圆锥曲线导数2018年全国高考数学分类真题(含答案).doc
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圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）
一．选择题（共 7 小题）
1．双曲线
﹣y 2=1 的焦点坐标是（
）
A ．（﹣ ，0），（ ，0）
B ．（﹣2，0），（2，0）
C ．（0，﹣ ），（ 0， ）
D ．（0，﹣ 2），（0，2）
2．已知双曲线
=1（a ＞ 0， b ＞ 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴
的直线与双曲线交于 A ， B 两点．设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别
为 d 1 和 d 2，且 1 2 ，则双曲线的方程为（ ）
d +d =6 A ．
﹣
=1B ．
﹣
=1C ．
﹣
=1D ．
﹣
=1
3．设 F 1，F 2 是双曲线 C ： ﹣ =1（a ＞0．b ＞0）的左，右焦点， O 是坐标原
点．过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
，则 C 的离心
2
P|PF 1|= |OP|
率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
4．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，
点 P 在过 A 且斜率为
的直线上，△ PF 1 2 为等腰三角形，∠ 1 2 °，则
C
F
F F P=120 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=± x
B ．y=± x
C ．y=± x
D ．y=± x
6．已知双曲线 C ：
﹣y 2
=1，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
的两条渐近线的交点分别为 M ，N ．若△ OMN 为直角三角形，则 | MN| =（
）
A．B．3C．2D．4
7．设函数 f（x）=x3+（a﹣1） x2 +ax．若 f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点
（ 0， 0）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x B．y=﹣ x C．y=2x D． y=x
二．填空题（共 6 小题）
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点 F （ c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．
9．已知椭圆 M ：+=1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双曲线 N 的
两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶
点，则椭圆 M 的离心率为；双曲线N的离心率为．
10．已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点 A， B 满足=2，则当
m=时，点 B 横坐标的绝对值最大．
11．已知点 M（﹣ 1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C
交于 A，B 两点．若∠ AMB=90°，则 k=
．
12．曲线 y=（ax+1）e x在点（ 0，1）处的切线的斜率为﹣ 2，则 a=．
13．曲线 y=2ln（x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为．
三．解答题（共13 小题）
14．设函数 f （x）=[ ax2﹣（ 4a+1）x+4a+3] e x．
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△ OAB 的面积为，求直线l的方程．
16．如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA， PB的中点均在 C 上．（Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明：
PM 垂直于 y 轴；
（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1（ x＜0）上的动点，求△ PAB面积的取值范围．
17．设椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为 F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（ b，0），且 | FB| ?| AB| =6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＞ 0）与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．若=sin∠AOQ（ O 为原点），求 k 的值．
18．已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： +
=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中
点为 M （ 1， m ）（ m ＞0）．
（ 1）证明： k ＜﹣ ；
（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且
+ + = ．证明： | | ，| | ，
|
| 成等差数列，并求该数列的公差．
19．设抛物线 C ： y 2 =4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k （k ＞0）的直线 l 与 C 交于
A ，
B 两点， | AB| =8．
（ 1）求 l 的方程；
（ 2）求过点 A ，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
20．设椭圆 C ： +y 2=1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M
的坐标为（ 2，0）．
（ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
（ 2）设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA=∠OMB ．
21．记 f （′x ），g ′（x ）分别为函数 f （ x ），g （ x ）的导函数．若存在 x 0∈R ，满足f （x 0）=g （ x 0 ）且 f （′x 0）=g ′（ x 0），则称 x 0 为函数 f （ x ）与 g （x ）的一个 “S 点”．
（ 1）证明：函数 f （x ）=x 与 g （x ）=x 2+2x ﹣2 不存在 “S 点 ”；
（ 2）若函数 f （ x ）=ax 2﹣1 与 g （ x ）=lnx 存在 “S 点”，求实数 a 的值；
（ 3）已知函数 f （ x ）=﹣x 2+a ，g （ x ）=
．对任意 a ＞0，判断是否存在 b ＞0，
使函数 f （x ）与 g （ x ）在区间（ 0， +∞）内存在 “S 点”，并说明理由． 22．已知函数 f （x ）= ﹣ lnx ．
（ Ⅰ）若 f （ x ）在 x=x 1 ， 2 （ 1≠ 2）处导数相等，证明： f （ 1） +f （2）＞ ﹣
x x x x x8
8ln2；
（ Ⅱ）若 a ≤3﹣ 4ln2，证明：对于任意 k ＞0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f （x ）有唯一公共点．
23．已知函数 f （x ）=a x
，g （x ）=log a x ，其中 a ＞1．
（ Ⅰ）求函数 h （ x ）=f （ x ）﹣ xlna 的单调区间；
（ Ⅱ）若曲线 y=f （x ）在点（ x 1， f （x 1））处的切线与曲线 y=g （x ）在点（ x 2，g
（ x2））处的切线平行，证明 1 （2）
= ；
x +g x
（Ⅲ）证明当 a≥e 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g （ x）的切线．
24．已知函数 f （x）=（2+x+ax2） ln（ 1+x）﹣ 2x．
（1）若 a=0，证明：当﹣ 1＜x＜0 时， f （x）＜ 0；当 x＞0 时， f（x）＞ 0；（2）若 x=0 是 f （x）的极大值点，求 a．
25．已知函数 f （x）=e x﹣ax2．
（1）若 a=1，证明：当 x≥0 时， f（x）≥ 1；
（2）若 f （x）在（ 0，+∞）只有一个零点，求 a．
26．已知函数 f （x）=﹣x+alnx．
（ 1）讨论 f（x）的单调性；
（ 2）若 f （x）存在两个极值点 x1，2 ，证明：＜﹣．
x a 2
圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7 小题）
1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）
A．（﹣，0），（，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣），（ 0，）D．（0，﹣ 2），（0，2）
【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且 a2 ，2，
=3 b =1
由此可得 c= =2，
∴该双曲线的焦点坐标为（± 2，0）
故选： B．
2．已知双曲线=1（a＞ 0， b＞ 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A， B 两点．设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y= ，即 bx﹣ay=0， F（ c，0），
AC⊥CD，BD⊥ CD， FE⊥CD，ACDB是梯形，
F 是 AB 的中点， EF= =3，
EF==b，
所以 b=3，双曲线=1（ a＞0，b＞0）的离心率为 2，可得，
可得：
，解得 a= ．
则双曲线的方程为：
﹣ =1．
故选： C ．
3．设 F 1，F 2 是双曲线 C ：
﹣ =1（a ＞0．b ＞0）的左，右焦点， O 是坐标原
点．过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
，则 C 的离心
2
P|PF 1|= |OP|
率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
【解答】 解：双曲线 C ： ﹣ =1（a ＞0．b ＞0）的一条渐近线方程为 y= x ，
∴点 F 2 到渐近线的距离
d=
，即 2，
=b | PF | =b
∴| OP| =
=
=a ， cos ∠ PF 2 ，
O=
∵| PF 1
| OP| ， | =
∴| PF 1
，
| = a
在三角形 F 1 2 中，由余弦定理可得
1
2
2 2
+| F 1 2 2﹣2| PF 2
1 2∠
PF
| PF| =| PF|
F | |?|F F|COS
PF 2O ，
∴ 6a 2=b 2+4c 2﹣ 2× b ×2c × =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3（c 2﹣ a 2），
即 3a 2=c 2，即 a=c ， ∴ e= = ，
故选： C ．
4．已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，
点 P 在过 A 且斜率为
的直线上，△ PF 1 2 为等腰三角形，∠ 12°，则
F F F P=120C
的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】 解：由题意可知： A （﹣ a ，0），F 1（﹣ c ， 0），F 2（c ，0），
直线 AP 的方程为： y= （x+a ），
由∠ F °， ，则 （ ， c ），
1F 2P=120| PF 2| =| F 1F 2| =2c P 2c
代入直线 AP ： c= （ 2c+a ），整理得： a=4c ，
∴题意的离心率 e= = ．
故选： D ．
5．双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±xB．y=±x C．y=±x D．y=±x
【解答】解：∵双曲线的离心率为e= =，
则=====，
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，
故选： A．
6．已知双曲线 C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N．若△ OMN 为直角三角形，则 | MN| =（）A．B．3C．2D．4
【解答】解：双曲线 C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为： 60°，不妨设过 F（ 2，0）的直线为： y=，
则：解得M（，），
解得： N（），
则| MN| = =3．
故选： B．
7．设函数 f（x）=x3+（a﹣1） x2 +ax．若 f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（ 0， 0）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x B．y=﹣ x C．y=2x D． y=x
【解答】解：函数 f （x） =x3+（a﹣1）x2+ax，若 f（ x）为奇函数，
可得 a=1，所以函数 f（ x） =x3+x，可得 f ′（ x）
=3x2+1，曲线 y=f（x）在点（ 0，0）处的切线的斜率
为： 1，则曲线 y=f（ x）在点（ 0，0）处的切线方程
为： y=x．故选： D．
二．填空题（共 6 小题）
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点 F （ c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．
【解答】解：双曲线=1（a＞ 0， b＞ 0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线
y= x 的距离为c，
可得：=b=，
可得，即 c=2a，
所以双曲线的离心率为：e=．
故答案为： 2．
9．已知椭圆 M ：+=1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双曲线 N 的
两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶
点，则椭圆 M 的离心率为；双曲线N的离心率为2．
【解答】解：椭圆 M：+ =1（a＞b＞0），双曲线 N：﹣=1．若双曲线
N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的
顶点，
可得椭圆的焦点坐标（ c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，
可得，可得 e4﹣8e2+4=0， e∈（ 0，1），
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为 e= =2．
故答案为：；2．
10．已知点 P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点 A， B 满足=2，则当m= 5时，点B横坐标的绝对值最大．
【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），
由 P（0，1），=2，
可得﹣ x1=2x2，1﹣y1=2（ y2﹣1），
即有 x1=﹣2x2，y1+2y2 =3，
又 x12+4y12=4m，
即为 x22+y12=m，①
x22 +4y22=4m，②
①﹣②得（ y1﹣2y2）（y1+2y2） =﹣ 3m，
可得 y1﹣ 2y2=﹣m，
解得 y1=，y2=，
则 m=x22+（）2，
即有 x22 ﹣（） 2
= ，
=m =
即有 m=5 时， x22有最大值 16，
即点 B 横坐标的绝对值最大．
故答案为： 5．
11．已知点 M（﹣ 1，1）和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点．若∠ AMB=90°，则 k=
2．
【解答】解：∵抛物线 C： y2=4x 的焦点 F（1，0），
∴过 A，B 两点的直线方程为y=k（x﹣1），
联立可得， k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，
设 A（x1，y1），B（x2， y2），
则 x1+x2= ，x1x2=1，
∴y1+y2=k（ x1+x2﹣2）= ，y1y2=k2（ x1﹣1）（x2﹣ 1）=k2[ x1x2﹣（ x1+x2）+1] =﹣4，∵M（﹣1，1），
∴=（x1+1， y1﹣1）， =（x2+1， y2﹣1），
∵∠ AMB=90°=0，∴ ? =0
∴（ x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（ y2﹣1）=0，
整理可得， x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（ y1+y2）+2=0，
∴1+2+ ﹣4﹣ +2=0，
即 k2﹣4k+4=0，
∴ k=2．
故答案为： 2
．曲线x在点（ 0，1）处的切线的斜率为﹣2，则 a= ﹣ 3 ．
12 y=（ax+1）e
x x x
【解答】解：曲线 y=（ ax+1） e ，可得 y′=ae+（ax+1） e
，
曲线 y=（ ax+1） e x在点（ 0， 1）处的切线的斜率为﹣2，
可得： a+1=﹣2，解得 a=﹣ 3．
故答案为：﹣ 3．
13．曲线 y=2ln（x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为y=2x．
【解答】解：∵ y=2ln（x+1），
∴ y′=，
当 x=0 时， y′=2，
∴曲线 y=2ln（ x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为y=2x．
故答案为： y=2x．
三．解答题（共13 小题）
14．设函数 f （x）=[ ax2﹣（ 4a+1）x+4a+3] e x．
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f （x）=[ ax2﹣（ 4a+1）x+4a+3] e x的导
数为 f （′x）=[ ax2﹣（ 2a+1） x+2] e x．
由题意可得曲线y=f（ x）在点（ 1， f（1））处的切线斜率为0，
可得（ a﹣2a﹣ 1+2）e=0，
解得 a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为 f ′（x）=[ ax2﹣（ 2a+1） x+2] e x=（x﹣2）（ ax﹣1）e x，
若 a=0 则 x＜ 2 时， f ′（x）＞ 0， f（x）递增； x＞2，f ′（x）＜ 0，f（ x）递减．
x=2 处 f （x）取得极大值，不符题意；
若 a＞0，且 a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；
若 a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极小值；
若 0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；
若 a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意．
综上可得， a 的范围是（，+∞）．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 过点（），焦点F1（﹣，
0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△ OAB 的面积为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
∵焦点 F1 （﹣ 2
，0），F （
，0），∴．
∵∴，又 a2+b2 2 ，
=c =3
解得 a=2， b=1．
∴椭圆 C 的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．
（2）①可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限，
∴可设直线 l 的方程为 y=kx+m ，（k＜0，m＞ 0）．
由圆心（ 0， 0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得．由，可得（ 4k2+1） x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（ 8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，
可得 m2 =4k2+1，∴ 3k2 +3=4k2+1，结合 k＜0，m＞0，解得 k=﹣，m=3．
将 k=﹣，m=3代入可得，
解得 x=，y=1，故点P的坐标为（．
②设 A（x1， y1）， B（ x2，y2），
由? k＜﹣．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣ 4=0，
| x2﹣1
= ，
x | =
O 到直线 l 的距离 d=，
|AB|= | x2﹣1 ，
x | =
△OAB的面积为S===，
解得 k=﹣，（正值舍去），m=3．
∴ y=﹣为所求．
16．如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA， PB的中点均在 C 上．
（Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1（ x＜0）上的动点，求△ PAB面积的取值范围．
【解答】 解：（Ⅰ）证明：可设 P （m ， n ），A （ ，y ）， （ ， y 2 ），
1 B
AB 中点为 M 的坐标为（
，
），
抛物线 C ： y 2=4x 上存在不同的两点 A ， B 满足 PA ，PB 的中点均在 C 上，
可得（
）2=4?
，
（
）2=4?
，
化简可得 y 1，y 2 为关于 y 的方程 y 2﹣2ny+8m ﹣n 2=0 的两根，可得 y 1+y 2=2n ，y 1y 2=8m ﹣n 2，
可得 n=
，
则 PM 垂直于 y 轴；
（ Ⅱ）若 P 是半椭圆 x 2
+
=1（ x ＜0）上的动点，
可得 m 2
+ =1，﹣ 1≤m ＜0，﹣ 2＜ n ＜ 2，
由（ Ⅰ）可得 y 1+y 2=2n ， y 1y 2=8m ﹣n 2，
由 PM 垂直于 y 轴，可得△ PAB 面积为 S= | PM| ?| y 1﹣y 2 |
= （
﹣m ）?
=[
?（4n 2﹣16m+2n 2）﹣ m] ?
=
（n 2﹣4m ）
，
可令 t=
=
=
，
可得 m=﹣ 时， t 取得最大值
；
m=﹣1 时， t 取得最小值 2，
即 2≤t≤，
则 S=t 3在 2≤ t≤递增，可得S∈[ 6，] ，
△ PAB面积的取值范围为 [ 6，] ．
17．设椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为 F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（ b，0），且 | FB| ?| AB| =6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＞ 0）与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．若=sin∠AOQ（ O 为原点），求 k 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+ =1（a＞b＞0）的焦距为 2c，
由椭圆的离心率为e=，
∴= ；
又 a2=b2+c2，
∴ 2a=3b，
由 | FB| =a， | AB| = b，且 | FB| ?| AB| =6 ；
可得 ab=6，
从而解得 a=3，b=2，
∴椭圆的方程为
+ =1；
（ Ⅱ）设点 P 的坐标为（ x 1，y 1），点 Q 的坐标为（ x 2， y 2），由已知 y 1＞y 2＞ 0；
∴ | PQ| sin ∠AOQ=y 1﹣ y 2；
又 | AQ| =
，且∠ OAB= ，
∴ | AQ| = y ，
由=sin ∠AOQ ，可得 5y 1=9y 2；
由方程组
，消去 x ，可得 y 1= ，
∴直线 AB 的方程为 x+y ﹣2=0；
由方程组
，消去 x ，可得 y 2
；
=
由 5y 1
2，可得
5 （
k+1 ）
=3
，
=9y
两边平方，整理得 56k 2﹣ 50k+11=0，
解得 k= 或 k= ；
∴ k 的值为 或 ．
18．已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： +
=1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中
点为 M （ 1， m ）（ m ＞0）．
（ 1）证明： k ＜﹣ ；
（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且
+ + = ．证明： | | ，| | ，
|
| 成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】 解：（1）设 A （ x 1 ，y 1），B （ x 2，y 2），
∵线段 AB 的中点为 M （1，m ），
∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m
将 A ，B 代入椭圆 C ：
+ =1 中，可得
，
两式相减可得， 3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2） +4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2） =0，
即 6（x 1﹣x 2） +8m （y 1﹣ y 2）=0，
∴ k=
=﹣ =﹣
点 M （1，m ）在椭圆内，即
，
解得 0＜m
∴
．
（ 2）证明：设 A （x 1， y 1）， B （ x 2，y 2 ），P （x 3，
y 3），可得 x 1+x 2=2，
∵
+ + = ，F （1，0），∴ x 1﹣
2﹣ 3﹣
， 1 2 3 ，
1+x 1+x 1=0 y +y +y =0
∴ x 3 ，
=1
∵ m ＞0，可得 P 在第一象限，故
，m= ，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则 | FA| =a ﹣ex 1
﹣ x 1， ﹣ 2， ﹣ 3．
=2 | FB| =2 x | FP| =2 x =
则 | FA|+| FB| =4﹣ ，∴ | FA|+| FB| =2| FP| ，
联立
，可得 | x 1﹣ 2
x | =
所以该数列的公差 d 满足 2d= | x 1﹣ x 2| = ，
∴该数列的公差为±
．
19．设抛物线 C ： y 2 =4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k （k ＞0）的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， | AB| =8．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），当直线的斜率不存在时， | AB| =4，不满足；
设直线 AB 的方程为： y=k（x﹣1），设 A（x1， y1）， B（ x2，y2），
则，整理得： k2 2﹣ 2（ k2 +2）x+k2 ，则12 ，12 ，
x =0x +x = x x =1
由 | AB| =x1 2 ，解得： 2 ，则，
+x +p= +2=8 k =1 k=1
∴直线 l 的方程 y=x﹣ 1；
方法二：抛物线 C：y2
=4x 的焦点为（，），设直线
AB
的倾斜角为θ，由抛物
F 1 0
线的弦长公式 | AB| = = =8，解得： sin2θ=，
∴θ=，则直线的斜率 k=1，
∴直线 l 的方程 y=x﹣ 1；
（2）过 A，B 分别向准线 x=﹣ 1 作垂线，垂足分别为 A1，B1，设 AB 的中点为 D，过 D 作 DD1⊥准线 l，垂足为 D，则 | DD1| = （ | AA1|+| BB1| ）
由抛物线的定义可知： | AA1| =| AF| ，| BB1| =| BF| ，则 r=| DD1| =4，
以 AB 为直径的圆与 x=﹣1 相切，且该圆的圆心为AB 的中点 D，
由（ 1）可知： x1 +x2=6，y1+y2=x1+x2﹣ 2=4，
则 D（3，2），
过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=16．．
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：概率
概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求
2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1 ) B ．(0,1) C ．(1，e) D ．(0,2) 解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0 ＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析：因为f ′(x )＝2x －2sin x ，[f ′(x )]′＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A. 答案：A 3．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .
答案：B 4．若函数f (x )＝2x 3 －3mx 2 ＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.? ????－∞，52 D.? ????－∞，52 解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2 －6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2，＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5 2，故选D. 答案：D 5．函数f (x )＝12x 2 －ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2 －1 x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
高考文科数学导数全国卷
导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，
2018年高考真题-单选题-分类汇总 (1)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A= ，B= ， ， ， ， ，则 （A ） （B ） ， ， （C ） ， ， （D ） ， ， ， （2）若x,y 满足 2030x y x y x -≤??+≤??≥? ，则2x+y 的最大值为 （A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设a ,b 是向量，则“=a b ”是“+=-a b a b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知x,y R,且x y o ，则 （A ） - （B ）
（C ） (- 0 （D ）lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ） （B ） （C ） （D ）1 (7)将函数 （ ﹣π ）图像上的点P （π ，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数 （ ）的图像上，则 （A ）t= ，s 的最小值为π （B ）t= ，s 的最小值为π （C ）t= ，s 的最小值为π （D ）t= ，s 的最小值为π （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 二、选择题（5×4=20） 15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得
高考真题理科数学导数
2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a
5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 理数(附参考答案)
2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 （附参考答案） 一、选择题。 1.（2019全国II 理2）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】C ． 2.（2019北京理1）已知复数i z 21+=，则z z ?= （A （B （C ）3 （D ）5 【答案】（D ）. 3.（2019全国III 理2）若(1i)2i z +=，则z =A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i 【答案】D ． 4.（2019全国I 理2）设复数z 满足 =1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22 + 11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．2 2 (+1)1 y x +=【答案】C ． 5.（2019全国II 理2）设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C ． 6.（2018北京）在复平面内，复数 1 1i -的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D ． 7.（2018全国卷Ⅰ）)设1i 2i 1i z -=++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 【答案】C ．8.（2018全国卷Ⅱ） 12i 12i +=-A ．43i 55 - -B ．43i 55 - +C ．34i 55 - -D ．34i 55 - +【答案】D ．
9.（2018全国卷Ⅲ）(1i)(2i)+-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D ．10.（2018浙江）复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B ． 11.（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数1z ，2z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为A ．1p ，3p B ．1p ，4 p C ．2p ，3 p D ．2p ，4 p 【答案】B ．12.（2017新课标Ⅱ） 3i 1i ++A ．B ． C ． D ． 【答案】D ． 13.（2017新课标Ⅲ）设复数z 满足(1i)2z i +=，则||z = A ． 12 B ． 2 C D ．2 【答案】C ． 14.（2017山东）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =+，4z z ?=，则a = A ．1或-1 B 或 C ．- D ．【答案】A ． 15.（2017北京）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围 是A ．(,1) -∞B ．(,1) -∞-C ．(1,) +∞D ．(1,) -+∞
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
人教版2017年高考数学真题导数专题
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
2018年高考数学—导数专题
导数 (选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x x在x＝ π 2处的切线方程为() A.y＝0 B.y＝2π C.y＝－ 4 π2 x＋ 4 π D.y＝ 4 π2 x 解析∵y′＝x cos x－sin x x2，∴y′|x＝ π 2＝－ 4 π2 ， 当x＝π 2时，y＝ 2 π ， ∴切线方程为y－2 π ＝－ 4 π2? ? ? ? ? x－ π 2 ，即y＝－ 4 π2 x＋ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)＝(2x＋1)e x， 所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x， 所以f′(0)＝3e0＝3. (2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析y′＝a－ 1 x＋1 ，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2， 所以a＝3. (2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为() A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴?????y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1 x ，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由?????y ＝2x －1，y ＝ax 2 ＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1. 设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由?????2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得???x 0＝－12，a ＝8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：集合
集合 2019年 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 解析：依题意可得，2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜， 所以2|}2{M N x x =-I ＜＜． 故选C ． 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 解析：由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ，{}10(,1)A x x =-<=-∞，则(,1)A B =-∞I .故选A. 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 3.解析 因为{}1,0,1,2A =-，2{|1}{|1 1}B x x x x ==-剟?， 所以{}1,0,1A B =-I ．故选A ． 4.（2019江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I . 解析 因为{}1,0,1,6A =-，{}|0,B x x x =>∈R ， 所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I . 5.（2019浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I e= A ．{}1- B ．{}0,1? C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 解析 {1,3}U A =-e，{1}U A B =-I e .故选A ． 6.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =高考数学真题导数专题及答案
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数