瞬时无功功率与传统功率理论的统一数学描述及物理意义
三相电路瞬时无功功率理论
三相电路瞬时无功功率理论首先1983年由赤木泰文提出，此后该理论经不断研究逐渐完善。
赤木最初提出的理论亦称pq 理论，是以瞬时实功率p 和瞬时虚功率q 的定义为基础，其主要的一点不足是未对有关的电流量进行定义。
下面将要介绍的是以瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 为基础的理论体系，以及它与传统功率定义之间的关系。
设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。
为分析问题方便，把它们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。
由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e 32βα （6-1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i 32βα （6-2） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=23230212113232C 。
图6-1 βα-坐标系中的电压、电流矢量在图6-1所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 分别可以合成（旋转）电压矢量e 和电流矢量ie e e e e ϕβα∠=+= （6-3）i i i i i ϕβα∠=+= （6-4）式中，e 、i 为矢量、的模；e ϕ、i ϕ分别为矢量e 、i 的幅角。
【定义6-1】三相电路瞬时有功电流p i 和瞬时无功电流q i 分别为矢量在矢量及其法线上的投影。
即ϕcos i i p = （6-5）ϕsin i i q = （6-6）式中，i e ϕϕϕ-=。
βα-平面中的p i 、q i 如图6-1所示。
【定义6-2】三相电路瞬时无功功率q （瞬时有功功率p ）为电压矢量e 的模和三相电路瞬时无功电流q i （三相电路瞬时有功电流p i ）的乘积。
即 p ei p = （6-7）q ei q = （6-8）把式（6-5）、式（6-6）及i e ϕϕϕ-=代入式（6-7）、式（6-8）中，并写成矩阵形式得出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβααββαi i C i i e e e e q p pq （6-9） 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=βββαe e e e C pq 。
定义三相电路瞬时有功电流
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4
2电能质量的数学分析方法
二、连续傅里叶变换
设f(t)为一连续非周期时间信号，满足狄里赫利条件，那么，f(t)的 傅里叶变换存在，并定义为 ：
反变换为
^
F() f ()
f (t)e jtdt
∨
f (t) F ()
其中
1T
c0 T 0 f (t)dt
ah
2 T
T
0 f (t) cosh1tdt
bh
2 T
T 0
f (t)sinh1tdt
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2电能质量的数学分析方法
电力系统的非正弦量的对称性可使傅里叶级数简化： 奇对称、偶对称、镜对称、双对称
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2电能质量的数学分析方法
备时域信息。
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2电能质量的数学分析方法
在电能质量分析领域中，傅里叶变换得到了广泛应用。但是，在运 用FFT时，必须满足以下条件： ①满足采样定理的要求，即采样频率必须是最高信号频率的2倍以上； ②被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。当采样频率或信 号不能满足上述条件时，利用FFT分析就会产生“频谱混叠”和 “频谱泄漏”现象，给分析带来误差。
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2电能质量的数学分析方法
防止频谱混叠方法：
加带宽为fS /2的低通滤波器，滤去 fS /2以上信号分量。
提高采样速率。
五、快速傅立叶变换(FFT)
快速傅里叶变换算法最早于1965年提出，巧妙地利用W因子的周
期性和对称性，导出的高效快速算法，FFT使N点DFT的乘法计算
瞬时功率理论 ppt
赤木泰文介绍：赤木泰文（HirofumiAkagi），日本东京技术学院 （TokyoInstituteofTechnology）电气工程学教授，讲授电力电子 学。1996年当选为IEEE会士（1EEEFellow）.1998～1999年被 选为IEEE工业应用学会和电力电子学会的杰出演讲者，2001年 获得国际电力电子学领域的最高奖——IEEEWilliamE.Neweli 奖.2004年获得IEEE工业应用学会杰出成就奖。
pt et i t e(t )T i (t ) cos
T
定义有功分量 i p 为电流向量 i (t ) 在电压向量 e(t )上的正 交投影，则 i p i cos .
e(t )T i (t ) e(t ) p (t ) ip e(t ) 2 e(t ) e(t ) e(t )
Akagi瞬时无功功率的不足之处： （1） 只适用于无零序电流和电压分量的三相系统； （2）只能用于三相系统，不能推导单相、多相的 情况
2.3.3 基于电流分解的瞬时无功功率
不直接对功率进行分解，而是将电流分解为平行 于电压的有功分量和垂直于电压的无功分量。
将瞬时功率定义为电压向量和电流向量的内积：
其中
1 1 1 2 2 2 C32 3 3 3 0 2 2
定义瞬时有功功率为： p(t ) e i e i eaia ebib ecic 定义瞬时无功功率为： q(t ) e i e i
α、β平面上的瞬时有功电流 i p 和瞬时无功电流 iq 分 别为瞬时空间矢量i在瞬时空间矢量电压e及其法线上 的投影 i i cos, i i sin
现代电力电子技术
——2.3 瞬时功率理论
三电平NPC整流器新型直接功率控制策略
三电平NPC整流器新型直接功率控制策略李宁;王跃;王兆安;张辉【摘要】在电压型三电平NPC整流器的控制策略中,直接功率控制(DPC)策略具有算法简单、动态性能好的优点.分析了电压型三电平NPC整流器DPC策略的基本原理,推导了三电平NPC整流器DPC策略数学模型,研究了各矢量对系统瞬时功率的影响,提出了一类新颖的无需交流电压传感器的三电平NPC整流器DPC策略.该新型策略在实现系统瞬时功率控制的同时,还兼具直流电容电压波动控制能力.仿真和实验验证了提出方法的正确性和有效性.【期刊名称】《电气传动》【年(卷),期】2015(045)010【总页数】5页(P43-46,67)【关键词】三电平NPC整流器;直接功率控制策略;数学模型;交流电压传感器;直流电容电压波动【作者】李宁;王跃;王兆安;张辉【作者单位】西安理工大学自动化与信息工程学院,陕西西安710048;西安交通大学电气工程学院,陕西西安710049;西安交通大学电气工程学院,陕西西安710049;西安交通大学电气工程学院,陕西西安710049;西安理工大学自动化与信息工程学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】TM464电压型三电平中点钳位（NPC）整流器是目前最常用的多电平整流器［1］，相比于传统的两电平整流器，三电平整流器具有输出功率大、输出波形THD小、器件电压应力和系统EMI低等多方面的优点，因而被广泛地应用于各种中高压大功率场合［2-3］。
高性能控制策略是三电平NPC整流器的研究热点。
目前，最常用的控制策略是电压定向控制（VOC）策略。
1991年，Ohnishi T教授提出了直接功率控制策略（DPC）［4-10］。
与VOC策略相比，DPC策略直接选择合适的矢量实现对瞬时功率的控制，因而具有算法简单、动态响应更好等优点［11-17］。
然而，由于三电平NPC整流器的特殊性及矢量复杂性，DPC策略的应用远不如VOC策略广泛。
瞬时无功功率理论.
因此，d轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和，
i d i dp idq
坐标变换与变换矩阵
5．3/2变换结果代入2/2变换后有
id sin cos sin(1t ) I i m 2 cos sin cos(1t ) q
矢量变换原理与坐标变换
电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。 关于旋转磁动势的认识： 1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是， 除了单相电机之外，两相,三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若 通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。 根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90 度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相 (3-2)变换的思路。 绕组的作用。这就是ABC 2)。进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂 直的绕组M,T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的， 但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生 d q(2-2)变换.
可见，上式与2/2变换结果相同。
坐标变换与变换矩阵
7.进一步引申还可知道
可以看出，经过3/2和2/2变换，三相交流系统中的基波有功分量 和基波无功分量在d-q坐标系表示为直流分量，或者讲，被变换的三相 电流中若既含有基波电流，又有高次谐波电流，则经过变换后所获得 的 直流分量对应原来的基波电流，而变换获得的谐波分量将对应原来的 （n-1）次谐波电流（注意到，3/2变换的结果仍保持频率不变，且两变 量为正交分量）。 由此启发人们利用这样的变换/反变换结果来获取除了基波成分之 外的其它畸变分量。 应注意到，虽然上述对电压的3/2变换代入到瞬时功率表达式中， 可以得到与2/2变换同样的结果。但在实际应用时却属两种检测算法。 例如，它们的低通滤波器设计参数不同；由于d-q坐标系是以 旋转的， 它与轴的夹角是随时间变化的，还需从系统电压提取同步相位信息。 另 外，当考虑电压畸变时， 2/2变换仍是准确的。
无功功率理论
P=pap +pbp +pcp q=paq +pbq +pcq
且有 且有
T P dt =P 0 T q dt 0
三相广义瞬时无功功率
=0
pa =VIcos(φV − φI )[1-cos(2ωt + 2φv )]-VIsin(φV − φI ) sin(2ωt + 2φv )
式中，前后两相分别为该相瞬时功率的有功分量和无功分量。 电力系统中很多动态过程的时间很短, 往往发生在几个甚至一个周波之内。 特别是随着 对电力系统供电质量要求的提高, 许多对电力系统的瞬态控制也要求在几个甚至一个周波 内完成。 这使得电压和电流的幅值和相位差都可能在一个周波内发生变化, 相应地有功功率 和无功功率可能在一个周波内发生变化。这些现象用基于平均值(方均根值) 概念的电压和 电流的有效值、有功功率和无功功率是无法描述的。 瞬时无功功率理论 设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为va 、vb 、vc 和ia 、ib 、ic （不考虑零序电压、 电流） ， 它们变换到两相正交的α-β坐标系上,可得两相瞬时电压vα ， vβ 和两相瞬时电流iα ,iβ 。
P=vα iα +vβ iβ
Akagi将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率
（3） (4) (5)
P=iα .vα +iβ .vβ
定义瞬时虚功率q
q=iα ×vβ +iβ ×vα
率
设α − β − γ为互相垂直的右手坐标系，则q与γ轴重合，定义q在γ轴的投影q为瞬时虚功
q=vβ iα -vα iβ
将式（3）和（6）写成矩阵形式
传统无功功率理论 在三相对称正弦电路中， 设相电压和相电流有效值分别为 V 和 I， a 相初相角分别为φv 和φi ,则三相电路有功功率和无功功率分别为
关于瞬时无功功率理论的探讨
关于瞬时无功功率理论的探讨山 霞(武汉大学电气工程学院,武汉430072)摘 要:通过瞬时无功功率P-Q理论(IR P)及电流物理分量理论(CP C)在电网电压、电流为正弦的三相三线制不对称电路中的应用的对比,表明瞬时无功功率理论的分析结果与电路中的某些功率现象不一致:即无功功率Q 为零时,瞬时无功电流可能不为零;有功功率P为零时,瞬时有功电流不为零;电源电压为正弦,负荷为非谐波源时,瞬时有功电流和瞬时无功电流中都包含三次谐波分量。
瞬时有功功率p、瞬时无功功率q与有功功率P、无功功率Q及不平衡功率D之间的关系说明p、q分别与多个功率现象相关,仅用P、Q的瞬时值不能无延时的辨识三相负荷不对称系统的功率特性。
这一结论对有源电力滤波器的控制算法具有重要意义。
关键词:瞬时无功功率理论;电流物理分量理论;有源滤波器;不对称系统;控制算法中图分类号:T M71文献标识码:A文章编号:1003 6520(2006)05 0100 03Discussion on Instantaneous Reactive Power P Q TheorySH AN Xia(School of Electrical Eng ineer ing,Wuhan U niv ersity,Wuhan430072,China)Abstract:T he compariso n of the instant aneous reactive power P Q theo ry(IR P)wit h the t heo ry o f the cur rent's physical components(CP C)presented in this pa per reveals t he results of t he IR P P Q theor y are inconsistent w ith po wer phenomena in three phase,three w ir e cir cuit s w ith sinusoidal vo ltag es and curr ents.N amely,according to the IR P P Q T heor y the instantaneous reactive cur rent can occur ev en if a load has zero reactive power Q.Similarly, the instantaneo us activ e cur rent can o ccur ev en if a load has zero act ive pow er P.M or eover,t hese tw o cur rents in circuits w ith a sinusoidal supply v oltage can be nonsinusoidal even if there is no so ur ce of cur rent distor tio n in the load.T he relat ionship betw een the instantaneous pow ers(p,q)and the activ e,reactiv e and unba lanced po wer(P, Q,D)sho ws the p and q po wer s ar e associated w ith multiple phenomenon,and the IR P P Q T heor y can no t identify po wer propert ies o f thr ee phase unbalanced loads w ith a pair of values of p and q po wer s instantaneo usly.T his con clusio n may have an impo rtant va lue for co ntr ol alg or ithms of activ e pow er f ilter s.Key words:instantaneous reactive pow er theor y;theor y of curr ent s physical components;act ive po wer f ilter s;un balanced sy stems;co nt rol alg or ithms0 引 言为解决谐波、无功功率的瞬时检测和不用储能元件实现二者补偿的问题,Akag i提出的瞬时无功功率P Q理论(IRP)[1 4],是脉冲宽度调制(PWM)技术及有源滤波器的数学基础,极大推动谐波和无功补偿装置的研究开发,是分析非正弦三相电路功率特性的理论工具[5 12]。
三相电路瞬时无功理论及其应用
3.1.1 三相电路瞬时无功理论及其应用3.1.1.1 三相电路瞬时无功理论三相电路瞬时无功功率理论的提出始于20世纪80年代，由赤木泰文提出，该理论突破了传统的以平均值为基础的功率定义，系统地定义了瞬时无功功率、瞬时有功功率等瞬时功率量[18]。
设三相电路的电压电流瞬时值分别为c b a c b a i i i u u u ,,,,,。
然后把它们变换到βα-两相正交的坐标系上得到两相瞬时电压βαu u ,及两相瞬时电流βαi i ,，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a u u u C u u 32βα(3.1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i 32βα(3.2)其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=2/32/302/12/1132C (3.3)在图3-1所示的βα-平面上，失量βαu u ,和βαi i ,可以合成为电压失量U 和电流失量I 。
u βαu u u U ϕ∠=+=(3.4)i βαi i i I ϕ∠=+=(3.5)图中三相瞬时有功电流为ϕcos I i p =(3.6)用相瞬时无功电流为ϕsin i i q =(3.7) 其中i u ϕϕϕ-=(3.8)则瞬时有功p 为电压失量U 与瞬时有功电流p i 和乘积；瞬时无功功率q 为电压失量U 和瞬时电无功电流q i 的乘积。
即：p Ui p =(3.9)q Ui p =(3.10)则由(3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10)整理得矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαβααββαi i C i i u u u u q p pq(3.11)式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=αββαu u u u C pq 。
再把式(3.1) (3.2)代入(3.11)得c c b b a a i u i u i u p ++=(3.12)[]c b a b a c a b a i u u i u u i u u q )()()(31-+-+-=(3.13)图3-1：βα-坐标图Fig.3-1: Diagram for βα- coordinate由图3-1中投影关系可得p u u ui U u i i p u p ap 22cos βαααϕ+===(3.14)p u u u i U u i i p u p p 22sin βαβββϕ+===(3.15)q u u ui U u i i q u q aq 22sin βαββϕ+=== (3.16)q u u ui U u i i q u q q 22cos βαααβϕ+-=-=-=(3.17)p u u u i u p p 222βααααα+==(3.18)p u u u i u p p 222βαββββ+==q u u u u i u q q 22βαβαααα+==(3.20)q u u u u i u q q 22βαβαβββ+-==(3.21)在(3.15)到(3.17)各式中，在时间坐标下的三相有功电流、无功电流与βα-坐标下的有功电流与无功电流存在以下关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡p p cp bp ap i i C i i i βα23(3.22)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡q q cq bq aq i i C i i i βα23(3.23)在式(3.22)、(3.23)中T3223C C =。
瞬时功率
ϕ1 ϕ2
P
Q
思考：能否用串联电容提高 ϕ ? 能否用串联电容提高cos
P2吸 = 1116(W )
Q2发 = 3348(Var )
& &S S发 = UI * = 1885 − j1425 VA
P源发 = 1885(W) 校验： 校验： Q源吸 = 1425(Var)
769+j1923+1116-j3348 = 1885-j1425
S吸 = S发
P吸 = P发
Q吸 = Q发
S 2吸 = 236∠ − 37.1o • 14.94∠ − 34.5o = 1116 − j3348 VA
& &* S1吸 = UI1 = 236∠ − 37.1o • 8.77∠105.3o = 769 + j1923 VA Q P S 2吸 = 236∠ − 37.1o • 14.94∠ − 34.5o = 1116 − j3348 VA
& IC
& U
_
& IL
随C增大 增大
欠 不要求(电容设备投资增加 经济效果不明显) 全——不要求 电容设备投资增加 经济效果不明显 不要求 电容设备投资增加,经济效果不明显 使功率因数又由高变低(性质不同 过——使功率因数又由高变低 性质不同 使功率因数又由高变低 性质不同) 综合考虑，提高到适当值为宜( 左右)。 综合考虑，提高到适当值为宜 0.9 左右 。
6. 有功功率的测量 电压线圈 单相功率表原理 设电流i 从电流线圈“ ” 设电流 1从电流线圈“*”端流入 电压u正端接电压线圈“ ” 电压 正端接电压线圈“*”端 正端接电压线圈 * i1
*
i2
+
瞬时功率理论在电力系统测量中的应用
流与电源电压完全一致是不可能的。因此，直接用三相电流与
三相电压的相关系数来评价三相负载的性能好坏是不合适的， 可以用去除零序分量后的三相电压与三相电流的相关系数作为评 价三相三线制电路负载性能好坏的指标。
瞬时功率理论在电力系统测量中的应用
综上所述，假如研究出一套公认的瞬时功率
理论，将是对电力系统的一次大改革，将产生巨
网中的谐波和无功电流并进行补偿，需研究电路中的各种功率
成分以及它们之间的关系。本文在三相对称电路中应用三角函
数分析了提出的瞬时有功功率和广义瞬时无功功率，指出它们 与传统功率理论的有功功率和无功功率的关系，说明了广义瞬 时无功功率理论对传统功率理论的延伸。
5.在电力系统测量中的应用
一个合理完善的瞬时功率体系应该做到物理概念清晰，数 学体系完整，并在一定条件下与传统功率理论相统一。从数学的 角度对传统功率理论体系进行了扩展，但未给出明确的物理解释 ；从物理意义的角度出发，提出了最小做功能力的概念但在数学 上却不够完美；又有人提出了一种基于最小能量传输损失或称 作电流最小做功能力损失的通用瞬时功率理论，物理意义明确 ，能够清晰地解释各种功率现象，并且在该理论体系中传统功 率理文将从数学与几何的角度对这一通用瞬时功率理论作进一
大的影响和意想不到的经济效率。
5.在电力系统测量中的应用
对于三相四线制电路或满足条件ua+ub+uc=0的三相三 线制电路，可以直接用三相电压与三相电流的相关系数作为评 价，三相负载好坏的指标对于不满足条件ua+ub+uc=0 的三
相三线制电路，三相电压中含有零序分量，而由于三相三线电
路的固有约束，三相电流中不可能含有零序分量，要求负载电
4.瞬时功率理论的意义
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q= 3
∑
hV
kv
= ki
kv
I k i± sin ( Υ - Υ kv ki ) +
3
kv
∑ g hV
≠k i
I k i sin [ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16b )
代入式 ( 3) 和 ( 6) , 得 p = 3V 1 I 1 co s ( Υ Υ 1v li ) q = 3V 1 I 1 sin ( Υ Υ 1v 1i )
vΑ= vΒ = iΑ = iΒ = -
同样可推得瞬时实功率和瞬时虚功率分别为
p = 3
kv
∑
kv
V
kv
= ki
I k i co s ( Υ kv
- Υ + ki
3
kv
∑ gV
≠k i
kv
I k i co s[ (k v
- g k i ) Ξt + Υ - gΥ kv ki ] ( 16a )
3 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 3 V 1 co s ( Ξt + Υ 1v ) 3 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 3 I lco s ( Ξt + Υ 1i ) ( 12a ) ( 12b )
教授, 博士生导师, 主要从事电力电子技术和工业自动化领域的研究与教学工作, 发表论文约 70 篇, 专著、译著各一部。
第 13 卷第 6 期
刘进军等 瞬时无功功率与传统功率理论的统一数学描述及物理意义 7
iΑ iΒ
功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩展, 因而易于理解, 各物理量之间的关系清晰, 物理意义 明确。 为了说明问题, 文中将首先对赤木泰文等人的 三相电路瞬时无功功率理论作简单回顾, 并推导出 其在不同情况下的功率表达式。
设Α 2Β2Χ 为相互垂直的右手坐标系, 则 q 与 Χ 轴重
( 6)
=
( 7)
将其写成反变换形式并分解如下
3 赤木原文中称为瞬时实功率和瞬时虚功率, 文献 [ 3 ～ 5 ] 称之为瞬时有功功率和瞬时无功功率。另外, 赤木原文定义
q = vΒ× iΑ+ vΑ× iΒ, 故其 q 的定义式与本文式 (6) 符号相反, 作者将另文说明按本文式 (5) 和 (6) 的定义更符合普遍的
瞬时有功电流、瞬时无功电流。定义 Α相和 Β 相的瞬 时有功功率、 瞬时无功功率分别为该相瞬时电压与 瞬时有功电流、 瞬时无功电流的乘积, 并分别记为
pΑ pΑ p Βp、 p Βq。考察其与各相瞬时功率 p Α 、 p Β 的关 p、 q、
功率表达式推导
211 赤木瞬时无功功率理论的有关定义
瞬时无功功率理论的核心是赤木提出的有关瞬 时无功功率的定义 [1, 2 ]。设三相电路的瞬时电压和瞬 时电流分别为 v a、 v b、 v c 和 ia、 ib、 ic。为简明起见, 下文 中均只考虑电压和电流中不含零序分量的情况。 将 它们分别变换到两相正交的 Α 2Β 坐标系上, 可得两 相瞬时电压 v Α 、 v Β 和两相瞬时电流 iΑ 、 iΒ 如下
=
2 3
3 2 1 1 2 0 3
vc ia ib
( 2)
瞬时有功、无功电流和瞬时有功、无功功率, 得到与 式 ( 9) 类似的关系式。
2 2 如图 1 所示, 在 Α 、 v Β 和 iΑ 、 2Β 平面上, 矢量 v Α
iΒ 可分别进一步合成电压矢量 v 和电流矢量 i。实际
-
ic
上 vΑ 、 v Β 和 iΑ 、 i Β 分别是 v 和 i 在 Α轴、Β 轴上的投影。 在Α 2Β 坐标系中, 两相总的瞬时功率为 p = v ΑiΑ + v ΒiΒ 赤木将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率 p = iΑ・v Α+ iΒ・v Β 定义瞬时虚功率矢量 q 为 q = iΑ×v Β+ iΒ×vΑ 合, 定义 q 在 Χ轴上的投影 q 为瞬时虚功率3 q = v ΒiΑ - v ΑiΒ 将式 ( 3) 和 ( 6) 写成矩阵形式
p q v Α v Β v Β 2v Α iΑ iΒ
3
( 3) ( 4)
图 1 赤木提出的在 Α 2Β2Χ坐标系中的功率定义
( 5)
这里, 瞬时实功率和瞬时虚功率与传统功率定 义中三相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 各相的瞬时有功功率和瞬时无功功率与传统功率定 义中单相电路的有功功率和无功功率是什么关系, 瞬时虚功率与各相瞬时无功功率又是什么关系, 这 些问题在已有文献中都没有深入分析, 使得瞬时无 功功率理论的物理意义很模糊, 而且局限于 “各相的 瞬时无功功率对总的瞬时实功率没有贡献, 而是在
( 14b
21213 电压和电流均畸变或不对称时
此时电流如式 ( 13) 所示, 电压的表达式形式类 似, 如下所示
∞
此时三相电压和电流可表示如下 v a = v b = v c = ia = ib =
2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v ) 2Π ) 3 2Π ) 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v + 3 2 V 1 sin ( Ξt + Υ 1v 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ) 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i ( 10a ) ( 10b ) ( 10c) ( 11a ) ( 11b ) ( 11c)
式中, k v = k i 表示二者的次数和相序均相同, 而
h= g=
1 当电压取正序分量时 - 1 当电压取负序分量时 1 当电压和电流取相同相序时 - 1 当电压和电流取不同相序时
21212 电压为对称正弦而电流有畸变或不对称时
此时电压仍如式 ( 10) 所示, 而畸变的电流中每 个频率的分量都可能含有正序和负序成分, 可表示 如下
1 引言
近年来, 谐波和无功功率的补偿问题日益受到 重视。 在要求对变化的谐波或无功功率进行快速的 动态跟踪补偿的场合, 建立在平均值基础上的传统 功率理论已经难以适用。 80 年代初, 日本学者赤木泰 文 (H. A kagi) 等人提出了建立在瞬时值基础上的
三相电路瞬时无功功率理论 [1, 2 ] , 引起了诸多学者的 跟踪研究, 并成功地应用于实际 [3～ 5 ]。但是, 该理论 与传统功率理论的关系一直没有得到清晰透彻的分 析。 本文试图深入分析三相电路瞬时无功功率理论 与传统功率理论的关系, 建立二者的统一数学描述, 揭示瞬时无功率的物理意义。 这种分析和统一数学 描述是基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功
习惯。
8
电工技术学报
∞
1998 年 12 月
各相之间相互传递”这一点。
212 各种情况下功率表达式的推导
3V
Байду номын сангаас
1
下面给出各种情况下基于瞬时无功功率理论的 具体功率表达式, 以便下文对照。
21211 电压和电流均为对称正弦时
k i2= 12 k i+ = 2+
∑
I k i sin [ (k i ± 1) Ξt + Υ ±Υ ki 1v ]
刘进军 王兆安 ( 西安交通大学)
an J iao tong U n iversity ) L iu J in jun W ang Zhaoan (X i′
摘 要 基于将传统功率理论中有效值、 相位差、 有功功率和无功功率等概念向瞬时值概念的自然扩 展, 建立了三相电路瞬时无功功率理论与传统功率理论的统一数学描述, 深入分析了二者之间的关 系, 揭示了瞬时无功功率理论的物理意义。 叙词: 无功功率 功率 理论 谐波
va = vb = vc =
2
kv
∑
= 1
V V V
kv
sin (k v Ξt + Υ kv ) sin (k v Ξt + Υ ± kv sin (k v Ξt + Υ ki
( 15a ) 2Π ) ( 15b ) 3 2Π ) ( 15c) 3
∞
2
kv
∑
= 1
kv
∞
2
kv
∑
= 1
kv
2Π ) 3 2Π ) ic = 2 I 1 sin ( Ξt + Υ 1i + 3 分别代入式 ( 1) 和 ( 2) 可得
( 1)
=
2 3
1 0
1 2
1 2 3 2 1 2 3
va vb
递。 这也正是赤木给出瞬时实功率、 瞬时虚功率及各 相瞬时无功功率、 瞬时有功功率定义的依据。 类似 地, 由式 ( 8) 以及与式 ( 2) 相对应的反变换 ( 并注 意到电流中不含零序分量) 可以定义 a、b、c 各相的
iΑ iΒ
国家自然科学基金资助项目。 199621024 收到初稿, 199827210 收到修改稿。
刘进军 男, 1970 年生, 1997 年毕业于西安交通大学电气工程学院, 获工学博士学位, 现为该校工业自动化教研室讲师,
研究方向为谐波的分析和抑制, 无功功率补偿等, 已发表论文 20 余篇。
王兆安 男, 1945 年生, 西安交通大学电气系毕业, 于日本人阪大学获博士学位, 现为西安交通大学电气工程学院院长,
vΑ vΒ
系, 可得 [1, 2 ] p Α = p Αp + p Αq p Β = p Βp + p Βq p Αp + p Βp = p p Αq + p Β q = 0
( 9a ) ( 9b ) ( 9c) ( 9d )
可见各相的瞬时无功功率对总的瞬时功率 ( 瞬 时实功率) 没有任何贡献, 而是在各相之间相互传
=
v Α v Β v Β 2v Α v Α v Β