高三理科数学专题复习课后练习46
高三数学一轮复习课时规范练46双曲线文含解析新人教A版
课时规范练46 双曲线基础巩固组1.(2020山东济南三模,6)已知双曲线C 的方程为x 216−y 29=1,则下列说法错误的是( )A.双曲线C 的实轴长为8B.双曲线C 的渐近线方程为y=±34x C.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为942.设双曲线C :x 28−y 2m =1(m>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M ,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上.若∠F 2MN=∠F 2NM ,则|MN|= ( )A.8√2B.8C.4√2D.43.(2019全国3,理10)双曲线C :x 24−y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√24.(2020全国3,理11)设双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√5.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4,则a=( ) A.1B.2C.4D.85.(2020陕西安康高新中学检测)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 为C 的左顶点,以F 1F 2为直径的圆与C 的一条渐近线交于M ,N 两点,且∠MAN=135°,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A.y=±12x B.y=±√33x C.y=±√3x D.y=±2x6.(2020山东泰安三模,8)如图,已知双曲线C :x 2a 2−y 2a+2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是C 上位于第一象限内的一点,且直线F 2M 与y 轴的正半轴交于点A ,△AMF 1的内切圆在边MF 1上的切点为N ,若|MN|=2,则双曲线C 的离心率为( ) A.√52B.√5C.2D.√27.(2020全国2,理8,文9)设O 为坐标原点,直线x=a 与双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D ,E 两点.若△ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A.4B.8C.16D.328.(2020天津,7)设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b )的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行,另一条渐近线与l 垂直,则双曲线C 的方程为( ) A.x 24−y 24=1B.x 2-y 24=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 2=19.(2020河北唐山模拟)过双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F (-√5,0),作圆(x-√5)2+y 2=4的切线,切点在双曲线E 上,则E 的离心率等于( ) A.2√5B.√5C.√53D.√5210.(2020江苏,6)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2−y 25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x ,则该双曲线的离心率是 . 11.(2020北京,12)已知双曲线C :x 26−y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ;C 的焦点到其渐近线的距离是 .综合提升组12.(2020浙江,8)已知点O (0,0),A (-2,0),B (2,0).设点P 满足|PA|-|PB|=2,且P 为函数y=3√4-x 2图象上的点,则|OP|=( ) A.√222B.4√105C.√7D.√1013.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,以F 为圆心,半实轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ,Q ,若OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 为原点),则双曲线C 的离心率为( )A.√7B.√5C.√52D.√7214.(2020全国1,理15)已知F 为双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 .15.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线的渐近线上存在点P ,使得|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线C 的离心率的取值范围是 .创新应用组16.已知双曲线C :x 24-y 2=1,直线l :y=kx+m 与双曲线C 相交于A ,B 两点(A ,B 均异于左、右顶点),且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,则直线l 所过定点为 .▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练46 双曲线1.D 由题意a=4,b=3,则c=5,则双曲线C 的实轴长为2a=8,故A 正确; 双曲线C 的渐近线方程为y=±ba x=±34x ,故B 正确; 取焦点F (5,0),则焦点F 到渐近线y=±34x 的距离d=√32+42=3,故C 正确;双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c-a=5-4=1,故D 错误.故选D .2.A 由∠F 2MN=∠F 2NM 可知,|F 2M|=|F 2N|.由双曲线定义可知,|MF 2|-|MF 1|=4√2,|NF 1|-|NF 2|=4√2,两式相加得|NF 1|-|MF 1|=|MN|=8√2.故选A .3.A 由已知可得a=2,b=√2, 则c=√a 2+b 2=√6,∴F (√6,0). ∵|PO|=|PF|,∴x P =√62.又P 在C 的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=√22x 上,∴y P =√22×√62=√32. ∴S △PFO =12|OF|·|y P |=12×√6×√32=3√24.故选A .4.A不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,{ca =√5,12mn=4,m2+n2=4c2,m-n=2a,解得a=1.5.D设以F1F2为直径的圆与渐近线y=bax相交于点M(x0,y0)(x0>0),由对称性得N(-x0,-y0).由{y=bax,x2+y2=c2,解得M(a,b),N(-a,-b).∵A(-a,0),∴∠NAF2=90°,又∠MAN=135°,∴∠MAF2=45°,∴b=2a,∴渐近线方程为y=±2x.故选D.6.D设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|.|MF1|-|MF2|=2a,则|EF1|+|MG|-|MF2|=2a,由对称性可知|AF1|=|AF2|,化简可得|MN|=a,则a=2,a+2=4.故双曲线C的离心率为√22+42=√2.7.B由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点, 所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以S△ODE=12×2b·a=ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2√2时取等号.所以c≥4,所以2c≥8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.8.D∵双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,y2=4x的焦点坐标为(1,0),直线l方程为yb +x1=1,即y=-bx+b,∴-b=-ba且-b·ba=-1,∴a=1,b=1.故选D.9.B设圆的圆心为G,由圆的方程(x-√5)2+y2=4,知圆心坐标为G(√5,0),半径R=2,则|FG|=2√5.设切点为P,则GP⊥FP,|PG|=2,|PF|=2+2a.由|PF|2+|PG|2=|FG|2,即(2+2a)2+4=20,即(2+2a)2=16,得2+2a=4,a=1.又因为c=√5,所以双曲线的离心率e=ca=√5.故选B.10.32本题考查双曲线的渐近线方程.由双曲线x 2a2−y25=1(a>0),得其渐近线方程为y=±√5ax,又因为其中一条为y=√52x,所以a=2.所以c2=a2+b2=4+5=9,所以c=3.则离心率e=ca =32.11.(3,0)√3在双曲线C中,a=√6,b=√3,则c=√a2+b2=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0).因为双曲线C的渐近线方程为y=±√22x,即x±√2y=0,所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为d=√12+2=√3.12.D由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,所以双曲线方程为x2-y23=1(x>0).又点P为函数y=3√4-x2图象上的点,联立方程{x2-y23=1(x>0),y=3√4-x2,解得x2=134,y2=274.所以|OP|=√x2+y2=√10.故选D.13.D设双曲线的一条渐近线方程为y=bax,H为PQ的中点,可得FH⊥PQ,由F(c,0)到渐近线的距离为|FH|=d=√a2+b2=b,∴|PH|=√a2-b2.又OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|OH|=√c2-b2=2√a2-b2,即7a2=4c2,∴e=√72,故选D.14.2由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=√a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为B(c,±b 2a ).∵AB的斜率为3,∴B(c,b 2a ).∵k AB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,∴e=2.15.(1,53]设P(x,y),则(x+c)2+y2=4〖(x-c)2+y2〗,化简得(x-53c)2+y2=169c2,所以点P在以M(5c3,0)为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bx±ay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53 bc√b2+a2≤43c,解得5b≤4c,即ca≤53,所以双曲线离心率的取值范围是(1,53].16.-103,0 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =kx +m ,x 24-y 2=1,得(1-4k 2)x 2-8kmx-4(m 2+1)=0, 所以Δ=64k 2m 2+16(1-4k 2)(m 2+1)>0,x 1+x 2=8km 1-4k2,x 1x 2=-4(m 2+1)1-4k2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2-4k 21-4k 2.因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (-2,0),所以k AD ·k BD =-1, 即y 1x 1+2·y 2x 2+2=-1,所以y 1y 2+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=0, 即m 2-4k 21-4k 2+-4(m 2+1)1-4k 2+16km 1-4k2+4=0,所以3m 2-16km+20k 2=0,解得m=2k 或m=10k 3.当m=2k 时,直线l 的方程为y=k (x+2),此时直线l 过定点(-2,0),与已知矛盾; 当m=10k 3时,直线l 的方程为y=k x+103,此时直线l 过定点-103,0,经检验符合题意.故直线l 过定点-103,0.。
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之46三角函数线
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之46三角函数线一、选择题（共40小题；共200分）1. sin43π的值是( )A. 12B. −12C. √32D. −√322. 若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A. y轴上B. x轴上C. 直线y=x上D. 直线y=−x上3. 设π4<α<π2，sinα=a，cosα=b，tanα=c，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. b>a>cC. a>b>cD. b<a<c4. 若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是( )A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能确定5. 已知角α的终边与单位圆交于点(−√32,−12)，则sinα的值为( )A. −√32B. −12C. √32D. 126. 有三个命题；①π6和5π6的正弦线相等；②π3和4π3的正切线相等；③π4和5π4的余弦线相等．其中真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个7. 设α是第四象限的角，则sinα和tanα的大小关系是( )A. sinα>tanαB. sinα<tanαC. sinα≥tanαD. 不确定8. 已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A. x轴上B. y轴上C. 直线y=x上D. 直线y=−x上9. 若2sinθ=−3cosθ，则θ的终边可能在( )A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第二、四象限10. 已知x∈(π4,5π4)，则sinx与cosx的大小关系是( )A. sinx≥cosxB. sinx≤cosxC. sinx>cosxD. sinx<cosx11. 在[0,2π]上满足sinα≥12的α的取值范围是( )A. [0,π6] B. [π6,5π6] C. [π6,2π3] D. [5π6,π]12. 已知角α=2kπ−π5（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y=sinθ∣sinθ∣+cosθ∣cosθ∣+tanθ∣tanθ∣的值为( )A. 1B. −1C. 3D. −313. 设a=sin(−1)，b=cos(−1)，c=tan(−1)，则有( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. a<c<b14. 利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )A. sin1>sin1.2>sin1.5B. sin1>sin1.5>sin1.2C. sin1.5>sin1.2>sin1D. sin1.2>sin1>sin1.515. 已知α是第二象限角，P(x,√5)为其终边上一点，且cosα=√24x，则x=( )A. √3B. ±√3C. −√2D. −√316. 已知α，β是第一象限的角，且sinα>sinβ，则( )A. α>βB. α<βC. cosα>cosβD. tanα>tanβ17. sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )A. sin1>sin1.2>sin1.5B. sin1>sin1.5>sin1.2C. sin1.5>sin1.2>sin1D. sin1.2>sin1>sin1.518. 如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于直线y=x对称D. 关于原点对称19. 若−3π4<α<−π2，则sinα，cosα，tanα的大小关系是( )A. sinα<tanα<cosαB. tanα<sinα<cosαC. cosα<sinα<tanαD. sinα<cosα<tanα20. 如果MP，OM分别是角α=3π16的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A. MP<OM<0B. MP<0<OMC. MP>OM>0D. OM>MP>021. 若α∈(2kπ+π4,2kπ+π2)(k∈Z)，则sinα，cosα，tanα的大小关系为( )A. tanα>sinα>cosαB. tanα>cosα>sinαC. tanα<sinα<cosαD. tanα<cosα<sinα22. 已知x∈(π4,5π4)，则sinx与cosx的大小关系是( )A. sinx≥cosxB. sinx≤cosxC. sinx>cosxD. sinx<cosx23. 已知角θ是第四象限角，则sin(sinθ)( )A. 大于0B. 大于或等于0C. 小于0D. 小于或等于024. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A. 正弦线PM，正切线AʹTʹB. 正弦线MP，正切线AʹTʹC. 正弦线MP，正切线ATD. 正弦线PM，正切线AT25. 若 α 是第一象限角，则 sinα+cosα 的值与 1 的大小关系是 ( ) A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能确定26. 如果 π4<α<π2，那么下列不等式成立的是 ( )A. cosα<sinα<tanαB. tanα<sinα<cosαC. sinα<cosα<tanαD. cosα<tanα<sinα27. 设 sin (π4+θ)=13，则 sin2θ= ( )A. −79B. −19C. 19D. 7928. 已知 α 是第二象限角，下列四个不等式可能成立的是 ( ) ① tan α2>sin α2>cos α2； ② sin α2>cos α2>tan α2； ③ tan α2>cos α2>sin α2；④ cos α2>tan α2>sin α2． A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④29. 如果 α 、 β 都是第二象限角，且 α>β，那么 ( )A. sinα>sinβB. sinβ>sinαC. sinα≥sinβD. 不能确定30. 设 0≤x ≤2π，且 √1−sin2x =sinx −cosx ，则 ( )A. 0≤x ≤πB. π4≤x ≤7π4 C. π4≤x ≤5π4 D. π2≤x ≤3π231. 满足 tanα≥cotα 的角 α 的一个取值区间是 ( )A. [π4,π2]B. [0,π4]C. (0,π4)D. (π4,π2)32. 设 θ 是第二象限的角，则必有 ( )A. tan θ2>cot θ2B. tan θ2<cot θ2C. sin θ2>cos θ2D. sin θ2<cos θ233. 若 0<α<2π，且 sinα<√32，cosα>12 则角 α 的取值范围是 ( )A. (−π3,π3) B. (0,π3)C. (5π3,2π)D. (0,π3)∪(5π3,2π)34. 若角 α 的终边落在直线 x +y =0 上，则√1−sin 2α√1−cos 2αcosα的值等于 ( )A. 2B. −2C. 2 或 −2D. 035. 若点 P (sinα−cosα,tanα) 在第一象限，则在 [0,2π) 内 α 的取值范围是 ( )A. (π2,3π4)∪(π,5π4) B. (π4,π2)∪(π,5π4)C. (π2,3π4)∪(5π4,3π2) D. (π2,3π4)∪(3π4,π) 36. sin1，cos1，tan1 的大小关系为 ( )A. tan1>sin1>cos1B. sin1>tan1>cos1C. sin1>cos1>tan1D. tan1>cos1>sin137. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )A. B.C. D.38. 已知tanα=12，则cos2α的值为( )A. −15B. −35C. 45D. 3539. 已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )A. 若α,β是第一象限角，则cosα>cosβB. 若α,β是第二象限角，则tanα>tanβC. 若α,β是第三象限角，则cosα>cosβD. 若α,β是第四象限角，则tanα>tanβ40. 已知sin(θ+π)<0，cos(θ−π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A. tanθ2<cotθ2B. tanθ2>cotθ2C. sinθ2<cosθ2D. sinθ2>cosθ2二、填空题（共40小题；共201分）41. 若θ∈(0,π2)，则sinθ与tanθ的大小关系是．42. 三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线）于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα=，cosα=，tanα=．43. sin7π6的值等于．44. 若角α的正弦线的长度为12，且方向与y轴的正方向相反，则sinα=．45. 比较大小：sin2π3sin4π5．（填“>”“<”或“=”）46. 若sinα2=−12，α∈[2π,3π]，则α= .47. 如图，点P从(1,0)出发，沿单位圆按顺时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为 .48. 已知点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限，则角θ是第象限角.49. 若θ∈(3π4,π)，则下列各式错误的是．①sinθ+cosθ<0；②sinθ−cosθ>0；③∣sinθ∣<∣cosθ∣；④sinθ+cosθ>0．50. 已知角α终边是OP，角β的终边是OQ．试在图中作出α，β的三角函数线，然后用不等号填空：（1）sinαsinβ；（2）cosαcosβ；（3）tanαtanβ．51. 已知角α的终边经过点(√2,−√2)，则sinα=，cosα=，tanα=．52. 已知MP，OM，AT分别为60∘角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有．（填序号）①MP<OM<AT；②OM<MP<AT；③AT<OM<MP；④OM<AT<MP．53. 角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线相等，且符号相同，则α的值为．54. 利用三角函数线求出满足sinα<12的角α的范围为．55. a=−cos2，b=−25，c=cos1，则a，b，c的大小顺序是．（按从小到大的顺序排列）56. 在(0,2π)内，使sinx≥∣cosx∣成立的x的取值范围为．57. 利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是．（用“>”连接）58. 若α为锐角，则sinα+cosα与1的大小关系是．59. 若π4<θ<π2，试将sinθ，cosθ与tanθ按从小到大的顺序排列为．60. 如果π<θ<5π4，那么sinθ，cosθ，tanθ的大小关系为．（用“ <”连接）61. 若3π4<θ<π，则sinθ2，cosθ2，tanθ2的大小关系是．62. sin1，cos1，tan1的大小关系为．（用“ >”连接）63. 已知α，β均为第二象限角，若sinα<sinβ，则tanα与tanβ的大小关系是tanαtanβ．（填“>”“<”或“=”）64. 若cosα>sinα(−π2<α<π2)，则角α的范围是．65. 不等式tanα+√33>0的解集是．66. sin1，cos1，tan1的大小顺序为．（按从大到小的顺序排列）67. 集合A=[0,2π]，B={α∣ sinα<cosα}，则A∩B=．68. sin25π，cos65π，tan75π从小到大的顺序是．69. 已知角α终边与单位圆的交点坐标是(−12,√32)，则cos2α=.70. 下列说法：①函数f(x)=lnx+3x−6的零点只有1个且属于区间(1,2)；②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立，则a∈(0,1)；③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点；④已知函数f(x)=log2a−x1+x为奇函数，则实数a的值为1．正确的有．（请将你认为正确的说法的序号都写上）71. 求函数f(x)=lg(3−4sin2x)的定义域为．72. 函数y=lg(3−4sin2x)的定义域为．73. 下面有五个命题：①函数y=sin4x−cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α∣ α=kπ2,k∈Z}；③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；④把函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π6个单位得到y=3sin2x的图象；⑤函数y=sin(x−π2)在[0,π]上是减函数．其中真命题的序号是．74. 若f(x)≥ℎ(x)=ax+b≥g(x)，则定义ℎ(x)为曲线f(x)，g(x)的ψ线．已知f(x)=tanx，x∈[0,π2)，g(x)=sinx，x∈[0,π2)，则f(x)，g(x)的ψ线为．75. 函数y=√2cosx−1的定义域为．76. 若角α的终边经过点P(−3,b)，且cosα=−35，则b=，sinα=．77. 已知π4<x<π2，设a=21−sinx，b=2cosx，c=2tanx，试比较a，b，c的大小．78. 已知点P(sinα−cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围为．79. 设角α是第三象限角，且∣∣sinα2∣∣=−sinα2，则角α2是第象限角.80. 已知定点M(−1,2)，动点N在单位圆x2+y2=1上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形OMPN，则点P到直线3x+4y+10=0距离的取值范围是 .三、解答题（共20小题；共260分）81. 求函数f(x)=√sinx−12的定义域．82. 在单位圆中画出满足−√22≤sinα≤12的角α的范围，并由此写出角α的集合．83. 利用三角函数线比较下列各组数的大小：（1）sin2π3与sin4π5；（2）tan2π3与tan4π5；（3）cos2π3与cos4π5．84. 利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（1）sinx>−12且cosx>12；（2）tanx≥−1．85. 在0到2π内，求使sinα>12的角α的取值范围；（2）在任意角范围内，求使 sinα>12的角 α 的取值范围．86. 已知 tanα=−3，求值：（1）3sinα−2cosα2sinα+cosα；（2）4sin 2α−3sinα⋅cosα； （3）5sin 3α+cosα2cos 3α+sin 2α+cosα．87. 已知 tanα=2，求下列代数式的值．（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα；（2）14sin 2α+13sinαcosα+12cos 2α． 88. 求证：当 0<α<π2 时，sinα+cosα>1．89. 已知 x 1，x 2∈(0,π2)，求证：tanx 1+tanx 2>2tan x 1+x 22．90. 已知 sinα+cosα=15．求：（1）sinα−cosα； （2）sin 3α+cos 3α．91. 求下列函数的定义域；（1）y =√2cosx −1； （2）y =lg (3−4sin 2x )．92. 已知 α∈(0,π2)，求证：1<sinα+cosα<π2． 93. 若 α 是第一象限角，比较 sin α2，tan α2的大小．94. 已知 cos (α−β)=−45，sin (α+β)=−35，π2<α−β<π，3π2<α+β<2π，求 β 的值． 95. 已知 tanα=4√3，cos (α+β)=−1114，α 、 β 均为锐角，求 cosβ 的值．96. 已知 0<α<π，试利用三角函数线讨论 sinα+cosα 值的变化规律． 97. 求函数 f (x )=√1−2cosx +ln (sinx −√22) 的定义域． 98. 当 α∈(0,π2) 时，求证：sinα<α<tanα．99. 已知 π4<x <π2，设 a =21−sinx ， b =2cosx ，c =2tanx ，试比较 a ，b ，c 的大小．100. （1）① 证明两角和的余弦公式C (α+β)：cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ； ② 由 C (α+β) 推导两角和的正弦公式 S (α+β)：sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ．（2）已知 cosα=−45,α∈(π,32π)，tanβ=−13,β∈(π2,π)，求 cos (α+β)．答案第一部分1. D2. B 【解析】由题意得∣cosα∣=1，即cosα=±1，则角α的终边在x轴上．3. D 【解析】在单位圆中作出角α的正弦线、余弦线、正切线，如图，sinα=∣MP∣，cosα=∣OM∣，tanα=∣AT∣，∣OM∣<∣MP∣<∣AT∣，所以b<a<c．4. A 【解析】如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sinα+cosα>1．5. B【解析】sinα=−121=−12．6. B7. A8. A 【解析】如图，根据余弦线的定义可知α的余弦线是OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可知当角α的终边和x轴正半轴或负半轴重合时，余弦线是单位长度的有向线段．9. D 【解析】已知2sinθ=−3cosθ，可得tanθ=−32，所以θ可能在第二、四象限．10. C【解析】角的终边落在第一、三象限平分线上时，sinx=cosx，终边落在左侧区域时，sinx>cosx，终边落在右侧区域时，sinx<cosx．11. B 12. B 【解析】由α=2kπ−π5(k∈Z)知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0 .所以 y =−1+1−1=−1 .13. C 【解析】比较三角函数值的大小，用正弦线、余弦线和正切线．如图，弧度数为 −1 的角的终边与单位圆交于点 P ，过 P 作 PM ⊥x 轴于 M ，过 A 作单位圆的切线 AT ，则 MP =sin (−1)，AT =tan (−1)，OM =cos (−1)．因为 MP <0，AT <0，OM >0，∣MP∣<∣AT∣，所以 OM >MP >AT ，即 cos (−1)>sin (−1)>tan (−1)，即 b >a >c ．利用三角函数线解题比较直观易懂． 14. C 15. D【解析】依题意得 cosα=√x 2+5=√24x <0 ，由此解得 x =−√3 .16. D 17. C 【解析】如图，易知 0<1<1.2<1.5<π2，∣AM ∣<∣BN ∣<∣CQ ∣，且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，所以 sin1<sin1.2<sin1.5．18. A 19. D 【解析】如图，在单位圆中，作出 −3π4<α<−π2 内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由上图知，∣OM ∣<∣MP ∣<∣AT ∣，考虑方向可得 sinα<cosα<tanα． 20. D21. A 22. C 【解析】角的终边落在第一、三象限角平分线上时，sinx =cosx ，终边落在左侧区域时，sinx >cosx ，终边落在右侧区域时，sinx <cosx .23. C 【解析】因为角 θ 为第四象限角，所以 −1<sinθ<0 ，令 α=sinθ ，则 −1<α<0 ， 所以角 α 为第四象限角， 所以 sinα=sin (sinθ)<0 . 24. C 25. A【解析】设 α 终边与单位圆交于点 P ，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M ，则 sinα=MP ，cosα=OM ，则 ∣OM∣+∣MP∣>∣OP∣=1，即 sinα+cosα>1．26. A 【解析】如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP 、余弦线 OM 、正切线 AT ，很容易地观察出 OM <MP <AT ，即 cosα<sinα<tanα．27. A 【解析】sin (π4+θ)=sin π4cosθ+cos π4sinθ=√22(sinθ+cosθ)=13，两边平方得：1+2sinθcosθ=29，即 2sinθcosθ=−79， 则 sin2θ=2sinθcosθ=−79． 28. B 29. D 30. C【解析】因为 √1−sin2x =√sin 2x +cos 2x −2sinx ⋅cosx =∣sinx −cosx ∣=sinx −cosx ，所以 sinx ≥cosx ，又因为 0≤x ≤2π，如图：所以 π4≤x ≤5π4．31. D 【解析】提示：将原不等式转化成 tanα≥1tanα，解得 tanα≥1 或 tanα≤−1，此时α∈(−π2+kπ,−π4+kπ]∪[π4+kπ,π2+kπ),k ∈Z.32. A 【解析】提示：θ 是第二象限的角，则 θ2 在图中阴影区域，利用三角函数线判断．33. D 【解析】提示：由 0<α<2π，且 sinα<√32，知 0<α<π3 或 2π3<α<2π，由 0<α<2π，且 cosα>12，知 0<α<π3 或 5π3<α<2π . 34. D 【解析】角 α 的终边在直线 y =−x 上． 若 α 为第二象限角，则原式=sinα∣cosα∣+∣sinα∣cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0.若 α 为第四象限角，则原式=sinα∣cosα∣+∣sinα∣cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0.35. B36. A 【解析】π4<1<π2，结合三角函数线得 tan1>sin1>cos1．37. C 【解析】由题图可知：当 x =π2时，OP ⊥OA ，此时 f (x )=0，排除 A ，D ；当 x ∈(0,π2) 时，OM =cosx ，设点 M 到直线 OP 的距离为 d ，则 dOM =sinx ，即 d =OMsinx =sinxcosx ，所以 f (x )=sinxcosx =12sin2x ≤12，排除 B ．38. D 【解析】cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−141+14=35.39. D 【解析】由三角函数线可以得结果，如下图：故选项A ，B ，C 的符号都反了，只有D 正确．40. B【解析】因为 sin (θ+π)<0，即 −sinθ<0，有 sinθ>0；cos (θ−π)>0，即 −cosθ>0，有 cosθ<0；所以 θ 为第二象限角，即 2kπ+π2<θ<2kπ+π，k ∈Z ．也就是：kπ+π4<θ2<kπ+π2，k ∈Z ，结合三角函数的定义可得答案． 第二部分 41. sinθ<tanθ42. MP ，OM ，AT ，MP ，OM ，AT 43. −12 44. −12 45. > 46. 7π3 47. (12,−√32) 48. 二【解析】因为点 P (sinθcosθ,2cosθ) 位于第三象限，所以 sinθcosθ<0，2cosθ<0 ，即 {sinθ>0,cosθ<0所以 θ 为第二象限角. 49. ④【解析】若 θ∈(3π4,π)，则 sinθ>0，cosθ<0，∣sinθ∣<∣cosθ∣， 所以 sinθ+cosθ<0． 50. >，<，<【解析】51. −√22，√22，−1 52. ②【解析】sin60∘=√32，cos60∘=12，tan60∘=√3．53. π4 或 54π54. (2kπ−76π,2kπ+π6),k ∈Z55. b <a <c 56. [π4,3π4]57. sin1.5>sin1.2>sin1【解析】因为1，1.2，1.5均在(0,π2)内，正弦线在(0,π2)内随α的增大而增大，所以sin1.5>sin1.2>sin1．58. sinα+cosα>1【解析】利用三角函数线进行解题，画出单位圆，如图所示：在Rt△OMP中，显然有OM+MP>OP，即sinα+cosα>1．59. cosθ<sinθ<tanθ60. cosθ<sinθ<tanθ61. cosθ2<sinθ2<tanθ262. tan1>sin1>cos163. >【解析】作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tanα>tanβ．64. (−π2,π4 )65. {α∣ kπ−π6<α<kπ+π2,k∈Z}【解析】不等式的解集如图所示（阴影部分），所以{α∣ kπ−π6<α<kπ+π2,k∈Z}．66. tan1>sin1>cos167. [0,π4)∪(54π,2π]68. cos65π<sin2π5<tan7π5【解析】cos6π5<0，tan7π5=tan2π5．因为0<x<π2时，tanx>x>sinx>0，所以tan2π5>sin2π5>0，所以tan7π5>sin2π5>cos6π5．69. −1270. ①④【解析】对①，f(1)=−3，f(2)=ln2＞0，因为f(−1)×f(2)＜0，且f(x)在(1,2)上是增函数，所以函数在(1,2)内只有一个零点．故①正确；对②，关于 x 的不等式 ax 2+2ax +1＞0 恒成立 ⇒a =0 或 {a >0,Δ<0, ⇒0≤a ＜1．故②不正确；对③，根据正弦线 ∣sinx ∣≤∣x ∣，当且仅当 “ x =0 ”时 取“ = ”，所以只有一个交点，故③不正确； 对④，由奇函数得 f (x )＝−f (−x )，log 2a−x 1+x＝−log 2a+x 1−x，即 a−x 1+x=(a+x 1−x)−1，解得 a 2=1，因为 a ≠−1，所以 a =1．故④正确． 71. (kπ−π3,kπ+π3),k ∈Z【解析】因为 3−4sin 2x >0，所以 sin 2x <34，所以 −√32<sinx <√32．如图所示．所以 x ∈(2kπ−π3,2kπ+π3)∪(2kπ+2π3,2kπ+4π3)(k ∈Z )．即 x ∈(kπ−π3,kπ+π3)(k ∈Z )． 72. (kπ−π3,kπ+π3)(k ∈Z ) 【解析】因为 3−4sin 2x >0， 所以 sin 2x <34． 所以 −√32<sinx <√32． 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围（如图阴影部分所示），所以 x ∈(kπ−π3,kπ+π3)(k ∈Z )． 73. ① ④【解析】① y =sin 4x −cos 4x =sin 2x −cos 2x =−cos2x ，故最小正周期为 π，①正确． ② 终边在 y 轴上的角的集合是 {α∣ α=π2+kπ,k ∈Z}，故 ② 错．③结合图象可知函数 y =sinx 的图象和函数 y =x 的图象只有一个交点 (0,0)，故 ③ 错．④ y =3sin (2x +π3) 的图象向右平移 π6 个单位得到 y =3sin (2(x −π6)+π3)=3sin2x ，故 ④ 正确． ⑤ y =sin (x −π2)=−cosx 在 [0,π] 上为增函数，故 ⑤ 错．74. y =x【解析】设 f (x )，g (x ) 的 ψ 线为 y =ax +b ．因为 sin0=tan0=0，所以 b =0；令 t (x )=ax −sinx ，因为 t (0)=0，所以 t (x ) 在 x ∈[0,π2) 上单调递增，所以 a ≥1；令 m (x )=tanx −ax ，因为 m (0)=0，所以 m (x ) 在 x ∈[0,π2) 上单调递增，所以 a ≤1．所以 a =1，故 f (x )，g (x ) 的 ψ 线为 y =x ．75. [2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z )【解析】因为 2cosx −1≥0，所以 cosx ≥12．由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围（如图阴影所示）．所以 x ∈[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z )． 76. 4（或−4），±45【解析】P (−3,b )⇒∣OP ∣=√9+b 2．由 cosα=−3∣OP∣=−35，可得 ∣OP ∣=5，即 √9+b 2=5，所以b 2=16，解得 b =±4．当 b =4 时，sinα=45，当 b =−4 时，sinα=−45． 77. a <b <c 【解析】如图，MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是角 x 的正弦线、余弦线，在 △OMP 中有 OM >OP −MP ，可得 cosx >1−sinx ． 又 AT >OA >OM ，即 tanx >1>cosx ， 于是 tanx >cosx >1−sinx ， 又因为函数 y =2x 为增函数， 所以 21−sinx <2cosx <2tanx ， 所以 a <b <c ．78. π4<α<π2 或 π<α<5π4【解析】由题意知 {sinα>cosα,tanα>0.如图所示，由三角函数线可得 {π4<α<5π4,0<α<π2或π<α<32π.所以 π4<α<π2 或 π<α<5π4．79. 四【解析】由 α 是第三象限角，知 2kπ+π<α<2kπ+3π2(k ∈Z ) ，所以 kπ+π2<α2<kπ+3π4(k ∈Z ) ，则 α2是第二或第四象限角，又 ∣∣sin α2∣∣=−sin α2，所以 α2只能是第四象限角. 80. [2,4] 第三部分81. 因为 sinx −12≥0， 所以 sinx ≥12，当 sinx =12，x =2kπ+π6 或 x =2kπ+5π6，k ∈Z ，在单位圆中，标记出这两类角的终边位置， 如图所示，根据正弦线的变化情况，我们得到 sinx ≥12 时，x ∈[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ．82. 在单位圆中作出满足 sinα=12 与 sinα=−√22的角的终边，然后根据已知条件确定角 α 的范围．作直线 y =12，y =−√22交单位圆于 A 、 B 、 C 、 D 四点，连接 OA 、 OB 、 OC 、 OD ，则 OA 、 OB 、 OC 、 OD 围成的区域（如图所示阴影部分）即为角 α 的范围，故满足条件的角 α 的集合为 {x∣ 2kπ+5π6≤α≤2kπ+5π4或2kπ−π4≤α≤2kπ+π6,k ∈Z} ．83. （1） 如图所示，画出角 2π3与 4π5的正弦线、余弦线、正切线，由图形观察可得：∣M 1P 1∣>∣M 2P 2∣，∣AT 1∣>∣AT 2∣，∣OM 1∣<∣OM 2∣， 结合有向线段的方向，我们可得 M 1P 1>M 2P 2，AT 1<AT 2，OM 1>OM 2， 又因为 sin 2π3=M 1P 1，sin4π5=M 2P 2，tan2π3=AT 1，tan4π5=AT 2，cos2π3=OM 1，cos 4π5=OM 2，所以 sin 2π3>sin4π5．（2） tan 2π3<tan 4π5． （3） cos2π3>cos4π5．84. （1） 由图 ① 知：当 sinx >−12 且 cosx >12 时，角 x 满足的集合： {x∣ −π6+2kπ<x <π3+2kπ,k ∈Z} ．（2） 由图 ② 知：当 tanx ≥−1 时，角 x 满足的集合：{x∣ 2kπ−π4≤x <2kπ+π2,k ∈Z}∪{x∣ 2kπ+34π≤x <2kπ+32π,k ∈Z}，即 {x∣ nπ−π4≤x <nπ+π2,n ∈Z} ．85. （1） 如图所示，作 y =12与以原点为圆心的单位圆交于 P 1，P 2．在 0 到 2π 内，OP 1，OP 2 分别是 π6，5π6 的终边，当角 α 的终边 OP 由 OP 1 逆时针旋转至 OP 2 时恒有 sinα>12； 当 OP 由 OP 2 逆时针旋转到 OP 1 时， 恒有 sinα<12，所以在 0 到 2π 范围内使 sinα>12 的角 α 的取值范围是 a ∈(π6,5π6)．（2） 把（1）中情形推广到任意角范围，可得使 sinα>12 的角 α 的取值范围是 (2kπ+π6,2kπ+5π6)(k ∈Z )．86. （1）3sinα−2cosα2sinα+cosα=3sinαcosα−22sinαcosα+1=3tanα−22tanα+1=3×(−3)−22×(−3)+1=115．（2）因为sin2α+cos2α=1，所以将分母1换成sin2α+cos2α，分子与分母再同时除以cos2α，即4sin2α−3sinα⋅cosα=4sin2α−3sinαcosαsin2α+cos2α=4tan2α−3tanαtan2α+1=92．（3）将原式分子中的cosα视为cosα⋅1，再将1换成sin2α+cos2α，分子与分母再同时除以cos3α，即原式=5sin 3α+cosα(sin2α+cos2α) 2cos3α+sin2αcosα=5sin3α+cosαsin2α+cos3α2cos3α+sin2αcosα=5tan3α+tan2α+12+tan2α=−12511．87. （1）原式=4tanα−23tanα+5=611．（2）原式=14sin2α+13sinαcosα+12cos2αsin2α+cos2α=14tan2α+13tanα+12tan2α+1=14×4+13×2+125=1330.88. 如图所示，因为0<α<π2，所以sinα=∣MP∣，cosα=∣OM∣，∣OP∣=1．又因为在△OPM中，有∣MP∣+∣OM∣>∣OP∣=1．所以sinα+cosα>1．89. 如图，在单位圆中，过A(1,0)作单位圆的切线AT，在AT上取B，C两点，使∠BOA=x1，∠COA=x2．设OD为∠COB的平分线，则∠DOA=x1+x22．取BC的中点E,不妨设x2>x1．由x2>x1及x1，x2∈(0,π2)，得∣OC∣>∣OB∣，∣AB∣=tanx1，∣AC∣=tanx2，∣AD∣=tan x1+x22．由OD为∠COB的平分线，根据三角形内角平分线的性质，得∣BD∣∣DC∣=∣OB∣∣OC∣，可知∣BC∣∣DC∣<1，即 ∣BD ∣<∣DC ∣，可得 ∣BE ∣>∣BD ∣,故 E 点在 C 点和 D 点之间，所以 ∣AE ∣>∣AD ∣． 而 12(∣AB ∣+∣AC ∣)=12(∣AB ∣+∣AB ∣+∣BC ∣) =12(2∣AB ∣+2∣BE ∣) =∣AB ∣+∣BE ∣=∣AE ∣，所以 12(tanx 1+tanx 2)>tan x 1+x 22,即 tanx 1+tanx 2>2tanx 1+x 22．90. （1） 由 sinα+cosα=15，得 2sinαcosα=−2425， 所以 (sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1+2425=4925，所以 sinα−cosα=±75．（2） sin 3α+cos 3α=(sinα+cosα)(sin 2α−sinαcosα+cos 2α)=(sinα+cosα)(1−sinαcosα)， 由（1）知 sinαcosα=−1225 且 sinα+cosα=15， 所以 sin 3α+cos 3α=15×(1+1225)=37125． 91. （1） 由题意，得 2cosx −1≥0， 所以 cosx ≥12，如图所示：x 应在阴影处活动，才能满足题意， 所以 x ∈[−π3+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )．所以该函数的定义域为 [−π3+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )． （2） 由题意，可得 3−4sin 2x >0．所以sin2x<34．所以−√32<sinx<√32，如图所示．所以x∈(−π3+2kπ,π3+2kπ)∪(2π3+2kπ,4π3+2kπ)(k∈Z)，即x∈(kπ−π3,kπ+π3)(k∈Z)．所以该函数的定义域为(kπ−π3,kπ+π3)(k∈Z)．92. 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM±Ox、PN±Oy，M、N分别为垂足．所以∣MP∣=y=sinα，∣OM∣=x=cosα，在△OMP中，∣OM∣+∣MP∣>∣OP∣，所以sinα+cosα>1．因为S△OAP=12∣OA∣⋅∣MP∣=12y=12sinα，S△OBP=12∣OB∣⋅∣NP∣=12x=12cosα，S扇形OAB =14π×12=π4，又因为S OAP+S OBP<S扇形OAB，所以12sinα+12cosα<π4，即sinα+cosα<π2，所以1<sinα+cosα<π2．93. 解法一：若α是第一象限角，则α2是第一象限或第三象限角，当α2在第一象限时，如图，在单位圆中，作出 α2的正弦线 MP 和正切线 AT ，因为 S △OAP <S △OAT ，所以 12⋅∣OA ∣⋅∣MP ∣<12⋅∣OA ∣⋅∣AT ∣，即 ∣MP ∣<∣AT ∣，所以 sin α2<tan α2， 当 α2 在第三象限时，sin α2<0，tan α2>0， 所以 sin α2<tan α2， 综上，总有 sin α2<tan α2．解法二：因为 sin α2−tan α2=cos α2tan α2−tan α2=tan α2(cos α2−1)，因为 α2 在第一象限或第三象限， 所以 tan α2>0，又 cos α2−1<0， 所以 sin α2−tan α2<0，即 sin α2<tan α2． 94. 因为 π2<α−β<π，cos (α−β)=−45，所以 sin (α−β)=35．因为 32π<α+β<2π，sin (α+β)=−35， 所以 cos (α+β)=45．所以cos2β=cos [(α+β)−(α−β)]=cos (α+β)cos (α−β)+sin (α+β)sin (α−β)=45×(−45)+(−35)×35=−1.因为 π2<α−β<π，32π<α+β<2π，所以 π2<2β<3π2，所以 2β=π，所以 β=π2．95. 因为 α∈(0,π2)，tanα=4√3， 所以 sinα=4√37，cosα=17．因为 α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114， 所以 sin (α+β)=5√314． 所以 cosβ=cos [(α+β)−α]=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=(−1114)×17+5√314×4√37=12．96. 当 0<α<π2 时，sinα+cosα>1；当 α=π2 时，sinα+cosα=1；当 π2<α<34π 时，0<sinα+cosα<1；当 α=34π 时，sinα+cosα=0；当 34π<α<π 时，−1<sinα+cosα<0． 97. 由题意，自变量 x 应满足不等式组{1−2cosx ≥0,sinx −√22>0,即{sinx >√22,cosx ≤12. 则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示，所以 {x∣ 2kπ+π3≤x <2kπ+34π,k ∈Z}．98. 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α 的终边与单位圆交于 P ，α 的正弦线、正切线为有向线段 MP ，AT ，则 MP =sinα，AT =tanα．因为 S △AOP =12OA ⋅MP =12sinα，S 扇形AOP =12αOA 2=12α，S △AOT =12OA ⋅AT =12tanα，又 S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以 12sinα<12α<12tanα，即 sinα<α<tanα． 99. 如图，MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是角 x 的正弦线、余弦线、正切线，在△OMP中有OM>OP−MP，可得cosx>1−sinx．又AT>OA>OM，即tanx>1>cosx，于是tanx>cosx>1−sinx，又因为函数y=2x为增函数，所以21−sinx<2cosx<2tanx，所以a<b<c．100. （1）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α,β与−β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角−β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4．则P1(1,0)，P2(cosα,sinα)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，P4(cos(−β),sin(−β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α+β)−1]2+sin2(α+β)=[cos(−β)−cosα]2+[sin(−β)−sinα]2，展开并整理，得2−2cos(α+β)=2−2(cosαcosβ−sinαsinβ)．所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ．②由①易得，cos(π2−α)=sinα，sin(π2−α)=cosα．sin(α+β)=cos[π2−(α＋β)]=cos[(π2−α)+(−β)]=cos(π2−α)cos(−β)−sin(π2−α)sin(−β)=sinαcosβ+cosαsinβ.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ．（2）因为α∈(π,32π)，cosα=−45，所以sinα=−35．因为β∈(π2,π)，tanβ=−13，所以 cosβ=−3√1010，sinβ=√1010． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=(−45)×(−3√1010)−(−35)×√1010=3√1010．。
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第46练 不等式选讲题型一 含绝对值不等式的解法例1 不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________________． 破题切入点 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2 解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1， 解得x <－25，∴－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x 2＋1， 解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2. 题型二 不等式的证明例2 求证下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2； (3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .破题切入点 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2·(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)．∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0.∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0.∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6 ＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2， ∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2. (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ，∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .题型三 不等式的综合应用例3 (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．破题切入点 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件． 答案 2解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件．∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”．∴所求最小值为2.总结提高 (1)对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．(2)使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x ＋2|＋|x －4|≥|(x ＋2)－(x －4)|＝6.(3)易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点．1．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12] 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]． 2．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,4]解析 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和，则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.∴a 的取值范围为[－1,4]．3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.答案 {x |－2≤x ≤5}解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －7解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7.5．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧ b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.6．若T 1＝2s m ＋n，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________． 答案 T 1≤T 2解析 因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0. 所以T 1≤T 2.7．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________． 答案 c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0得c >b ，知c 最大． 8．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y，则M 、N 的大小关系为__________． 答案 M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y＝M . 9．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，b a ＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋b a ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 10．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．答案 5解析 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3，从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.11．不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,6)解析 ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2， 所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6.12．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.。
高三数学复习随堂训练理科湖南专版第46讲圆的方程必修2A
课时作业(四十六)A[第46讲圆的方程][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1 B．1 C．3 D．－33．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(1，－1) D．(0，－1)4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1能力提升5．[2011·岳阳模拟] 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()A.95B．1 C.45 D.1356．△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则该三角形外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝ 57．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝88．设P(x，y)是圆C(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为() A．6 B．25 C．26 D．369．过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．10．过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的一般方程是________________．11．点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．12．(13分)图K46－1是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m A2P2的长度(精确到0.01 m)．难点突破13．(12分)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．课时作业(四十六)A【基础热身】1．D [解析] 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.3．D [解析] r ＝12k 2＋4－4k 2≤1，即当有最大半径时有最大面积，此时k ＝0，半径为1，圆心为(0，－1)．4．B [解析] 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.【能力提升】5．C [解析] 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.6．C [解析] 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，∴圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，∴外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.7．B [解析] 易得线段的中点即圆心为(1,1)，线段的端点为(0,2)、(2,0)，∴圆的半径为r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.8．D [解析] 方法1：(x －5)2＋(y ＋4)2的几何意义是点P (x ，y )到点Q (5，－4)的距离的平方，由于点P 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，这个最大值是(|QC |＋1)2＝36.方法2：圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1，三角换元得P 点的坐标⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ，∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝cos 2θ＋sin 2θ＋8sin θ－6cos θ＋25 ＝8sin θ－6cos θ＋26＝10sin(θ＋φ)＋26，则其最大值为36.9．(x －4)2＋(y －1)2＝25 [解析] 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③ 由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25.10．x 2＋y 2－2x －4y －95＝0 [解析] 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意有⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，所以所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 11．2 [解析] 圆的方程化为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1，圆心到点P 的距离是(－k －1)2＋(－1－2)2≥3，等号当且仅当k ＝－1时成立，故点P 到圆上的点的距离的最小值是3－1＝2.12．[解答] 建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意得P (0,4)，B (10,0)．设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2在圆上，所以⎩⎨⎧ 02＋(4－b )2＝r 2，102＋(0－b )2＝r 2.解得⎩⎨⎧b ＝－10.5，r 2＝14.52，所以这个圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52.设点P 2(－2，y 0)，由题意y 0>0，代入圆方程得(－2)2＋(y 0＋10.5)2＝14.52， 解得y 0＝14.52－22－10.5≈3.86( m)． 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 m. 【难点突破】13．[解答] (1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上， ∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， ∴a ＝4，P (4,5)，∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13.(2)∵圆心C 坐标为(2,7)，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，圆的半径是22，点Q 在圆外，∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.。
高三数学 第46练 基本不等式练习
第46练 基本不等式1．(2016·青岛模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2016·泰安模拟)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.1a ＋1b>2abC.b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]5．若a >b >0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在7．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( ) A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．68．(2017·郑州质检)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2二、填空题9．已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．10．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是________．11．函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．12．已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案精析1．B [当p 成立的时候，q 一定成立，但当q 成立的时候，p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件．]2．C [因为xy ≤?x ＋y ?24，x >0，y >0，所以1xy ≥4?x ＋y ?2，x ＋y xy ≥4x ＋y ， 所以x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，所以x ＋y 的最大值是4.]3．C [因为ab >0，所以b a >0，a b >0，即b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C.]4．D [设f (x )＝x ＋1x －1，因为x >1，所以x －1>0，则f (x )＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，所以f (x )min ＝3，因此要使不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.] 5．C [原式＝[(a －b )＋b ]2＋1b (a －b )≥[2(a －b )b ]2＋1b (a －b )＝4(a －b )b ＋1b (a －b )≥24(a －b )b ·1b (a －b )＝4(当且仅当a ＝2，b ＝22时取等号)．]6．A [∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5， 又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q >0，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2或q ＝－1(舍去)． 又a m ·a n ＝4a 1， ∴a m ·a n ＝16a 21，a 21qm ＋n －2＝16a 21，又a 21≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4n)(m ＋n )＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥16(5＋2 4m n ·n m )＝32. 当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时取等号．]7．C [画出y ＝1＋sin πx (0<x <2)的图象(图略)， 知此曲线的对称中心为(1,1)， 则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)， 所以a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝1＋b a＋2ab＋2≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab时取等号． 即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.故选C.]8．B [∵a ，b 是互相垂直的单位向量， 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由a·c ＝b·c ＝1，得x ＝y ＝1， 即c ＝(1,1)，∴c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1t)＝(1＋t,1＋1t)，∴|c ＋t a ＋1tb |＝(1＋t )2＋(1＋1t)2＝2＋2(t ＋1t )＋t 2＋1t2，∵t >0，∴t ＋1t ≥2，t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时取等号，∴|c ＋t a ＋1t b |≥2＋4＋2＝22，故|c ＋t a ＋1tb |的最小值为2 2.] 9．3＋2 2解析 (1x ＋2y )(x ＋y )＝1＋2＋y x ＋2xy≥3＋2 2.10．(－4,2)解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y ＝4时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2. 11．1＋2 6 解析 ∵x <0， ∴y ＝1－2x －3x＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 12．(－∞，658]解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤(x ＋y2)2，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2， 解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤?x ＋y ?2＋1x ＋y恒成立，令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t.函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658.所以实数a 的取值范围为(－∞，658]．。
高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练
大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。
限时训练(46) 高中数学(理科)《30分钟选填》复习专用卷
限时训练（四十六）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足()i 2i z x x =+∈R ，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ．2 B． CD2．已知命题:p “,e 10x x x ∃∈--R …”，则p ⌝为（ ）．A ． ,e 10x x x ∃∈--R …B ．,e 10x x x ∃∈-->RC ． ,e 10x x x ∀∈-->RD ．,e 10x x x ∀∈--R …3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[]1,8上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）．A ．[)0,2B ．[]2,7 C ．[]2,4D ． []0,74．若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π,2α⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，则cos2α的值为（ ）． A ．78- B． C ．1 D5．若实数x ,y 满足不等式组201020x y x y a -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ）．A ． 2-B ．2C ．1D ．6 6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）．A ．1+ B．2+ C．3+ D ．4+7．()()6411x x -+的展开式中2x 的系数是（ ）．A ． 4-B ．3-C ．3D ．4 8．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于A ,B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ）．A ．3 B ．13 C ．23D．3 9．已知()()32,21,2x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩…，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为（ ）．A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,+∞10.已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6AB =，BC =,AC =O ABC -的体积为（ ）．A ．B． C． D．11．设1F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）． AB1 CD112．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有()()22f x xf x x '+>，则不等式()()()220142014420x f x f ++--<的解集为（ ）． A ．(),2012-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2016-∞-D ．()2016,0- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=14．已知在ABC △中，4AB = ,6AC =，BC =O ， 则AO BC ⋅=________．15． 以下命题正确的是： ． ①把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位长度，可得到3sin 2y x =的图像； ②四边形ABCD 为长方形，2AB =,1BC =,O 为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为π12-； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()22,0N σσ>．若ξ在()1-∞，内取值的概率为0.1，则ξ在()23，内取值的概率为0.4．16.已知ABC △的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()3sin sin sin b A B c b C +-=-，且3a =，则ABC △面积的最大值为 .。
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8．5 椭 圆一、选择题1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1解析：由题意可设椭圆的方程为x 236＋y 2b 2＝1e ＝c a ＝36－b 26＝13 ∴b 2＝32，故选D.答案：D2．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 解析：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ⇒e ＝34，所以选C.答案：C3．若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率e ＝( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：由PF 1→·PF2→＝0得PF 1→⊥PF 2→.则 tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝5m .所以e ＝c a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝53.答案：A4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：由题意知，因为AP→＝2PB →，则OA ＝2OF ， ∴a ＝2c ，∴e ＝12. 答案：D5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6. 答案：C6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：∵e ＝12，∴c a ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2.∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca ，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋1＝74a 2a 2＝74＜2.∴P 点在圆x 2＋y 2＝2内．答案：A 二、填空题7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.答案：558．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝22，∴c a ＝22，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝1.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝1 三、解答题10．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝xy P ＝54y，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1625)(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程． 解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0.得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0y 1＝－3c，⎩⎨⎧x 2＝85cy 2＝335c，不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c－52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB→＝2OA →，求直线AB 的方程．解析：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2， 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x2B，y2B代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.。