矩阵单元综合测试题

矩阵单元综合测试题

一、填空题（每小题1分，满分14分）

1．设A ，B 是数域F 上的两个矩阵，如果A 与B 能够相加，则

A 与

B 必是同型矩阵。

2.设A,B,C 为n 阶方阵且可逆，则当AB=C 时，B=C A 1-.

.0,0,0.3可能等于则若AB B A ≠≠

.

.AB ,,,,,.4****B A B A B A B A B A AB kA n F B A T T 和，中一定可逆的有阶可逆矩阵，下列矩阵上的两个是数域设+5.三阶初等矩阵)3(12T 是????

? ??100010031。 6.设A 是数域F 上的n 阶方阵，,)(10n n

x a x a a x f +++=Λ则f(A)是数域F 上的n 阶方阵，且n n

A a A a I a A f +++=Λ10)(. 7.若A 为对合矩阵（即I A =2），则A 一定可逆，且.1A A =-

8.若A 的秩为r,则A 的标准型为???? ?

?000r I 。 9.若.1)(A 1A ,0,1**1-**A A

A A A I A A A AA ==≠==-，则且 10.设A 是n 阶矩阵，则A 可逆的充要条件r(A)=n 、或0≠A 或 I A ?或A 可以表示成一些初等矩阵的乘积。

11．设1)(0A ,),2,3,2,1(====A r A T T ，的转置，则是其中ααααα。

12．设????

? ??==-????? ??--=0000001-00B ,,1001101112则I AB A A 。

13．如果向量组{

}s ααα,,,21Λ线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性 无关；如果{

}s ααα,,,21Λ中有一部分向量线性相关，那么整个向量组{

}s ααα,,,21Λ线性相关。 14.设向量组{

}321,,ααα线性无关，向量组{}321,,βββ可由向量组{

}321,,ααα线性表出，且 ,3,2,431332123211ααβαααβαααβ-=-+=++= 则向量组{}321,,βββ线性无关。

二、判断题（每小题1分，满分14分）

1.若方阵A 对任意的同阶方阵B 都有AB=B ，则必有A=I 。（∨）

2.设.0,0,0≠≠≠AB B A np mn 则 （×）

.2)(,.3222B AB A B A n B A ++=+阶方阵，则有为设 （×）

4.若AB=AC ，且A ≠0，则B=C 。 （×）

5.上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它的所有主对角线上的元素都是非零数。 （∨）

6.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。 （∨）

7.设)(k T ij 是第三类初等矩阵，则有).()(1k T k T ij ij -=- （∨）

8.若r(A)=r,则A 至少有一个r-1阶子式不等于零。 （∨） =B 的充要条件是A=I 。 （×）

10.对于分块矩阵???

? ??=B A C 00，必有r(C)=r(A)+r(B). (∨) 11.若 A+B 与 A-B 均可逆，则A ，B 一定可逆。 （×）

12. 可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 （×）

13.设向量组4321,,,αααα线性无关，则组,,3221αααα++ 1443,αααα++的秩为3. （∨）

14.设),,,(;3,2,1),,,,,(32154321j j j j i i i i i i a a a i a a a a a ===βα .3,2,1=j 如果321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性相关。（∨）

三、单项选择题（每小题2分，满分24分）

1.下列结论正确的是（ C ）

（A ）两个矩阵可相加一定可乘；

(B ）两个矩阵可乘一定可相加；

（C ）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵；

（D ）在)(F M n m ?中可普遍施行矩阵的加法和乘法。

2．以下结论正确的只有（ B ）

（A ）初等矩阵的逆矩阵是本身；

（B ）初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；

（C ）初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；

（D ）任一个n 阶矩阵都可以写成初等矩阵的乘积形式。

3．下列结论不正确的是（ D ）

（A ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是0≠M ；

（B ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是存在可逆矩阵P 使得MP=I ；

（C ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的乘积； （Ｄ）n 阶矩阵M 可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的和。 ４．设Ａ，Ｂ均为Ｆ上的可逆矩阵，则（B ）

)0()()()()()()()()()(111

11111≠=+=+'=''

'='--------k kA kA D B A B A C A B B A B B A AB A ５．矩阵???

? ??-ααααcos sin sin cos 的伴随矩阵是（A ） （A ）???? ??-ααααcos sin sin cos ； （B ）???

? ??-ααααcos sin sin cos ； （C ）???

? ??--ααααcos sin sin cos ； （D ）???? ??--ααααcos sin sin cos 6．设A ，B 为n 阶矩阵，且A 可逆，秩B=r

（A ）k

7.已知n 阶方阵等于零的元素个数多于n n -2个（位置不论），则必有（ C ）

（A ）r(A)=0; (B) r(A)=n-1;

(C) r(A)

8.设A ，B 是任意n 阶方阵，则（ D ）

（A ）r(AB)=max{r(A),r(B)}; (B) r(AB)=min{r(A),r(B)};

(C) r(AB)=r(BA) (D) 以上三个结论都不正确。

9．设3阶方阵A 的行列式A A A ,2

1*1为的逆矩阵，为-=A A 的伴随矩阵，则.A 2

1-A 1-*）（）（D = （A ）0； （B ） -3； （C ） 4

27； （D ） 427-；

10．设3阶方阵????? ??+++=????? ??=23222113331232113113

1211333231232221131211,a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ； ）则必有（C ,101010001,010********????

? ??=????? ??=P P B A P P D B A P P C B P AP B B P AP A ====12211221)()()(,)(

11. 设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而21β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k,必有

（A ）。

（A ）21321,,,ββααα+k 线性无关；

（B ）21321,,,ββααα+k 线性相关；

（C ）21321,,,ββαααk +线性无关；

（D ）21321,,,ββαααk +线性相关。

12.以下各向量组中线性无关的向量组为（A ）

(A) (2,-3,4,1),(5,2,7,1),(-1,-3,5,5)

(B) (12,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16)

(C) (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)

(D) (1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)

四、计算下列各题（每小题4分，满分20分）

1．已知.,2,401312101,321043121X B X A B A T 求矩阵且=+????

? ??--=????? ??-=

解 设.,2,333231232221131211有由T B X A a a a a a a a a a X =+????

?

??= ，解得????? ??--=????? ?

?++++++++431010121642862-42333231232221131211a a a a a a a a a ????

? ??-=2-1-307-6-12-1-X 2．试将矩阵???

? ??8642表为对称矩阵与反对称矩阵之和。 解 令???

? ??='=???? ??='+=011-0A -A 21C 8552A A 21B ）（，）（，则B ，C 为所求。

3．已知.B ,3431223211-利用初等变换求????

? ??=B ?????? ??----=?????? ??----?→?????

? ??------?→?????? ??-1112532323

1111100253230102310011036200125200013211003430101220013211B ，所以解 4．解矩阵方程 ???

? ??-=???? ??12643152X 。

???

? ??=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??=???? ??-=???? ?????? ??≠=8023-2126421-5-312643152X 1264315231520131521-可得可逆，由，所以解X Θ

5.求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。

)5,4,3,2,1(),0,0,0,1,0(),1,0,1,0,1(321===ααα )10,9,8,7,6(),4,5,4,6,4(54==αα

解 将向量组组成以下矩阵???????? ??=104501954008430176210

64101,A ，对A 进行初等行变换，化为阶梯型矩阵为???????

? ??=00000110001010076210

64101B ，由于矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量的线性关系，而矩阵B 的1，2，3，4列向量线性无关，所以4321,,,αααα是所给向量组的一个极大无关组，所以其秩为4.

五、证明下列各题（本题满分21分）

1．设A ，B 都是n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则A 和B 都可逆。（5分）

证明 因为AB 可逆，所以000≠≠?≠=B A B A AB 且，所以A 和B 都可逆。

2．设A ，B 为同阶反对称矩阵，证明：AB+BA 为对称矩阵，AB-BA

为反对称矩阵。（5分）

)

()()()(,BA AB B A A B BA AB BA AB B A A B BA AB B B A A --=''-''='-+=''+''='+?

-='-='Θ证明 所以AB+BA 为对称矩阵，AB-BA 为反对称矩阵。

3．设方阵A 适合07323=++I A A ，证明A 可逆。（5分）

可逆。

（行列式得

两边同取

可得（由证明A A I A I A I A I I A A ?≠?≠-=+-=+=++007)3,7)3A 0732223 4.设向量β可由向量组r αααα,,,,321Λ线性表出，但不能由1321,,,,-r ααααΛ线性表出，证明r α可由1321,,,,-r ααααΛ，β线性表出。（6分）

证明 假设r α不能由1321,,,,-r ααααΛ，β线性表出，由已知向量β可由向量组r αααα,,,,321Λ线性表出，不妨设为 ∑==r

i i i k 1αβ

由于r α不能由1321,,,,-r ααααΛ，β线性表出，显然可得 ∑-=-==1

1,0r i i i r r k k αβα否则有

于是有∑-==1

1r i i i k αβ，即β可由向量组1321,,,,-r ααααΛ线性

表出，这与已知条件矛盾，于是r α可由1321,,,,-r ααααΛ，β线性表出。