高三理科数学 专题五 立体几何

高三理科数学 专题五 立体几何1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637C.607D.6572．已知点B 是点A (3，7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →2等于( ) A ．10B ．25C ．5D ．133．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216B.66C.156D.1534．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22C.223D.2335．二面角α-l -β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________．6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．7．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；(2)求二面角H－BD－C的大小．8.如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4.M，N，D(1)求证：MN⊥AB；(2)求二面角S-ND-A的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离．9．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t(0<t<2)，连接A1B，A1C，A1D.(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值；(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由。

10．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面P AB，△P AB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝12AD，E是线段AB的中点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．11．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27.(1)试确定点F 的位置，使得EF ∥平面PDC ；(2)若BF ＝13BP ，求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值．.12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AP ＝AD ＝AB ＝2，BC ＝t ，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)当t ＝32时，试在棱P A 上确定一点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP 的值；(2)当α＝60°时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．高三理科数学 专题五 立体几何1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637C.607D.6572．已知点B 是点A (3，7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →2等于( ) A ．(9，0，16) B ．25 C ．5D ．13解析 A 在xOz 平面上的射影为B (3，0，－ 4)，则OB →＝(3，0，－4)，OB →2＝25. 答案 B3．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216 B.66C.156D.153解析 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. 由条件知MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c ＝23a －13b ＋16c ，∴MN →2＝49a 2＋19b 2＋136c 2＝2136，∴|MN →|＝216. 答案 A4．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32B.22C.223D.233解析 如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，B (2，2，0)，∴D 1A 1→＝(2，0，0)，DA 1→＝(2，0，2)，DB →＝(2，2，0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.答案 D5．二面角α-l -β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________． 解析 如图，∵二面角α-l -β等于120°， ∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos 60°＝4，∴|CD →|＝2. 6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．(2)解 由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则B (0，0，0)，A (0，1，0)，C (1，0，0)， C 1(0，0，3)，B 1(－1，0，3)．所以CC 1→＝(－1，0，3), 所以CE →＝(－λ，0，3λ)，∴E (1－λ，0，3λ)，则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)．设平面AB 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →，n ⊥AB 1→，得⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0，－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3，∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面的一个法向量， ∴|cos 〈n ，BA →〉|＝n ·BA →|n |·|BA →|＝32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2＝32.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．∴λ＝1.7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求二面角H －BD －C 的大小．(1)证明 在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点． 所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ， 因为ABCD 为菱形， 所以O 为AC 中点，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF. (2)解 取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，O ，N 分别为BD ，EF 的中点， 所以ON ∥ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，所以ON ⊥平面ABCD ，因为ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直．所以以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，BF ＝3，所以B (1，0，0)，D (－1，0，0)，E (－1，0，3)，F (1，0，3)，C (0，3，0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32， 所以BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，DB →＝(2，0，0)． 设平面BDH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BH →＝0n ·DB →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋3y ＋3z ＝0，2x ＝0， 令z ＝1，得n ＝(0，－3，1)．由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为DE →＝(0，0，3)，则cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n||DE →|＝0×0＋（－3）×0＋1×32×3＝12.所以二面角H －BD －C 的大小为60°.8.如图，△ABC 是以∠ABC 为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4.M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ；(2)求二面角S -ND -A 的余弦值；(3)求点A 到平面SND 的距离．解 以B 为坐标原点，BC ，BA 为x ，y 轴的正方向，垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系(如图)．(1)证明 由题意得A (0，4，0)，B (0，0，0)，M (1，2，1)，N (0，2，0)，S (0，4，2)，D (1，0，0)．所以：MN →＝(－1，0，－1)，AB →＝(0，－4，0)，MN →·AB →＝0，∴MN ⊥AB .(3)∵AN →＝(0，－2，0)，∴点A 到平面SND 的距离d ＝|AN →·m ||m |＝63.9．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t (0<t <2)，连接A 1B ，A 1C ，A 1D .(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由解法一 (1)根据题意，长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝⎛⎭⎫t ＋2－t 22＝1，当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1，所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形，作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以△A 1BC 与△A 1DC 全等，故DM ⊥A 1C ，所以∠BMD 即为所求二面角的平面角．(2)若线段A 1C 上存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD又A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC .所以BD ⊥AC ，底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在．由(1)知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M ，此时，A 1P ＝A 1B 2A 1C ＝23＝233. 法二 根据题意可知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：(1)长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝⎛⎭⎫t ＋2－t 22＝1， 当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1.所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形，则A 1(0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，A 1B →＝(1，0，－1)，BC →＝(0，1，0)，设平面A 1BC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0， 取x ＝z ＝1，得：m ＝(1，0，1)，同理可得平面A 1CD 的法向量n ＝(0，1，1)，所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝12，又二面角B －A 1C －D 为钝角，故值是120°.(也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量)(2)根据题意有B (t ，0，0)，C (t ，2－t ，0)，D (0，2－t ，0)，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨A 1P →＝λA 1C →(λ＞0)，可得P (λt ，λ(2－t )，1－λ)BP →＝(λt －t ，λ(2－t )，1－λ)，BD →＝(－t ，2－t ，0)，⎩⎪⎨⎪⎧BP →·A 1C →＝0，BD →·A 1C →＝0，即： ⎩⎪⎨⎪⎧t （λt －t ）＋λ（2－t ）2－（1－λ）＝0，－t 2＋（2－t ）2＝0， 解得：t ＝1，λ＝23.即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上A 1P ∶PC ＝2∶1处．10．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AD ⊥侧面P AB ，△P AB 是等边三角形，DA ＝AB ＝2，BC ＝12AD ，E 是线段AB 的中点．(1)求证：PE ⊥CD ；(2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．解 (1)证明：因为AD ⊥侧面P AB ，PE ⊂平面P AB ，所以AD ⊥PE .又因为△P AB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为AD ∩AB ＝A ，所以PE ⊥平面ABCD .而CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD .(2)以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz .则E (0,0,0)，C (1，－1,0)，D (2,1,0)，P (0,0，3)．ED →＝(2,1,0)，EP →＝(0,0，3)，PC →＝(1，－1，－3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PDE 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·ED →＝0，n ·EP →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，3z ＝0， 令x ＝1，可得n ＝(1，－2,0)．设PC 与平面PDE 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈PC →，n 〉|＝|PC →·n ||PC →||n |＝35. 所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35. 11．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27.(1)试确定点F 的位置，使得EF ∥平面PDC ；(2)若BF ＝13BP ，求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值．(2)以DC 为x 轴，过D 点作DC 的垂线为y 轴，DA 为z 轴建立空间直角坐标系．在△PDC 中，由PD ＝4，PC ＝27，∠CDP ＝120°，及余弦定理，得CD ＝2，则D (0,0,0)，C (2,0,0)，B (2,0,3)，P (－2,23，0)，A (0,0,3)，设F (x ，y ，z )，则BE →＝(x －2，y ，z －3)＝13BP →＝⎝⎛⎭⎫－43，233，－1， ∴F ⎝⎛⎭⎫23，233，2.AF →＝⎝⎛⎭⎫23，233，－1. 设平面PBC 的法向量n 1＝(a ，b ，c )，CB →＝(0,0,3)，PC →＝(4，－23，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·CB →＝0，n 1·PC →＝0，得⎩⎨⎧3z ＝0，4x －23y ＝0， 令y ＝1，可得n 1＝⎝⎛⎭⎫32，1，0. cos 〈AF →，n 1〉＝AF →·n 1|AF →||n 1|＝62135，∴直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值为62135. 12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AP ＝AD ＝AB ＝2，BC ＝t ，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)当t ＝32时，试在棱P A 上确定一点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE EP的值； (2)当α＝60°时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．解 (1)连接AC 、BD 交于点F ，在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ，连接DE ，BE . 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝13， 因为EF ∥PC ，所以AE EP ＝AF FC ＝13.以O 为坐标原点，分别以OG →，OB →，OP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz .则O (0,0,0)，P (0,0,1)，A (－1,0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,0)，G (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫22t ，1－22t ，0， 故P A →＝(－1,0，－1)，PB →＝(0,1，－1)， PC →＝⎝⎛⎭⎫22t ，1－22t ，－1，PD →＝(0，－1，－1)． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·P A →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0， 不妨令x 1＝－1，可得m ＝(－1,1,1)为平面P AB 的一个法向量． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22tx 2＋⎝⎛⎭⎫1－22t y 2－z 2＝0，－y 2－z 2＝0，不妨令y 2＝1，可得n ＝⎝⎛⎭⎫1－22t ，1，－1为平面PCD 的一个法向量． 由m ·n ＝0，解得t ＝22，即棱BC 的长为2 2.。