随机游走模型的几何结构-最新文档资料

随机游走模型的几何结构

统计学中的微分几何方法已经成为统计学的令人瞩目的分支，在统计推断、随机分布控制等领域有着成功的应用。Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，随机游走是由一系列随机步伐所形成的的活动模型。如今随机游走模型已被应用于诸多领域：生态学、经济学、心理学、计算机科学等。随机游走模型的几何结构属于信息几何的研究领域，是应用几何的新领域。应用信息几何的方法去研究随机游走模型的几何结构可以更加直观、系统地把握随机游走模型的统计分布性质，为其在更多领域的的应用带来了新的研究方法。

1 统计流形的概念

对于统计分布流形，其中为欧氏空间中的开集，是密度函数，我们引入Fisher信息矩阵：

这里E为数学期望.这样便在S上引入了黎曼度量，称为Fisher度量。其Levi-Civita联络系数为：

进一步可定义联络

其中

统计流形的黎曼曲率张量为

令，则

里奇曲率张量为：

若统计流形（M，g）上一对无挠的仿射联络和满足：

则称和是关于g的对偶联络。显然和是一对对偶联络。

2 散度函数

散度函数是刻画两个统计分布差异程度的量，其定义为：

定义2.1 在局部坐标系下，散度函数D ：M×M→R定义为一个光滑函数，满足：

（1），? ∈ V 等式成立当且仅当；

（2）

（3）是正定的

引理2.1（Eguchi，1983）.散度函数可导出一对无挠的仿射联络满足：

对于两个给定的临近的密度函数，和，我们定义J-散度为：

运用泰勒展式可以得到：

即J-散度函数是距离微元的平方。

3 随机游走模型

?S机游走模型的概率密度函数为：

，

的期望和方差分别为： .

运用公式可以得到信息阵为：

协方差矩阵 .

相应的黎曼联络系数：

由黎曼曲率张量：得：

其余分量为0

于是我们得到：

定理3.1 随机游走模型是平坦统计结构当且仅当

类似地可以得到里奇曲率张量由里奇曲率张量为：

.

4 随机游走模型上的J-散度

定理4.1 随机游走模型的J-散度（2.1）满足下列方程：证明：

而

由于密度函数满足故可得到

同理可得

于是证毕。