

11．（浙江8）若双曲线12

22

2=-

b

y a

x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的

离心率是( D )

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

12．(重庆8)若双曲线

2

2

2

1613

x

y p

-

=的左焦点在抛物线y 2

=2px 的准线上，

则p 的值为( C ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)42

13．(湖北10).如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭

圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④121

2

.c c a a <

其中正确式子的序号是 ( B )

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④ 14．(陕西9) 双曲线

222

2

1x y a

b

-

=（0a >，0b >）的左、右焦点分别

是12F F ，，过1F 作倾斜角为30

的直线交双曲线右支于M 点，若2M F 垂直于x 轴，则双曲

线的离心率为（ B ） A ．

6

B ．3

C ．2

D ．

33

二、填空题

1．（安徽14）．已知双曲线

2

2

112x

y

n

n

-

=-的离心率是3。则n ＝ 4

2．（宁夏15）过椭圆

2

2

15

4

x

y

+

=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，

O 为坐标原点，则O A B △的面积为 ．53

3．（江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆

)0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x 的焦距为2，

以O 为圆心，a 为半径的圆，过点???

? ??0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = 2

2 4．（江西14）已知双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的两条渐近线方程为33

y x =±

，若顶

点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．

2

2

314

4

x

y -

=

5．（全国Ⅰ14）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

12

6．（全国Ⅰ15）在A B C △中，90A ∠=

，3tan 4

B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，

则该椭圆的离心率e = ．

12

7．（全国Ⅱ15）已知F 是抛物线2

4C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则A B F △的面积等于 ．2

8．(山东13) 已知圆2

2

:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线

的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．

2

2

14

12

x

y

-

=

9．（上海6）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．-1

10．（浙江13）已知21F F 、为椭圆19

25

2

2

=+

y

x

的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B

两点

若1222=+B F A F ，则AB = 。8

三、解答题 1．（安徽22）．（本小题满分14分） 设椭圆222

2

:

1(0)x y C a b a

b

+

=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：

2

422AB C O S θ

=-;

（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求

AB D E + 的最小值

解 ：（1）由题意得：

2222222

844c a a c b a b c =???=??

=??=???

?=+?

∴ ∴椭圆C 的方程为22

184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22

e =

设l 为椭圆的左准线。则:4l x =-

作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 1122AF AA =

∴

112(cos )2

FH AF θ=

+

122c o s 2

AF θ=+

122c o s

AF θ=

-∴

同理 12

2cos BF θ

=

+

112

22422cos 2cos 2cos A B A F B F θ

θ

θ

=+=+

=

--+∴。

方法二： 当2

π

θ≠

时，记tan k θ=，则:(2)AB y k x =+

将其代入方程 2228x y += 得 2222(12)88(1)0k x k x k +++-= 设 1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是此二次方程的两个根.

22

12122

2

88(1),.1212k

k x x x x k

k

-+=-=

++∴

2

2

22

2

2

1212

121212()

()(1)()(1)[()4]

A B x x y y k x x k

x x

x

x =

-+-=

+-=

++- 22

2

2

2

2

22

832(1)42(1)(1)[(

)]121212k

k k k k

k

k

--+=+-

=

+++ (1)

22tan ,k θ=∵代入（1）式得 2

422cos AB θ

=- (2)

当2

π

θ=

时，22AB = 仍满足（2）式。

2

422cos AB θ

=-∴

（3）设直线AB 的倾斜角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得

2

422cos AB θ

=- ，2

422sin D E θ

=

-

2

2

2

2

2

42

42122

122

12c o s 2s i n

2

s i n

c o s 2s i n 2

4

A B D E θ

θθθθ+=

+

=

=--

++ 当34

4

π

πθθ=

=

或时，AB D E +取得最小值

1623

2．（北京19）（本小题共14分）

已知A B C △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且A B l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及A B C △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠= ，且斜边A C 的长最大时，求AB 所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为A B l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =． 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x

?+=?=?，得1x =±． 所以12222AB x x =

-=．

又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． 所以2h =

，122

A B C S A B h =

= △．

（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+， 由2234x y y x m

?+=?=+?，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ?=-+>．

设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，， 则1232

m x x +=-，2

1234

4m x x -=

，

所以2

1232622

m AB x x -=

-=

．

又因为B C 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22

m B C -=

．

所以2

2

2

22

210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．

所以当1m =-时，A C 边最长，（这时12640?=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 3．(福建22)（本小题满分14分）

如图，椭圆222

2

:

1x y C a

b

+

=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解法一：

（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2

=3, 所以椭圆C 前方程为

13

4

2

2

=+

y

x

.

(Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0). 设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),

3

4

2

2

n

m +

=1. ……①

AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.

设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②

n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③

由②，③得 x 0=

5

23,5

2850-=

--m n y m m .

所以点M 恒在椭圆G 上.

(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入

3

4

2

2

y

x

+

＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0.

设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2）

，则有：y 1+y 2=.4

39,4

362

212

+-=

+-t y y x x

|y 1-y 2|=.4

33

3·344)(2

2212

21++=-+t t y y y y

令3t 2+4=λ(λ≥4),则

1

)

52(4936)85()

52(412)85()

52(3)

52(4)

85()

52(3)52(4)

85(3

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

02

0=--+-=

-+-=

-+

--=

-+

--=

+

m m

m m n

m m n

m m m n

m m y x 由于

|y 1-y 2|＝

，

＋

）－

－（

＝＋

）－（

＝－　4

12

11

341

1

341

·343

2

λ

λ

λ

λ

λ 因为λ≥4，0<

时，，＝，即＝

所以当044

1

1

,41

≤

1=t λλλ

|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F .

△AMN 的面积S △AMN=.2

92

32

3y ·212121有最大值

y y y y y FN -=

-=-

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0). 设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),

.13

4

2

2

=+

n

m ……①

AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……②

n (x -4)-(m -4)y =0, ……③ 由②，③得：当≠5

23,5

28525

-=

--=

x y n x x m 时，. ……④

由④代入①，得

3

4

2

2

y

x

+

=1（y ≠0）.

当x=52时，由②，③得：3

(1)02

3(4)0,

2

n m y n m y ?--=????-++=??

解得0,

0,n y =??=?

与a ≠0矛盾.

所以点M 的轨迹方程为2

2

1(0),4

3

x

x

y +

=≠即点M 恒在锥圆C 上.

（Ⅱ）同解法一.

4．（广东20）（本小题满分14分）

设b ≥0，椭圆方程为

222

2

2x

y b

b

+

=1，抛物线方程为x 2=8(y -b ).如图

6所示，过点F （0,b +2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交

点为G .已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1.

（1

）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A 1B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得A B C 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

解：（1）由()2

8x y b =-得 2

18

y x b =

+

当2y b =+时，4x =±，∴G 点的坐标为（4，b ＋2） 14

y x '=

， 4

1x y ='

=

过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令y ＝0得 2x b =- ，∴1F 点的坐标为 （2-b ，0）； 由椭圆方程得1F 点的坐标为（b ，0）， ∴ 2b b -= 即 b ＝1，

因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为

2

2

12

x

y +=和2

8(1)x y =-．

（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P , ∴以PAB ∠为直角的R t A B P 只有一个; 同理以PBA ∠为直角的R t A B P 只有一个; 若以APB ∠为直角, 设P 点的坐标为2

1(,

1)8

x x +，则A 、B 坐标分别

为(2,0)-、(2,0)

由222

12(1)08A B A B x x =-++= 得

421510644

x x +-=， 关于2x 的一元二次方程有一解，∴x 有二解，即以APB ∠为直角的R t A B P 有二个;

因此抛物线上共存在4个点使A B P 为直角三角形．

5．（宁夏23）（本小题满分10分）（选修4－4；坐标系与参数方程）

已知曲线C 1：cos sin x y θθ=??=?，（θ为参数），曲线C 2：2

22

22

x t y ?=-???

?

=??，

（t 为参数）．

（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12C C ''，．写出

12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你

的理由．

解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．

2分

1C 的普通方程为2

2

1x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C 的普通方程为20x y -+

=．

因为圆心1C 到直线20x y -+

=的距离为1，

所以2C 与1C 只有一个公共点． ···················································································· 4分 （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

1C '：cos 1

sin 2x y θθ=???=??，（θ为参数） 2C '：2

22

24

x t y ?=-????

=

??，

（t 为参数）························· 8分

化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122

2

y x =+

，

联立消元得2

22210x x ++=， 其判别式2(22)4210?=-??=，

所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．10分 6．（江西22）已知抛物线2

y x =和三个点

00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2

000(,0)y x y ≠>，过点M 的

一条直线交抛物线于A 、B 两点，A P B P 、的延长线分别交曲线

C 于E F 、．

（1）证明E F N 、、三点共线；

（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．

（1）证明：设22

1122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、

y

x

P

N

O

M

A

E

B F

则直线AB 的方程：()22

2121112

x x y x x x x x -=

-+-

即：1212()y x x x x x =+-

因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ① 又直线AP 方程：2

10

01

x y y x y x -=

+

由2

10

01

2

x y y x y x x y ?-=+???=?

得：2

2

10010x y x x y x ---= 所以2

2

10

0012

11

1

,E E E x y y y x x x y x x x

-+=

?=-

=

同理，2

002

2

2

,F F y y x y x x =-=

所以直线EF 的方程：2

12012

12

(

)y x x y y x x x x x +=--

令0x x =-得0120012

[()]y y x x x y x x =

+-

将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线 （2）解：由已知A B M N 、、、共线，所以(

)

0000,,(

,)A y y B y y -

以AB 为直径的圆的方程：()2

2

00x y y y +-=

由()22

002x y y y x y

?+-=??=??得()22000210y y y y y --+-=

所以0y y =（舍去），01y y =-

要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥

所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y

则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=

7．(江苏选修) 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

2

13

x

y +=上的一个动点，

求S x y =+的最大值．

解： 因椭圆

2

2

13

x

y +=的参数方程为3cos (sin x y φ

φφ

?=

??

=??为参数）

故可设动点P 的坐标为(3cos ,sin φφ），其中02φπ≤<.

因此313cos sin 2(cos sin )2sin()2

2

3

S x y π

φφφφφ=+=+=+=+

所以。当6

π

φ=

是，S 取最大值2

8．（湖南19）(本小题满分13分)

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围. 解 （Ⅰ）设椭圆的方程为

222

2

1x y a

b

+

=(a ＞b ＞0).

由条件知c =2,且

2

2a c

=λ,所以a 2=λ,

b 2=a 2-

c 2

=λ-4.故椭圆的方程是

2

2

1(4).4

x

y

λλ

λ+

=-＞

(Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是y=k(x-1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F 2(x 0,y 0),则

0000

2(1),221.2y x k y k x +?=-???

?=--?? 解得02022,12.1x k

k y k ?=??+??=?+? 因为点F ′(x 0,y 0)在椭圆上，所以2

2

2

2

22(

)(

)

11 1.4

k

k

k

λ

λ+++=-即

λ(λ-4)k 4+2λ(λ-6)k 2+(λ-4)2=0.

设k 2=t ,则λ(λ-4)t 2+2λ(λ-6)t +(λ-4)2=0. 因为λ＞4,所以

2

(4)

(4)

λλλ--＞0.

9．（辽宁21）．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨

迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；

（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时O A ⊥O B ？此时A B 的值是多

少？

解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)-，，，为焦点，长

半轴为2的椭圆．它的短半轴22

2(3)1b =

-=，

故曲线C 的方程为2

2

14

y

x +

=． ·

················································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足

2

214 1.y x y kx ?+

=??

?=+?

， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故12122

2

234

4

k x x x x k k +=-

=-

++，．······································································· 6分

OA OB ⊥

，即12120x x y y +=．

而2

121212()1y y k x x k x x =+++，

于是2

2

2

12122

2

2

2

3324114

4

4

4

k

k

k x x y y k k k k -++=--

-

+=

++++．

所以12

k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥

． ······················································· 8分

当12k =±时，12417

x x +=

，121217

x x =-

．

2

2

2

2

212121()()(1)()AB x x y y k x x =

-+-=+- ，

而22

212112()()4x x x x x x -=+-

23

2

2

4

43413417

17

17

??=

+?

=

，

所以46517

AB = ． 12分

10．（全国Ⅰ22）（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1

l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设O A m d =-，AB m =，O B m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+

得：14d m

=

，

tan b A O F a ∠=

，

4tan tan 23A B A O B A O F O A

∠=∠=

=

由倍角公式∴

2

243

1b a

b a =

??

- ?

??，解得12b a

=

则离心率

52e =

．

（2）过F 直线方程为

()

a y x c b

=-

-

与双曲线方程222

2

1

x

y a

b

-

=联立

将2a b =，5c b =代入，化简有2

2

15

85210

4x x b b

-

+=

2

2

2

121212411()4a a x x x x x x b b ????

????=

+-=

++-?? ?

???

??

??????

将数值代入，有2

2

32528454155b b ??

?

???=

-

? ????

?

??

解得3b =

最后求得双曲线方程为：2

2

1

36

9

x

y

-

=．

11．（全国Ⅱ22）（本小题满分12分）

设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =

，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为

2

2

14

x

y +=，

直线A B E F ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··········································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212

214x x k

=-=

+．①

由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得02122

1510(6)77714x x x x k

=+==+；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k

=+．

所以

2

21012714k

k

=

++，

化简得2

242560k k -+=， 解得23

k =

或38

k =

． ··································································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为2

1112

22

2(1214)

55(14)

x kx k k h k +-++

+=

=

+，

2

2222

22

2(1214)

5

5(14)

x kx k k h k +-+-+=

=

+． ······························································· 9分

又2

215AB =

+=

，所以四边形AEBF 的面积为

121()2

S A B h h =

+

2

14(12)52

5(14)

k k +=

+

D

F B y

x

A O

E

2

2(12)14k k

+=

+

2

2

1442

14k k k

++=+

22≤，

当21k =，即当12

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ·····························12分

解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△

222x y =+···················································································································· 9分

2

22(2)x y =+ 2

2

222244x y x y =

++ 2

2

222(4)x y +≤

22=，

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分

12．(山东22．（本小题满分14分）

已知曲线11(0)x y

C a b a b

+=>>：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径

为

253

．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；

（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．

（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求A M B △的面积的最小值．

解：（Ⅰ）由题意得22

245253ab ab a b

?=?

?=?+?，．

又0a b >>， 解得25a =，24b =．

因此所求椭圆的标准方程为

2

2

15

4

x

y

+

=．

（Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，

()A A A x y ，．

解方程组22

154x y y kx ?+=???=?

，，

得222045A x k =+，2

2

2

2045A k y k =+， 所以22

2

222

2

2

202020(1)454545A A

k

k OA x y k

k

k

+=+=

+

=

+++．

设()M x y ，，由题意知(0)M O OA λλ=≠，

所以2

2

2M O OA λ=，即2

222

2

20(1)45k x y k

λ

++=+，

因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1y x k =-

，

即x k y

=-，

因此2

222

2222222

2

20120()

4545x y x y x y x y x y

λλ??+ ?+??+==++ ， 又22

0x y +≠， 所以2

2

2

5420x y λ+=， 故

2

2

2

4

5

x

y

λ+

=．

又当0k =或不存在时，上式仍然成立． 综上所述，M 的轨迹方程为

2

2

2

(0)4

5

x

y

λλ+

=≠．

（2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得22

2045A

x k

=

+，222

2045A

k

y k

=

+，

由22

154

1x y

y x k ?+=????=-??

，，

解得222

2054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2

2

2

22

20(1)45A A

k O A

x y k

+=+=

+，2

2

2

2

80(1)445k AB

OA

k

+==

+，2

2

2

20(1)54k OM

k

+=

+．

解法一：由于2

2

2

14

A M

B S A B O M

= △

2

2

22

180(1)20(1)4

4554k k k

k

++=??

++

22

2

2

400(1)

(45)(54)

k k k +=

++

222

2

2

400(1)

45542k k k +??+++ ?

??≥

2

2

2

2

21600(1)4081(1)

9k k +??

=

= ?+??

， 当且仅当22

4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时A M B △面积的最小值

是409

A M

B S =

△．

当0k =，140252252

9

A M

B S =

??=>

△．

当k 不存在时，140542529

A M

B S =

?

?=>

△．

综上所述，A M B △的面积的最小值为

409

．

解法二：因为2

2

2

2

22111120(1)20(1)4554k k O A

O M

k

k

+

=

+++++22

2

4554920(1)

20

k k

k +++=

=

+，

又

2

2

112O A O M

O A

O M

+

≥

，409

O A O M ≥

，

当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立， 此时A M B △面积的最小值是409

A M

B S =△．

当0k =，140252252

9

A M

B S =

??=>

△．

当k 不存在时，140542529

A M

B S =

?

?=>

△．

综上所述，A M B △的面积的最小值为409

．

13．（上海20）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． 已知双曲线2

212

x

C y -=：．

（1）求双曲线C 的渐近线方程；

（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．

记M P M Q λ=

．求λ的取值范围；

（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为D E M △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 【解】（1）所求渐近线方程为220,02

2

y x y x -=+

= ……………...3分

（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o M P M Q x y x y λ=?=-?---

22

2

00031 2.2

x y x =--+=-

+ ……………7分

02x ≥

λ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分

（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，

则直线l 的斜率20,.2k ??∈ ? ???

……………11分

由计算可得，当()2

2

1

2(0,],1;2

1k s k k k

∈=

+-时

当()2

2

1221,

,1.22k k s k k k k ??+∈=+ ? ?+??

时 ……………15分

∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()2

2

22

211,(0,],122112

1,,.22k k k s k k k k k k ?+∈?-?

=?

?

?

+?+∈ ? ??+??

?

….16分

14．（四川22）（本小题满分14分） 设椭圆

()222

2

1,0x y a b a

b

+

=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22

e =

，点2F 到右准

线为l 的距离为2 （Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ?=

，

证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=

【解】：因为a e c

=

，2F 到l 的距离a d c c

=

-，所以由题设得

2

2

2a c a c c

?=????-=?? 解得2,2c a =

=

由222

2b a c =-=，得2b =

（Ⅱ）由2,2c a =

=得()(

)

12

2,0,2,0F F -，l 的方程为22x =

故可设()()

1222,,22,M y N y 由知120F M F N ?=

知 (

)(

)

12222,222,0y y +

?-

=

得126y y =-，所以1221

60,y y y y ≠=-

121

11

1

6126M N y y y y y y =-=+=+

≥

当且仅当16y =±时，上式取等号，此时21y y =-