高三数学考点知识归类解析与专题训练20---随机变量及其分布
随机变量及其分布知识点整理 推荐
随机变量及其分布知识点整理以及高考训练一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 两点分布如果随机变量X 的分布列为 X1P 1-p p则称X 服从两点分布。
二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n kn n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，X 01… k … nP00nn C p q111n n C p q -…k k n kn C p q - …n n n C p q此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率. 六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X DX X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差并称为随机变量的标准差例题练习11年山东数学高考红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.12年山东数学高考先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.13年山东数学高考甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果互相独立.（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.13年天津数学高考一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.13年北京数学高考下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
随机变量及其分布例题和知识点总结
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨随机变量及其分布的相关知识。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数。
简单来说，就是对于随机试验的每一个可能结果，都对应着一个实数。
例如，抛一枚硬币，正面记为 1，反面记为 0，那么这个结果就可以用一个随机变量 X 来表示。
二、随机变量的分类随机变量主要分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是有限个或者可列个。
比如，抛骰子出现的点数就是一个离散型随机变量。
连续型随机变量的取值是某一区间内的所有实数。
例如，某地区一天的气温可以看作是一个连续型随机变量。
三、离散型随机变量的分布1、概率分布列离散型随机变量 X 的概率分布列就是列出 X 所有可能取值以及对应的概率。
例如，随机变量 X 表示抛两次硬币正面出现的次数，X 可能取值为0、1、2，其概率分布列为：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 1/4 ｜ 1/2 ｜ 1/4 ｜2、常见的离散型分布（1）二项分布在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为：＼P(X=k) ＝ C_n^k p^k （1-p)＾｛nk}＼例如，一批产品的次品率为 01，从中抽取 10 个，其中次品的个数X 服从二项分布 B(10, 01)。
（2）泊松分布若随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，记为 X ～P(λ)，其概率分布为：＼P(X=k) ＝＼frac{e^｛＼lambda}＼lambda^k}｛k!｝＼泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
例题 1某工厂生产的产品废品率为 005，从产品中随机抽取 100 个，求废品个数不超过 5 个的概率。
解：设废品个数为 X，X 服从二项分布 B(100, 005)。
数学高考总复习：随机变量及其分布
随机变量及其分布知识网络知识要点梳理知识点一：离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：2．离散性随机变量的分布列：3．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）p i≥0,i=1,2…；（2）P1+P2+…=1知识点二：离散型随机变量的二点分布知识点三：离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，于是得到随机变量的概率分布如下：若～，则，。
知识点四：离散型随机变量的几何分布独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。
表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，如果把第k次重复试验时事件A发生记作A k，事件A不发生记作且称这样的随机变量服从几何分布，记作其中若随机变量服从几何分布，则，知识点五：超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：，其中，为超几何分布列。
离散型随机变量X服从超几何分布。
若随机变量X服从超几何分布，则，。
知识点六：离散型随机变量的期望与方差1、离散型随机变量的期望：2、离散型随机变量的方差：经典例题精析类型一：独立重复试验的概率1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．类型二：分布列的性质2试求出常数c与ξ的分布列。
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【变式2】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是_______．类型三：离散型随机变量的分布列3、某人参加射击，击中目标的概率是。
随机变量及其分布知识点总结资料讲解.doc
圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机 量的分布列一 般 地 ， 离 散 型 随 机 量 X 可 能 取 的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取 每 一 个 x i (i1,2, , n) 的 概 率P( Xx i ) p i ， 称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机 量 X 的概率分布列， 称X 的分布列 .离散型随机 量的分布列具有下述两个性 ：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机 量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 事件X k 生的概率 ：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机 量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。
注：超几何分布的模型是不放回抽 二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且 P( A)0 ,称P(B | A)P( AB )在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条件概率 .P( A)0≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C 互斥，那么 P[( B U C ) | A] P( B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB) P( A)P( B) ), 称事件 A 与事件B 相互独立。
即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 ，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布
高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
高中 概率、随机变量及其概率分布教案 知识点+例题+练习
教学过程(4)性质①E(aξ＋b)＝aE(ξ), V(aξ＋b)＝a2V(ξ)；②X～B(n, p), 则E(X)＝np, V(X)＝np(1－p)；③X～两点分布, 则E(X)＝p, V(X)＝p(1－p).考点一古典概型与几何概型例1已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}, 分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a, b)是区域内的随机点, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率．(1)解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时, 要准确理解基本事件的构成, 这样教学效果分析教学过程(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时, 应考虑使用几何概型求解.(1)(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn, 其中正整数m, n(m≤7, n≤9)可以任意选取, 则m, n都取到奇数的概率为________.(2)(2013·四川)节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．考点二相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试, 考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取), 两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析, 甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6.0.5.0.4, 能通过面试的概率分别是0.6.0.6.0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后, 至少有一人被该高校预录取的概率.教学效果分析概率模型的应用, 需熟练掌握以下常考的五种模型: (1)基本事件的发生具有等可能性, 一般可以抽象转化为古典概型问题, 解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题, 一般可以应用几何概型求解, 即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题, 可转化为互斥事件来解决, 解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题, 可转化为独立事件的概率问题, 其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题, 应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题, 一般可抽象为随机变量的期望与方差问题, 先求出事件在各种情况下发生的概率, 再应用公式求随机变量的期望和方差.课堂练习1. 如图, 用K、A1.A2三类不同的元件连结成一个系统. 当K正常工作且A1.A2至少有一个正常工作时, 系统正常工作. 已知K、A1.A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为________.2. 某保险公司新开设了一项保险业务, 若在一年内事件E发生, 该公司要赔偿a元. 设在一年内E发生的概率为p, 为使公司收益的期望值等于a的百分之十, 公司应要求顾客交保险金为________元.3．甲乙两支球队进行总决赛, 比赛采用七场四胜制, 即若有。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页1.随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它的取值是随机的。
如果随机变量只取有限个或无限个可列值，称为离散随机变量。
3.离散概率分布离散随机变量的取值及其对应的概率称为离散概率分布。
4.期望离散随机变量X的期望是各个取值与其对应的概率乘积之和，用E(X)表示。
5.方差6.二项分布重复独立地进行n次相同的试验，每次试验只有成功和失败两种可能，成功概率为p，失败概率为1-p，记X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，用B(n,p)表示。
7.泊松分布在一定时间或空间内，事件发生的次数服从泊松分布，如果事件在单位时间或单位空间内出现的概率是λ，则X在一个时间或空间区间内出现x次的概率为e^(-λ)λ^x/x!。
9.概率密度函数连续随机变量X的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，满足积分从负无穷到正无穷等于1，即∫f(x) dx=1。
连续随机变量X的期望是∫xf(x) dx。
12.正态分布在许多自然界现象中，随机变量的分布往往服从正态分布，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π)) e^((-(x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ是期望，σ是标准差。
13.中心极限定理如果n个独立随机变量的和服从某个分布，当n趋于无穷大时，它们的和近似服从正态分布。
这就是中心极限定理。
14.卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，它是二项分布的极限情况。
在统计学中广泛应用，用于检验样本方差是否符合正态分布。
t分布是一种重要的概率分布，常用于小样本的统计推断，如t检验。
F分布是一种概率分布，广泛用于方差分析，也用于卡方检验、t检验等。
17.统计量统计量是由样本数据计算出来的统计量，是样本的函数，可以用于对总体进行推断，如均值、方差、相关系数等。
18.抽样分布抽样分布是一个统计量的分布，由样本数据计算得到，用于总体参数的估计和假设检验。
19.点估计点估计是使用样本数据得到总体参数的点估计值，如样本均值、样本标准差等。
高考数学二轮专题复习第20课时随机变量及其分布课件理
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
高中数学《第七章 随机变量及其分布》复习小结与专题训练
(3)常见分布的均值和方差公式
①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1
－p)．
②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．
4．正态分布
P(A|B)＝
＝ ＝ .
6 2
P（B）
36
法二
“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，
6)共6种．
∴n(B)＝6.
“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6，4)，(6，5)，(6，6)
共3种，即n(AB)＝3.
n（AB） 3 1
一次取出的是红球，第二次是其余 5 个球中的任一个，符合条件的有 4×5 个，所
4×5 2
以 P(A)＝
＝ .
6×5 3
(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有样本点共 6×5 个；第一次和
第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有 4×3 个，所以 P(AB)
(3)n重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验
独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(4)二项分布：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0＜
－
p＜1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n k，k＝0，
《第七章 随机变量及其分布》复习与小结
[网络构建]
知识框图
[核心归纳]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 (i＝0,1,2,3,4)，则
（1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率
5 / 10
（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则
，
由于 与 互斥，故 1
所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 9 （3）ξ 的所有可能取值为 0,2,4.由于 与 互斥， 与 互斥，故
【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为 24 和 16，
则这
40
名学生测试成绩的平均分
P
0.16
0.44
0.40
则 E(2X + 5) = （ ）
A．1.32
B．1.71
C．2.94
D．7.64
【答案】D
【解析】由题意可得，随机变量 X 的期望为
E ( X ) = −2× 0.16 +1× 0.44 + 3× 0.40 = 1.32 ， 所以 E(2X + 5) = 2E ( X ) + 5 = 2.64 + 5 = 7.64 .
中记作 B ，
其中
P(
A)
=
3 4
,
P(
A)
=1−
3 4
=
1 4
,
P(B)
=
4 5
,
P(B)
=1−
4 5
=
1 5
，
ξ 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ，
则
P (ξ
=
0)
=
P
(
ABB )
=
P(
A)
P(B
)
P(B)
=
1 4
×
1 5
×
1 5
=
1 100
，
4 / 10
P (ξ = 2) = P ( ABB ) + P ( ABB)
8 / 10
为 16，乙组的平均成绩为 80，方差为 36. （1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （2）求该样本校 40 名学生测试成绩的标准差 s；
( ) （3）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布 N µ,σ 2 ，用样本平均数 x 作
为 µ 的估计值 µˆ ，用样本标准差 s 作为σ 的估计值σˆ ，利用估计值估计该样本校学生
于 3 分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮 3 次. （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分ξ 的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
【解析】（1）在 A 点投篮命中记作 A ，不中记作 A ，在 B 点投篮命中记作 B ，不
A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化
D．不变
【答案】A
， 【解析】当 −1 < k < 0 时， 0 < 1+ k < 1 0 < (1+ k )n < 1，
所以 Pn = P0 (1+ k )n < P0 ，呈下降趋势．
故选 A
6 / 10
12．某工厂生产的零件外直径（单位： cm ）服从正态分布 N (10, 0.04) ，今从该厂上、
上标以数字 2,将这个小正方体抛掷 2 次,则向上一面上的数字之积的均值是____.
4
【答案】 9
【解析】
P
(
x
=
0)
=
3
×
3
+
2
×
3× 2 36
+1×
3×
2
=
27 36
，
P
(
x
=
1)
=
2×2 36
=
1 9
，
P
(x
=
2)
=
2×2 36
=
1 9
，
P
(x
=
4)
=
1 36
，列表
x
0
1
2
4
27
1
1
1
P
36
9
体能达标测试是否合格？
（注：1.本题所有数据的最后结果都精确到整数；2 若随机变量 z 服从正态分布，
则 p ( µ − σ < Z < µ + σ ) = 0.6826 ， p ( µ − 2σ < Z < µ + 2σ ) = 0.9544 ， p ( µ − 3σ < Z < µ + 3σ ) = 0.9974 ）
9
36
所以 EX = 0× 27 +1× 1 + 2× 1 + 4× 1 = 4 . 36 9 9 36 9
4 故填 9
三、解答题 15．为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标” 情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定 测试成绩低于 60 分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数 的 5%，则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有 1000 名学生，现从中随机抽取 40 名学生参加体能达标测试，首先将这 40 名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组 学生人数的比为 3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为 70，方差
，故
p (ξ
=
0) =
C20C133 C135
=
22 35
，
p (ξ
= 1)
=
C21C123 C135
=
12 35
，
p (ξ
=
2)
=
C22C113 C135
=
1 35 ，其期望
E
(ξ
)
=
0
×
22 35
+
1×
12 35
+
2
×
1 35
=
2 5
，故
E
(5ξ
+
1)
=
5×
E
(ξ
)
+1
=
3
.
故填 3
8．一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出
P2 = P (ξ ≥ 3)
= 2×1× 4× 4 + 4× 4 555 55
=
112 125
=
896 1000
=
0.896
，
因为 P2 < P1 ，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．
10．现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加
趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点
2 / 10
40
×
90 40
+ +
50 50
×
81
=
85
，
故选 A．
二、填空题
( ) 6．若某班 40 名同学某次考试数学成绩 X（满分150 分）近似服从正态分布 N 90,σ 2 ，
已知 P(60 < X < 90) = 0.35，则可估计该班120 分以上的人数约为______.
【答案】 6
三、解答题
9．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A 点投篮一次，以后都在 B
点投篮；方案乙：始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中的概率为
3
4
，命中一次记 3 分，没有命中得 0 分；在 B 点命中的概率为 ，命中一次记 2 分，
4
5
没有命中得 0 分，用随机变量ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果ξ 的值不低
=
2
×
1 4
×
1 5
×
4 5
=
8 100
，
P
(ξ
=
3)
=
P
(
A)
=
3 4
=
75 100
，
P
(ξ
=
4)
=
P
(
ABB)
=
P
(
A)
P
(
B)
P(B)
=
1 4
×
4 5
×
4 5
=
16 100
．
ξ 的分布列为：
P (ξ
=
0)
=
1 100
，
P
(ξ
=
2)
=
2 25
，
P
(ξ
= 3) =
3 4
，
P
(ξ
= 4) =
4 25 ．
射击次数的取值是（ ）
1 / 10
A．1, 2,3,L, n 【答案】B
B．1, 2, 3,L, n,L C． 0,1, 2,L, n
【解析】由题意，当第一次射中目标则停止射击， 所以射击的次数的取值是1, 2, 3,L, n,L 故选 B 4．已知随机变量 X 的分布列为
X
−2
1
3
D． 0,1, 2,L, n,L
高三数学考点知识归类解析与专题训练
专题 20 随机变量及其分布
基础巩固
一、选择题
1．设随机变量ξ 服从正态分布 N(0,1) ，若 P(ξ > 1) = p ，则 P(−1 < ξ < 0) = （ ）
A．
1 2
+
p
B．1− p
C．
1 2
−
p