二阶宏观交通流模型

基于期望值最大化算法的针对宏观交通流模型中关键参数的自适应最大似然估计量设计 大量的高速公路网络可以被描述的非线性、非高斯宏观二阶状态空间模型。在交通监控系统最具挑战性的问题之一,是在交通流模型关键参数估计包括一条高速公路区段的临界密度、自由流动速度和指数,它不断地服从随时间变化而变化,因为交通条件(交通组成、事件,。。。)和环境因素(浓雾,强风,雪,。。。)和对于在分布式传感器网络和通信链接的问题缺失的数据。这些参数流量在智能交通系统(ITS)中的控制策略和应用,如交通控制、斜坡计量,事件管理和许多其他应用程序有关键影响性能的。所以,他们必须估计准确和在线。这些提到的参数用所有有效观测值离线估计，通过实施基于期望最大化算法的最大似然估计方法。提出的方法去构成一个自适应的估计器，去校正在非线性、非高斯的交通流状态空间模型中的静态参数，这些方法是渐进的、统计的方法，是不随时间退化的。为了近似这些方法中最有滤波器的一阶和二阶导数，不需要复杂性分析，基于粒子滤波器和平滑器期望最大化算法已经的实施。在BHL和RTMC中的仿真结果证明了提出方法的有效性。

介绍

宏观交通流模型有三个重要的参数，即流动特性，取决于交通基础设施和气候条件，为了用有效地可能不完整的测量值校准二阶宏观交通流模型，提出了一个最大似然估计量的方法，这个方法是用基于期望值最大化算法的方法实现的。

为了顾及提到的模型参数，nR是通过交通设施中的分布传感网络和被观测的输入输出信息得到的，如果我们把这个问题看作是一个非线性的系统辨识问题，交通模型参数化

的方法就是用最大似然仿真，可以找到一估计量nR yyp

n,....,maxarg1



yyp

n,....,1是N个输出测量值的联合概率。如果基于梯度的迭代搜索方法解决最大似

然问题，有必要计算概率和一个确定参数的预测梯度))|((1:1ttxyyp，一个可以近似滤波梯度的方法就是用连续的蒙特卡洛方法（SMC）。期望值最大化（EM）算法用于解决最大似然（ML）问题,这个方法曾被用于解决线性和双线性系统问题。用EM算法的离线参数估计用于校正交通流的非线性状态空间模型的流动特性。EM算法和另外一种方法帮助我们能在ITS中实现用数据融合和注册的方法去管理操作大型数据库。EM算法和卡尔曼滤波实现同步状态和参数估计。为了避免用卡尔曼滤波的方法时参数值发散，提出了交互多模型滤波。然后我们运用这些方法设计自适应的估计量去跟踪在线应用中参数的变化。参数化需要是防射的，噪声需要附加的高斯噪声。 二阶宏观交通流模型 T：时间 i：第i段的长度

i：第i段中线路数目

k

i

：在kT时刻，第i段中车辆密度，单位veh/km/lane

kv

i：在kT时刻，第i段中车俩平均速度，单位km/h

kq

i：在kT时刻，第i段中的交通流，单位veh/h

kr

i：在kT时刻，第i区段的上坡道流入流量

ks

i：在kT时刻，第i区段的下坡道流出流量

k

i

：在kT时刻，第i区段的下坡道退出率

,,,

：模型参数，在所有区段都保持不变

(1)

(2) (3) (4)

(5) 等式（5）静态速度等式，是交通速度和密度的静态关系，对以下三个参数的变

化非常灵敏,即自有留速度f，临界密度cr，指数，V和是高速公路部分的平均速度和密度测量值。 用ML估计和EM算法的离线参数估计

假设输出测量值Y给定初始值，根据所有测量值可以知道状态

11,....,NxxX的测量值。

通过以下公式求的最大似然估计：

（6） （7） 可以用递归搜索的方法求最大化，但是通常没有任何状态的测量值，所以上述环境不是实际情况。

EM的第一步(E步)：用当前测量值’近似联合概率YXL,的期望值。

(8) 最大化',Q因此保证YL增加，并且可以保证ML模型估计的目的。一般地，通过EM算法的k系迭代可以得出

(9) 最大化',Q可以得到一个新的估计量 (10) EM算法是期望和最大化步的一个迭代过程，很显然EM算法的完成需要计算kQ,中的期望，需要通过θ最大化kQ,的方法。在附加高斯噪声的线

性系统中存在期望的闭环表达式，但是在很多情况下没有这种解决方法或者用一

种近似的方法求取期望，粒子滤波的方法用于近似YXpk|分布，数值方

面，通过这种方法，',Q的积分可以转换为带权值脉冲函数的有限次和。 E步 E步是怎么计算kQ,，根据贝叶斯规则和模型1-5中的马尔科夫特性：

(11)

(12) 把（11）和（12）代到（7）和（8）得

(13) 主要关注了边缘平滑密度YXpt|而不是完整的联合密度YXp|，边缘平滑密度可以用质点法近似，得到

（14） 把（14）代入（13）的kQ,的理想近似kQ,ˆ,即

（15） M步

选择缺失的数据便于kQ,ˆ能直接求出来，在所有问题中没有唯一的方法去解决最大化，只取决于手边的情况。当kQ,ˆ和关于θ的梯度存在,数值微分和实用的迭代的基于梯度的搜索过程可用于最大化kQ,ˆ,比如标准的拟牛顿法。E步和M步具有一般性，和特殊问题的底层架构无关。

1.kQ,ˆ取决于参数θ、权重qiNt~)()|(、平滑粒子xiNt)(|。

2.

（16）

现场数据测试 1.伯努利高速公路实验室 选择的数据包括自由流动状态和阻塞状态，初始参数估计量选择为 EM算法选择M=50各粒子，下图显示了过滤估计自有流速度、临界密度和指数。参数的不同初始值用在此次估计，结果显示这个算法对这些因素反应不是很灵敏，过滤估计自有流速和度临界密度需要十个小时才能处于稳定状态，指数需要五个小时才能趋于稳定值。稳定状态的自由流速度是110km/h,临界密度是28veh/km/h，平均指数值为1.6. 2.Metro高速公路 这条高速情况复杂，装备450各闭路电视照相机，340米安装4500个交通传感器。初始参数估计值选择如下：

结果显示这个算法对这些因素反应不是很灵敏，过滤估计自有流速和度临界密度需要十个小时才能处于稳定状态，指数需要五个小时才能趋于稳定值。稳定状态的自由流速度是110km/h,临界密度是28veh/km/h，平均指数值为1.8 EM算法用M=100个粒子。 在线的基于EM算法的自适应参数估计MLE

假设log似然函数定义为

（17） 1:1|kkYxp是给定测量值1:1kY和θ的状态kX的后验密度，这个定义是静态

的状态空间模型，假设

（18）

其中，pRP是pR上的概率分布空间，dudy,*，是1:1|,kkkYxpY的联 合不变分布，为了最大化l，先最大化下面公式： （19） 下降递归是一种随机性的梯度算法，通过有限次迭代，可以解决递归最大化

似然，同时优化*,K,提取参数估计为

预测分布1:1|:1NnYxpn和对θ的导数通过参数k数值计算得到，RML算法由于不能合适的初始化而不能测量梯度的组成。和RML算法一样，在线的EM算法是随机梯度型算法，更实用更有效，数值计算方便，直接可以得到。对于一般的状态空间，在线EM算法需要估计定量，比如

通常，联合后验密度1:1|kkYxp可以通过质点法估计，可以直接计算|Q,随着n的增加，选取L(大约为5)的值和质点的数目选择有更理想的近

似。但是，增大n 对于EM算法是一个很大的问题，因为在求|Q是效率低。在宏观交通流模型中有三种方法用于递归交通参数估计原理，即在线EM、随即EM(SEM)、数据扩充（DA）,目前提出的方法存在退化的问题，分离数据的方法（SDL）被提出，将数据集分割为很小的数据块（称作L）,固定维的参数块逐渐消除退化问题。SDL对比函数很容易实现，对初始化时的测量梯度的组成不敏感。标准

的nLY:1似然函数定义为 SDL由分割数据nLY:1为n个L数据块，对每一个数据块，拟似然



iLLiYL:11

通过下式得到

其中，

（20） 连续密度符合马尔科夫过程，是通过分析得来的而不是一个正常化的变量，SDL通过式（19）拟似然n的乘积得到。最大化log-SDL

（21） 其中，

LYp:1*



表示知道参数*下的测量值连续分布，这是式（12）的边缘化，

表达式（21）是EM算法和RML方法的主要区别。根据EM算法的定义Kullback-Leibler测量（19）等于llK~~~**，在规则假设下是不成立的。L的选择一直是个问题，L太小会是收敛速度降低但是可以直接实现，L太大收敛速度提高，比RML的速度更快，但是增加了算法的复杂性。从实用的角

度看，底层模型的联合密度nnyxp:1:0,属于指数函数的范围，在递归算法之中。步长大小可以通过一个不增加的正向序列0ii，条件是