高三理科数学 专题五 立体几何
高三理科数学 专题五 立体几何
1.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( ) A.627 B.637
C.607
D.657
2.已知点B 是点A (3,7,-4)在xOz 平面上的射影,则OB →
2等于( ) A .10
B .25
C .5
D .13
3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在AC 1→上,且AM →=12MC 1→
,N 为B 1B 的中点,则|MN →
|为( )
A.216
B.66
C.156
D.153
4.设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22
C.223
D.233
5.二面角α-l -β等于120°,A 、B 是棱l 上两点,AC 、BD 分别在半平面α、β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且AB =AC =BD =1,则CD 的长等于________.
6.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ,AB =BC =1,BB 1=2,∠BCC 1=60°.
(1)求证:C 1B ⊥平面ABC ;
(2)设CE →=λCC 1→
(0≤λ≤1),且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.
7.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分别是CE和CF的中点.
(1)求证:平面BDGH∥平面AEF;
(2)求二面角H-BD-C的大小.
8.如图,△ABC是以∠ABC为直角的三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4.M,N,D
(1)求证:MN⊥AB;(2)求二面角S-ND-A的余弦值;(3)求点A到平面SND的距离.
9.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面,记底面上一边AB=t(0 (1)当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时,求二面角B-A1C-D的值; (2)线段A1C上是否存在一点P,使得A1C⊥平面BPD,若有,求出P点的位置,没有请说明理由。 10.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥ 侧面P AB,△P AB是等边三角形,DA=AB=2,BC=1 2AD,E是线段AB的中点. (1)求证:PE⊥CD;(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值. 11.如图所示多面体中,AD ⊥平面PDC ,ABCD 为平行四边形,E 为AD 的中点,F 为线段BP 上一点,∠CDP =120°,AD =3,AP =5,PC =27. (1)试确定点F 的位置,使得EF ∥平面PDC ; (2)若BF =1 3BP ,求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值. . 12.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为梯形,∠ABC =∠BAD =90°,AP =AD =AB =2,BC =t ,∠P AB =∠P AD =α. (1)当t =32时,试在棱P A 上确定一点E ,使得PC ∥平面BDE ,并求出此时AE EP 的值; (2)当α=60°时,若平面P AB ⊥平面PCD ,求此时棱BC 的长. 高三理科数学 专题五 立体几何 1.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 2.已知点B 是点A (3,7,-4)在xOz 平面上的射影,则OB → 2等于( ) A .(9,0,16) B .25 C .5 D .13 解析 A 在xOz 平面上的射影为B (3,0,- 4),则OB →=(3,0,-4),OB → 2=25. 答案 B 3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在AC 1→上,且AM →=12MC 1→ ,N 为B 1B 的中点,则|MN → |为( ) A.216 B.66 C.156 D.153 解析 如图,设AB →=a ,AD →=b ,AA 1→ =c , 则a ·b =b ·c =c ·a =0. 由条件知MN →=MA →+AB →+BN → =-13(a +b +c )+a +12c =23a -13b +16c , ∴MN → 2=49a 2+19b 2+136c 2=2136, ∴|MN → |=216. 答案 A 4.设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22 C.223 D.233 解析 如图,建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),A 1(2,0,2),D (0,0,0),B (2,2,0), ∴D 1A 1→=(2,0,0),DA 1→=(2,0,2),DB → =(2,2,0), 设平面A 1BD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则?????n ·DA 1→=2x +2z =0,n · DB →=2x +2y =0.令x =1,则n =(1,-1,-1). ∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d =|D 1A 1→·n ||n |=23=233. 答案 D 5.二面角α-l -β等于120°,A 、B 是棱l 上两点,AC 、BD 分别在半平面α、β内,AC ⊥l ,BD ⊥l ,且AB =AC =BD =1,则CD 的长等于________. 解析 如图,∵二面角α-l -β等于120°, ∴CA →与BD → 夹角为60°. 由题设知,CA →⊥AB → , AB →⊥BD →,|AB →|=|AC →|=|BD → |=1, |CD →|2=|CA →+AB →+BD →|2 =|CA →|2+|AB →|2+|BD →|2+2CA →·AB →+2AB →·BD →+2CA →·BD →=3+2×cos 60°=4,∴|CD →|=2. 6.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ,AB =BC =1,BB 1=2,∠BCC 1=60°. (1)求证:C 1B ⊥平面ABC ; (2)设CE →=λCC 1→ (0≤λ≤1),且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值. (2)解 由(1)可知,AB ,BC ,BC 1两两垂直.以B 为原点,BC ,BA ,BC 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. 则B (0,0,0),A (0,1,0),C (1,0,0), C 1(0,0,3),B 1(-1,0,3). 所以CC 1→=(-1,0,3), 所以CE →=(-λ,0,3λ),∴E (1-λ,0,3λ),则AE → =(1-λ,-1,3λ),AB 1→ =(-1,-1,3). 设平面AB 1E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则?????n ⊥AE →,n ⊥AB 1→,得???(1-λ)x -y +3λz =0, -x -y +3z =0, 令z =3,则x =3-3λ2-λ,y =3 2-λ, ,∴n =? ?? ?? 3-3λ2-λ,32-λ,3, ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ,BA → =(0,1,0)是平面的一个法向量, ∴|cos 〈n ,BA → 〉|=n ·BA →|n |·|BA →| =32-λ 1× ? ?? ??3-3λ2-λ2+????32-λ2 +(3)2=3 2. 两边平方并化简得2λ2-5λ+3=0,所以λ=1或λ=3 2( 舍去).∴λ=1. 7.如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的的菱形,∠BAD =60°,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,BF =3,G 和H 分别是CE 和CF 的中点. (1)求证:平面BDGH ∥平面AEF ; (2)求二面角H -BD -C 的大小. (1)证明 在△CEF 中,因为G ,H 分别是CE ,CF 的中点. 所以GH ∥EF ,又因为GH ?平面AEF ,EF ?平面AEF , 所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD =O ,连接OH , 因为ABCD 为菱形, 所以O 为AC 中点, 在△ACF 中,因为OA =OC ,CH =HF , 所以OH ∥AF , 又因为OH ?平面AEF ,AF ?平面AEF , 所以OH ∥平面AEF . 又因为OH ∩GH =H ,OH ,GH ?平面BDGH , 所以平面BDGH ∥平面AEF . (2)解 取EF 的中点N ,连接ON , 因为四边形BDEF 是矩形,O ,N 分别为BD ,EF 的中点, 所以ON ∥ED , 因为平面BDEF ⊥平面ABCD , 所以ED ⊥平面ABCD , 所以ON ⊥平面ABCD , 因为ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,得OB ,OC ,ON 两两垂直. 所以以O 为原点,OB ,OC ,ON 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴, 如图建立空间直角坐标系. 因为底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =60°,BF =3, 所以B (1,0,0),D (-1,0,0),E (-1,0,3),F (1,0,3),C (0,3,0),H ? ????1 2,32,32, 所以BH →=? ????-1 2,32,32,DB →=(2,0,0). 设平面BDH 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则?????n ·BH →=0n · DB →=0????-x +3y +3z =0,2x =0, 令z =1,得n =(0,-3,1). 由ED ⊥平面ABCD ,得平面BCD 的法向量为DE → =(0,0,3), 则cos 〈n ,DE → 〉=n ·DE →|n||DE →| =0×0+(-3)×0+1×32×3 =12. 所以二面角H -BD -C 的大小为60°. 8.如图,△ABC 是以∠ABC 为直角的三角形,SA ⊥平面ABC ,SA =BC =2,AB =4.M ,N ,D 分别是SC ,AB ,BC 的中点. (1)求证:MN ⊥AB ; (2)求二面角S -ND -A 的余弦值; (3)求点A 到平面SND 的距离. 解 以B 为坐标原点,BC ,BA 为x ,y 轴的正方向,垂直于平面ABC 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系(如图). (1)证明 由题意得A (0,4,0),B (0,0,0),M (1,2,1),N (0,2,0),S (0,4,2),D (1,0,0). 所以:MN →=(-1,0,-1),AB →=(0,-4,0),MN →·AB → =0,∴MN ⊥AB . (3)∵AN → =(0,-2,0), ∴点A 到平面SND 的距离 d =|AN →·m ||m |=63. 9.如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的四个侧面,记底面上一边AB =t (0 (1)当长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积最大时,求二面角B -A 1C -D 的值; (2)线段A 1C 上是否存在一点P ,使得A 1C ⊥平面BPD ,若有,求出P 点的位置,没有请说明理由 解法一 (1)根据题意,长方体体积为V =t (2-t )×1=t (2-t )≤ ??? ?t +2-t 22 =1, 当且仅当t =2-t ,即t =1时体积V 有最大值为1, 所以当长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积最大时,底面四边形ABCD 为正方形, 作BM ⊥A 1C 于M ,连接DM ,BD , 因为四边形ABCD 为正方形,所以△A 1BC 与△A 1DC 全等,故DM ⊥A 1C ,所以∠BMD 即为所求二面角的平面角. (2)若线段A 1C 上存在一点P ,使得A 1C ⊥平面BPD ,则A 1C ⊥BD 又A 1A ⊥平面ABCD ,所以A 1A ⊥BD ,所以BD ⊥平面A 1AC .所以BD ⊥AC , 底面四边形ABCD 为正方形,即只有ABCD 为正方形时,线段A 1C 上存在点P 满足要求,否则不存在.由(1)知,所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M , 此时,A 1P =A 1B 2A 1C =23 =23 3. 法二 根据题意可知,AA 1,AB ,AD 两两垂直,以AB 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系: (1)长方体体积为V =t (2-t )×1=t (2-t )≤ ??? ?t +2-t 22 =1, 当且仅当t =2-t ,即t =1时体积V 有最大值为1. 所以当长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积最大时,底面四边形ABCD 为正方形,则A 1(0,0,1),B (1,0,0),C (1,1,0),A 1B →=(1,0,-1),BC → =(0,1,0), 设平面A 1BC 的法向量m =(x ,y ,z ),则? ????x -z =0, y =0, 取x =z =1,得:m =(1,0,1), 同理可得平面A 1CD 的法向量n =(0,1,1), 所以,cos 〈m ,n 〉=m·n |m|·|n|=1 2, 又二面角B -A 1C -D 为钝角,故值是120°. (也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量) (2)根据题意有B (t ,0,0),C (t ,2-t ,0),D (0,2-t ,0),若线段A 1C 上存在一点P 满足要求,不妨A 1P →=λA 1C → (λ>0),可得P (λt ,λ(2-t ),1-λ) BP → =(λt -t ,λ(2-t ),1-λ), BD → =(-t ,2-t ,0), ?????BP →·A 1C →=0,BD →· A 1C →=0,即: ? ????t (λt -t )+λ(2-t )2-(1-λ)=0,-t 2+(2-t )2 =0, 解得:t =1,λ=23. 即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ,位置是线段A 1C 上A 1P ∶PC =2∶1处. 10.如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB =90°,AD ∥BC ,AD ⊥侧面P AB ,△P AB 是等边三角形,DA =AB =2,BC =1 2 AD ,E 是线段AB 的中点. (1)求证:PE ⊥CD ; (2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 解 (1)证明:因为AD ⊥侧面P AB ,PE ?平面P AB ,所以AD ⊥PE . 又因为△P AB 是等边三角形,E 是线段AB 的中点,所以PE ⊥AB . 因为AD ∩AB =A ,所以PE ⊥平面ABCD . 而CD ?平面ABCD ,所以PE ⊥CD . (2)以E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz . 则E (0,0,0),C (1,-1,0),D (2,1,0),P (0,0,3). ED →=(2,1,0),EP →=(0,0,3),PC → =(1,-1,-3). 设n =(x ,y ,z )为平面PDE 的法向量. 由? ???? n ·ED →=0,n ·EP →=0,即??? 2x +y =0,3z =0, 令x =1,可得n =(1,-2,0). 设PC 与平面PDE 所成的角为θ, 则sin θ=|cos 〈PC → ,n 〉|=|PC → ·n ||PC →||n |=35. 所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为3 5 . 11.如图所示多面体中,AD ⊥平面PDC ,ABCD 为平行四边形,E 为AD 的中点,F 为线段 BP 上一点,∠CDP =120°,AD =3,AP =5,PC =27. (1)试确定点F 的位置,使得EF ∥平面PDC ; (2)若BF =1 3 BP ,求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值. (2)以DC 为x 轴,过D 点作DC 的垂线为y 轴,DA 为z 轴建立空间直角坐标系.在△PDC 中,由PD =4,PC =27,∠CDP =120°,及余弦定理,得CD =2, 则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,23,0),A (0,0,3), 设F (x ,y ,z ),则BE →=(x -2,y ,z -3)=13BP →=????-43,233,-1, ∴F ????23,233,2.AF →=????23,233,-1. 设平面PBC 的法向量n 1=(a ,b ,c ), CB →=(0,0,3),PC → =(4,-23,0), 由????? n 1·CB →=0,n 1· PC →=0,得??? 3z =0,4x -23y =0, 令y =1,可得n 1=?? ? ?32,1,0. cos 〈AF → ,n 1〉=AF →·n 1|AF →||n 1| =62135, ∴直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值为621 35 . 12.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为梯形,∠ABC =∠BAD =90°,AP =AD =AB =2,BC =t ,∠P AB =∠P AD =α. (1)当t =32时,试在棱P A 上确定一点E ,使得PC ∥平面BDE ,并求出此时AE EP 的值; (2)当α=60°时,若平面P AB ⊥平面PCD ,求此时棱BC 的长. 解 (1)连接AC 、BD 交于点F ,在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ,连接DE ,BE . 因为PC ?平面BDE ,EF ?平面BDE , 所以PC ∥平面BDE . 因为AD ∥BC ,所以AF FC =AD BC =13, 因为EF ∥PC ,所以AE EP =AF FC =1 3 . 以O 为坐标原点,分别以OG →,OB →,OP → 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz . 则O (0,0,0),P (0,0,1),A (-1,0,0),B (0,1,0),D (0,-1,0),G (1,0,0),C ?? ? ?22t ,1-22t ,0, 故P A →=(-1,0,-1),PB →=(0,1,-1), PC →=????22t ,1-22t ,-1,PD → =(0,-1,-1). 设平面P AB 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 则????? m ·P A →=0,m · PB →=0,即????? -x 1-z 1=0,y 1-z 1=0, 不妨令x 1=-1,可得m =(-1,1,1)为平面P AB 的一个法向量. 设平面PCD 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 则????? n · PC →=0,n ·PD →=0,即????? 22tx 2+????1-22t y 2-z 2=0,-y 2-z 2=0, 不妨令y 2=1,可得n =????1-22t ,1,-1为平面PCD 的一个法向量. 由m ·n =0,解得t =22,即棱BC 的长为2 2. 高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
届高三文科数学立体几何专题训练
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]