关于一道初中几何试题的多种解法
一道双中点几何题的多角度解答
一道双中点几何题的多角度解答
高亮荣
【期刊名称】《数理天地（初中版）》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】添加辅助线是解答几何题的一个基本策略,要求对题目的重要条件作分析,对基本图形进行理解与联系,运用图形之间的关联探索思考问题.下面以一道双中点问题作解题分析.
【总页数】2页(P22-23)
【作者】高亮荣
【作者单位】江苏省扬州市朱自清中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一道典型几何题的多种证法——例谈中点相关的辅助线
2.一道几何题的多种思考与解法——例谈中点的常见用法
3.巧用数学模型解初中几何题--解答一道压轴题的几点思考
4.对一道解析几何题的多角度探究
5.一道经典几何题的多角度解答
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
人教版数学八年级上册代数经典集锦---一题多解(含答案)
2019--2020人教版数学八年级代数经典集锦---一题多解在初中几何的证明和求解中，需要培养学生严密推理论证能力、灵动转化变换思维等方面素养，而在初中代数的计算过程中，需要培养学生多角度、多维度思考问题，掌握整体与局部、特例分析等全方位能力，从而寻求结果，下面以一道经典例题的不同解法，展开思维训练。
1、已知：x y = - 2，则x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = .解法一：令x=2,y=-1,则x 2-2xy-3y 2=22-2*2*(-1)-3*(-1)2=4+4-3=5，X 2-6xy-7y 2=22-6*2*（-1）-7*（-1）2=4+12-7=9，所以，原式=59 .李老师点评：本解法是最简单却学生最不容易想到的解法。
原式看起来很复杂，x,y 只给出了比例关系，没有给出具体数值，那么取特例也是满足题设要求的，所以，当没有寻找到更好的解决办法时，可以取特殊值进行计算。
解法二：由已知比例x y = - 2变形有：x=-2y ┅┅①将①带入原式有：x 2-2xy-3y 2=(-2y)2-2*(-2y)*y-3y 2=5y 2,X 2-6xy-7y 2=(-2y)2-6*(-2y)*y-7y 2=9y 2,x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 =59 .李老师点评：本解法使用了带入消元法进行解题，带入消元法是解决含有未知数类求值问题最基本的解题方法之一。
解法三：∵x y = - 2，∴x ≠0，y ≠0则将原式分子和分母同时除以y 2得到：x 2-2xy-3y 2x 2-6xy-7y 2 = = 59=李老师点评：本解法是一种技巧型解法，首先通过观察x,y 的取值情况以及原式中分子分母所含式子，我们会发现：x,y 都不等于0，同时分子分母其实每一项都是二次项（将x,y 都看作未知数），所以分子分母同时除以y2，便可以轻松的将原式化成已知条件中的样子，从而得解。
一道相似判定问题的多种解法及延伸
一道相似判定问题的多种解法及延伸
徐智勇
【期刊名称】《数理天地:初中版》
【年(卷),期】2022()1
【摘要】题目如图1,点D为△ABC边BC上一点(不与端点重合),且满足
BD/BC=AD^(2)/AC^(2).求证:△ABC∽△DBA.图1分析本题结论涉及到初中几何常见的相似基本图形,将已知条件转化为∠BAD=∠C或AB^(2)=BD·BC即可.下面介绍几种方法供参考.
【总页数】2页(P5-6)
【作者】徐智勇
【作者单位】江苏省扬州大学附属中学东部分校
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.一道赛题的解法及问题之延伸--陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之四
2.多种视角多种理解多种解法——对一道自招试题的解题思路分析
3.一个问题多个角度--探究一道恒成立问题的多种解法
4.探究生智慧八招定乾坤--一道导数不等式恒成立逆向求参问题的多种解法
5.一道三角形绕定点旋转变换问题的多种解法和变式研究
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
空间解析几何中一道题的五种不同解法
【关键词】 口语现状； 能力培养； 教学方法 【作者单位】 吴向红， 乌鲁木齐市财政会计职业学校
一、 引言 中等职业学校是以培养具有一定专业技术人员的摇篮 ， 学生在毕业后有两大去向 ： 一类升学， 继续深造， 还有一类便 步入社会， 走上工作岗位， 以后者居多。 受生源质量、 学校人 文环境、 教学硬件设施等诸多因素影响 ， 中专学生的口头表 达能力普遍比较低， 在一定程度上也缺乏良好的语言习惯 。 教师如何针对学生的特点 ， 制订合适的口才培养训练方法 ， 上好口才训练课， 从而提高学生的口头表达能力 ， 使其语言 达到文明、 规范、 得体、 生动这一目的， 就成为了中等职业学 校学生培养的过程中的一项重要且艰巨的任务 。 这不仅关 系到学生个人的成长， 从长远角度看， 更关系到学校甚至整 个中等职业教育的发展 。 二、 重要性分析 人在社会上生存， 总是要不断地接触新人 ， 不断地结交 朋友， 实践证明， 在人际交往中， 有口才的人总是处处受到欢 迎。口才的作用不胜枚举， 大的如国际间外交对话 ， 可以把
“点法式” 解法三： 仍然是利用平面方程的 来解此题 设通过已知直线和其在已知平面上的投影直线的平面 B， C） 的法线向量为 n = （ A， ① 依题意， 有
“平面束” 解法一： 利用 来解此题。 设过直线的平面方程为 3x － y － 2z － 9 + λ（ 2x － 4y + z） = 0
【关键词】 直线； 方向向量； 平面； 法向量； 投影 【作者单位】 盖俊震， 辽东学院师范分院数学系
求直线 直线的方程
{
2x － 4y + z = 0 ， 3x － y － 2z － 9 = 0
在平面 4x － y + z = 1 上的投影
切线换一半原则——由6种解法探究圆锥曲线的切点弦与应用
560从一道模拟题来探究圆锥曲线的切点弦与应用 题目：（江西省高考模拟试题）由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求两切点所在的直线（即切点弦）方程．一、一题多解的教学价值剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ． 设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）． 故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．561剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ． 由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到562=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91． 由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ． 二、一题多结论的教学价值我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为563200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ． 结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ． 结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ．我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆564的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ． 证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+b yy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+b y y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ．结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ． 结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ．结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．565结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．566结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ． 结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+b tyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ． 同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上． 结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，567因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上． 同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26． 结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ； （2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ． 又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到56812121=+bny a mx ． （1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． （2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ． 证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ． 又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ． 结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121569⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+by a x （0>>b a ）与双曲线12222=-n y m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-n y m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+． 依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =2022222y x m a n b ⋅-=2222m a n b -+-=1-． 结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+by a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ．570⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ．由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ． 由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ． 由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ， ),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，571又点P 在直线AB 上，则12'02'0=-b y y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-by y a x x ，故动点Q的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ． 应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，572的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=．联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ． （1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+． 将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ． 代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ． （2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ． 应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直．573证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q=Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ． （2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线． 值得注意的是： 其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，PM +=． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=．574（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ． 应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩．由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x x y x x -=-．（2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ． （1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，575代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ． （2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有 ⋅=14564124-+x x =0． 易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个．综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形．应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+byb a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-． 上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积． 练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程； （2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的576角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程． 练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ．（1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程； （2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16． 2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+=⇒243GG p x y y +-=． 由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：57702)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(211101020-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠，由此可得cos AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=． 同理可得||41cos 10FP x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，a x x 321-=． ③将③代入②得到a x x 121-=+． ④将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）． 将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ．578故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-byb a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ． 过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 224822220=+≥yx ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x yx ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。
一道中考试题的另一种解法
★这是2006年天津市中考数学试卷中的一道题目:已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC =6,BC=8.(Ⅰ)如图1,若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆,求r 1;(Ⅱ)如图2,若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切,且⊙O 1与AC 、AB 相切,⊙O 2与BC 、AB 相切,求r 2;(Ⅲ)如图3,当n 是大于2的正整数时,若半径为r n 的n 个等圆⊙O 1,⊙O 2,…,⊙O n 依次外切,且⊙O 1与AC 、AB 相切,⊙O n 与B C 、AB 相切,⊙O 2,⊙O 3,…,⊙O n-1均与AB 边相切,求r n .解析(Ⅰ)由已知易得AB=10,S △A B C =24.如图4,设圆O 1与Rt △ABC 的边AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F,连接O 1D 、■江苏兴化刘鸿广图1图2图3一道中考试题的另一种解法★图6图4图5O 1E 、O 1F 、AO 1、BO 1、CO 1.则有S △A B C =S △A O 1C +S △B O 1C +△S AO 1B =12AC O 1F+12BC O 1E+12AB O 1D,∴24=3r 1+4r 1+5r 1,∴r 1=2.(Ⅱ)如图5,连接AO 1、BO 2、CO 1、CO 2、O 1O 2,则S △A O 1C =12AC r 2=3r 2,S △B O 2C =12BC r 2=4r 2.∵等圆⊙O 1、⊙O 2外切,∴O 1O 2=2r 2,且O 1O 2∥AB.过点C 作C M ⊥AB 于点M ,交O 1O 2于点N,则CM =AC BC AB =245,CN=CM -r 2=245-r 2.∴S △CO 1O 2=12O 1O 2CN=245-r 2&’r 2,S 梯形AO 1O 2B =12(2r 2+10)r 2=(r 2+5)r 2.∵S △A B C =S △AO 1C +S △BO 2C +S △CO 1O 2+S 梯形AO 1O 2B ,∴24=3r 2+4r 2+245-r2&(r 2+(r 2+5)r 2,解得r 2=107.(Ⅲ)如图6,连接AO 1、BO n 、CO 1、CO n 、O 1O n ,则S △AO1C=12AC r n =3r n ,S △B O nC =12B C r n =4r n ,∵等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切,且均与AB 边相切,∴O 1,O 2,…,O n 均在直线O 1O n 上,且O 1O n ∥AB,∴O 1O n =(n-2)2r n +2r n =2(n-1)r n .过点C 作C H ⊥AB 于点H ,交O 1O n 于点K ,则CH=245,CK=245-r n ,∴S △C O 1O n =12O 1O n CK=(n-1)245-r n&(r n,S 梯形AO 1O nB =12[2(n-1)r n +10]r n =[(n-1)r n +5]r n .∵S △A B C =S △AO 1C +S △B O nC +S △C O 1O n+S 梯形A O 1O nB ,★图7图8图9图10图11责任编辑沈红艳z y @6∴24=3r n +4r n +(n-1)245-r n"#r n+[(n-1)r n+5]r n,解得r n=102n+3.《2008年江苏省中考数学零距离(知识梳理与专项提高训练)》引用了本题的解法,它对图形进行分割,用面积法来解决,计算比较繁琐.这里给出另一种解法,使计算简单化,供大家参考:解析(Ⅰ)如图4,利用面积法可得:12r 1(AB+AC+BC)=12AC BC,∴r 1=2.或用直角三角形的内切圆半径公式得:r 1=12(a+b-c)=2.(Ⅱ)如图7,由⊙O 1、⊙O 2与AC 、AB 相切,O 1、O 2点在∠CAB 的角平分线上可证得△AO 2D ∽△AO 1F,∴AD AF =O 2D O 1F ,易求得AF =4,BF=6,O 1F=2,则AD 4=O 2D 2,即AD=2O 2D=2r 2;同理,由△BO 1F ∽△BO 3E 可求得BE=3r 2.又DE=O 2O 3=2r 2,则AD+DE+BE=2r 2+2r 2+3r 2=10,∴r 2=107.(Ⅲ)如图8,仿上小题推导过程易求得AD=2r n ,BE=3r n ,DE=O 1O n =2(n -1)r n ,那么AB=2r n +2(n-1)r n +3r n =(2n+3)r n =10,∴r n =102n+3.练习:已知,如下图:在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,BC =8.(1)图9中一正方形EFGH 在Rt △ABC 中,其中EF 在AB 上,H 、G 分别在AC 、BC 边上,求正方形EFGH 的边长a 1;(2)有两个边长相等的正方形在Rt △ABC 中,其位置如图10所示,求这两个正方形的边长a 2;(3)有n 个边长相等的正方形在Rt △ABC 中,其位置如图11所示,求这n 个正方形的边长a n ./c ssh 。
从一道立体几何试题所想到的多种解法
ｃ ， 侧面Ａ Ｂ Ａ 是 形 ｌ’ ． ． Ｂ ｌｌ 矩
连 Ｄ 因Ｄ ， 是ＡＡ 的 点则 Ｄ Ｂ，． Ｅ － ｌ 中 ， ＝Ｄ ‘ ＿＇ Ｃ ，Ｅ Ｃ的中 ‘ Ｌ－ Ｄ Ｔ ￣Ｂ Ｃ ， 是 点
．
ＥＥ ＝ Ｃ，
．Ｂ ‘ Ｄ＝ＤＣ， ．
＝ ＞ ＡＢ ＡＣ ＝ ＝
解法 ６过 Ｅ Ｂ 的平 行线 ＭＮ， ： 作 Ｃ 分别交 Ｂｌ 、 ＣＣｌ于 Ｍ、Ｎ。 Ｂ
从 一 道 立 体 几 何 试 题 所 想 到 的 多种 解 法
５ １０ ６ １ ０贵 州省平坝 县第一 中学 吴高屏
立体几何是高考 中的热点内容 ，处理 方法很 多，下面以 ２ ０ ０ ９年高考 数学理三 （ 几何） 为例 ，从 多方面 ，多渠道来 解决高考 中的立体 几何题 。 立体
（ ０．． ） 图． 三 柱Ａ Ｃ—ＡＢＣ 中，Ａ ２９ １ 如 直 棱 Ｂ ０ 理８ Ｉ１ Ｂ上ＡＣ， 、Ｅ分别 Ａ 、 Ｃ的中 Ｄ 为Ａ ， 点，ＤＥ上平 ｃ 面 ｃ
ＡＢ ＝Ａｌ ＣＪ， ’Ａ ＝Ａ】 ． ． Ｃ ‘ Ｃ１
．Ａ ＝ Ｃ ‘ ＢＡ ．
解法８ ： 连接Ｂ Ｃ ， ｌ １ 交Ｂ ｃ于Ｅ 。 Ｅ 平面ＢＣＧ ，． 上 ‘ Ｄ
Ｂ Ｄ、ＣＤ分别在平 面 Ｂｌ ＣｌＣＢ 上的射影是 Ｂ 、ＣＥ Ｅ ，
侧面 Ｂｌ Ｃｌ ＣＢ 是矩形 ，Ｅ Ｂｌ 的 中点 是 Ｃ
观察 １ ６ ８
则 点 Ｍ、Ｎ分别为 Ｂｌ 、 ＣＣｌ Ｂ 的中点。
由 为 ｃ 的 中点 ． ・ ．ＭＥ Ｎ ＝ Ｂ ， ＝ ｃ
ＤＥ 上平面 ＢＣＣ， ．ＤＥ＿ＭＮ， ＤＥ为 ＭＮ的垂直平分线 ，． Ｌ ‘ 即
ＤＭ＝ ＤＮ， ‘Ｍ、Ｄ、Ｎ分别 为侧棱 Ｂｌ 、 ＡＡｌ ＣＣ１的中点 。 又 ． 。 Ｂ 、
一道中考题的多种解法赏析
一６ ＋ ， ．一 ｎ ６ 一 １ ，
十 ＋
． ＋
．
②
① 一② ， 得
１ｓ
＝
２ ＋
＋
＋
所 一 ∑（ 一ｋ＝１ ∑嘉一 以 ６ ＋ ｂ ＝＋ ）＝
…
十
掣．
２一 ≥ ２． ）
ｋ ｌ
＝ １
所以 ｓ 一 ２＋ １十 ＋ … ＋
ＨＣＧ 一
－二
｛Ｏ 一 （ ， Ｃ
所以 ＡＯ ＯＥ Ａ Ｃ Ｄ． Ｏ
因 此 ， 四 形 Ｓ 边 （
Ｓ△ Ｈ 一 １ ．
一 Ｓ （， Ｓ ｆ 一 Ｓ ｆ 一 △，Ｄ— △ ， （ △
Ｄ． 此 因
“ 积割 补法 ”是解决 几何 问 题 的 常用 方 法． 面
Ｇ 一
Ｉ Ｇ， △ ＨＣ △（ ２ 所 以 Ｓ 边 【Ｂ Ｘ＇ 故 Ｅ Ｘ Ｄ， 形ｚＤ
Ｓｌ （ Ｈ ： １ ．
—
实现 问题 的解 决 ； 形 法 是 将 不 规 则 的几 何 体 补 补 形成 常规 的 、 熟悉 的 图形 ， 体现 了局 部 到整体 的转
到 △ Ａ１ Ｂ ． 知 Ａ（ ， ） Ｂ（ ， ） ０ 已 ４ ２ ， ３ ０．
（ ） Ａ Ｂ 的 面 积 是 １△ Ｏ ； Ａ．点 的 坐
的旋转 过程 中， 玲 和 小 惠发 现 旋 转 中的 三 角形 小
与 △ Ａ Ｂ 重叠 部分 的面积 不断 变小 ， Ｏ 旋转 到 ９ 。 ０
Ｄ 一 Ｅ ＣＧ ， 即 ＥＣＨ
如果 图形 不规 划 ， 条件 不便 使用 ， 通过 “ 可 割补 法 ”
把 图形 转 化 为 熟 悉 、 单 的 图 形 ， 而 使 问 题 获 简 从 解． 割 补 法 ”有 分 割 和 补形 两种 ． 割 法 是 将 不 “ 分 规则 的几 何体 运 用切 割技 术手 法 ， 整体 为部 分 ， 化
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
JIETIJIQIAOYUFANGFA
解题技巧与方法
121
数学学习与研究
2019.16
关于一道初中几何试题的多种解法
◎唐小淋任小清何甜杨婷（西华师范大学，四川南充
637000）
【摘要】几何与图形是初中阶段四大板块之一，在整体知识结构中有着举足轻重的作用．本文主要对一道初中几何试题的第一小问给出多种证明方法，从不同角度出发，有助于提升学生的发散性思维．【关键词】面积相等法；构造全等法；倍长线段法；翻折图形法；三角函数法几何与图形是中考命题的热点内容之一，所占分值比重较大，尽管不同省份不同地区知识点比重分布不一，但几何部分在中考中的比重几乎占到30%到40%，可见几何与图形在初中阶段的重要性．而关于几何题的证明及其解法往往不止一种，但却有一定的规律可循，因此，我们在平时的学习中，应善于总结发现一类题目的解题方法．同时，这也就要求我们教师平时在上课中应尽可能多地为学生提供不同的思路，这也有助于培养学生的发散性思维和创造性思维，激发学生对数学学习的兴趣．图1题目如图1所示，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG垂直AB于点G．CG，PM，PN之间有什么数量关系？证明你的猜想．CG=PM+PN．方法一面积相等法图2证明（如图2所示）连接AP．∵S△ABC=12AB·CG．同时，S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PM+12AC·PN．∵AB=AC，∴S△ABC=12AB·CG=12AB（PM+PN），∴CG=PM+PN．方法二构造全等法图3证明（如图3所示）过点P向CG作垂线，垂足为点H．∵PM⊥AB，CG⊥AB，PH⊥CG，∴∠PMG=∠MGH=∠GHP=90°，∴四边形MGHP为矩形，MP=GH．∵PH∥AB，∴∠HPC=∠ABC．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，故∠HPC=∠NCP．∵PH⊥CG，PN⊥AC，∴∠PHC=∠CNP=90°，而PC=CP，∴△HPC≌△NCP（AAS），∴PN=CH，因此，CG=PM+PN．方法三倍长线段法证明（如图4所示）延长MP，使PQ=PN，连接CQ．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．图4∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠PMB=∠PNC，
∴∠BPM=∠CPN．
又∵∠BPM=∠
CPQ，
∴∠CPN=∠CPQ，
而
PC=PC，PN=PQ，
∴△PNC≌△PQC（SAS），
∴∠PNC=∠PQC=90°．
又∵∠QMG=∠MGC=∠
MQC=90°，
∴四边形MQCG为矩形，∴MQ=CG．
因此
，CG=PM+PN．
方法四翻折图形法
图
5
证明（如图5所示）将△PNC绕线
段
PC翻折得到△PＲC，
∴△PNC≌△PＲC，
∴PN=PＲ，∠NCP=∠ＲCP．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠
ACB，
∴∠ABC=∠ＲCP，故CＲ∥MG．
∵PM⊥AB，CG⊥AB，∴PM∥CG，
∴∠BPM=∠BCG．
又∠BPM=∠CPN，而∠NPC=∠
ＲPC，
∴∠BCG=∠ＲPC，∴PＲ∥CG．
∵PＲ∩PM=P，∴ＲM∥CG，∴四边形MGCＲ为矩形．
∴MＲ=CG，∴CG=PM+PN．
方法五三角函数法
证明设BP=a，CP=b，∠ABC=α
．
∵PM⊥AB，PN⊥AC，CG⊥AB，
∴∠PMB=∠PNC=∠BGC=90°．
在Ｒt△BMP中，PM=BP·sinα=a·sinα
．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACP=α
．
在Ｒt△PNC中，PN=PC·sinα=b·sinα
．
在Ｒt△BGC中，CG=BC·sinα=（a+b）·sinα
，
∴CG=PM+PN．
以上给出了本题的五种证明方法，其实对此题还有其
他的解法
，例如，将方法三中的辅助线改为：延长MP，
过点
C向MP的延长线作垂线交于一点O，证明△PNC≌△POC
即可．其实，对这类线段的和（差）问题证明的题目，有一个
最基本的解法
，就是可通过“截长补短法”
来实现对线段数
量关系的证明
．在平时的教学中，
教师应注意培养学生的求
异思维
，即一题多解的能力，可以引导学生从不同的角度、
各种途径探求解题方案，这样既可展现学生的思维过程，增
加教学透明度
，又有利于拓宽学生的思维，
增加学生思维的
灵活性与广阔性
，激发学生的创新意识．同时，
对解同一道
题目
，若选择的思维起点不一样，
其解决问题的复杂程度也
不一样
，因此，
我们要善于引导学生去分析比较哪一种方法
更具有优势
，并灵活调整，使学生学起来游刃有余．
【参考文献】
［1］蔡斌．启发学生思维突破初中几何学习难点［J］．
北京教育学院学报（自然科学版
），2014（4）：48－53．