高中数学教案 基本知识基本思想基本方法1

高 中 数 学

基本知识·基本思想·基本方法

一、集合与简易逻辑

1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还

是因变量的取值？还是曲线上的点？如：{x|y=lgx}，

{y|y=lgx}，{（x ，y ）|y=lgx}.… ；

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数

轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形

象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘

问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等

价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，

当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间

的包含关系判断，若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必

要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用

等价关系"A B B A "???判断，对于条件或结论是不等关系（或否

定式）的命题，一般运用等价法；

6.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）

个数为2n －1；

（2）;B B A A B A B A =?=??

（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==

二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

1.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］,其

复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已

知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]

时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；

2.函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ;

（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；

（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或

1)

()(±=-x f x f （f(x)≠0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称

的单调区间内有相反的单调性；

3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心

（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明图像C 1与C 2的对称性，即证明C 1上任意点关于对称

中心（对称轴）的对称点仍在C 2上，反之亦然；

（3）曲线C 1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=－x+a)的对称曲线

C 2的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

（4）曲线C 1:f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线C 2方程为：

f(2a －x,2b －y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x ∈R 时，f(a+x)=f(a －x)恒成立，则

y=f(x)图像关于直线x=a 对称；

（6）函数y=f(x －a)与y=f(b －x)的图像关于直线x=2

b a +对称； 4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x)

(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)

是周期为2︱a ︱的周期函数；

（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)

是周期为4︱a ︱的周期函数；

（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b

a -的周期函数；

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数

y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；

（6）y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )

(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

5.方程k=f(x)有解?k ∈D(D 为f(x)的值域)；

6.a ≥f(x) ?a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) ?a ≤［f(x)］min ;

7.（1）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R +);

(2) l og a N=a

N b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4) a log a N = N ( a>0,a ≠1,N>0 );

8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇

偶性。

9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象

且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B

中可以有相同的象；

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函

数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为

非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与

y=f -1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A ，值域为B ，则有

f[f -1(x)]=x(x ∈B),f -1[f(x)]=x(x ∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必

有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与

所给区间的相对位置关系；

12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元

二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类

参数的范围问题：

)0

f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u (a 0(0)()()(???≤≤???≥≥?≤≤≤≥+=或）或x h u x g u f ； 14.掌握函数)0();0(>+=≠-

-+=+=

c c x y ac b ac b a b ax y 的图象和性质；

1.由S n 求a n ，a n ={),2()

1(*11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在

后面a n 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含a n

与S n 的关系的数列题均可考虑用上述公式；

2.等差数列 *),2(2(111N n n a a a d d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+-为常数）｝｛

Bn An s b an a n n +=?+=?2；

3.等比数列 ;q a a N)n 2,(n a a a }a 1-n 1n 1n 1-n 2

n n ?=?∈≥?=?+｛ 4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的

最大（或最小）问题，转化为解不等式???

? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或解决；

5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用

等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；

6.等差数列中, a m =a n + (n －m)d,

n m a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m ; q=m n m n

a a -;

7.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N ＊）时，对等差数列｛a n ｝有：

a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；

8.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 、a 是非零常

数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }

等也是等比数列；

9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如

a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；

10.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶—S 奇＝nd ；项数为

2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N*）；

11.若一阶线性递归数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将

其改写变形成如下形式:)1

(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

四、三角函数

1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余

弦；

2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图

像、性质；

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理

三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余

弦定理实施边角互化；

5.正弦型函数)sin(φω+=x A y 的对称轴为)(2Z k k x ∈-+

=ωφ

ππ；对

称中心为))(0,(Z k k ∈-ω

φπ；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；

6.（1）正弦平方差公式：sin 2A －sin 2B=sin(A+B)sin(A －B);

（2）三角形的内切圆半径r=c b a S ABC

++?2；（3）三角形的外接圆直

径2R=;sin sin sin C

c B b A a == 五、平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。

（1）向量式：a ∥b (b ≠0)?a =λb ;（2）坐标式：a ∥b (b ≠

0)?x 1y 2－x 2y 1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), （1）

向量式：a ⊥b (b ≠0)?a ?b =0; （2）坐标式：a ⊥b ?

x 1x 2+y 1y 2=0;

3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ?b =θ=x 1x 2+y 1y 2;其几

何意义是a ?b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；

4.设A （x 1,x 2）、B(x 2,y 2)，则S ⊿AOB ＝12212

1y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ?b =x 1x 2+y 1y 2;

221221)()(y y x x -+-=;

（2）若a =(x,y),则a 2=a ?a =x 2+y 2,22y x a += ;

六、不等式

1.掌握不等式性质，注意使用条件；

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指

数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数

的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法；

3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b ≥ab

2(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一

些变形，如2222)2

(;)2(2b a ab b a b a +≤+≥+； 七、直线和圆的方程

1.设三角形的三个顶点是A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3）,

则⊿ABC 的重心G 为（3

,3321321y y y x x x ++++）； 2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条

件是A 1A 2+B 1B 2=0；

3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是

222

1B A C C d +-=；

4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C ≠0

且B=0且D 2+E 2－4AF>0；

5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;

6.以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －

x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;

7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列

出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数

的最优位置，从而获得最优解；

八、圆锥曲线方程

1.椭圆焦半径公式：设P （x 0,y 0）为椭圆12222=+b

y a x （a>b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则0

201,ex a PF ex a PF -=+=（e 为离心率）；

2.双曲线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为双曲线12222=-b

y a x （a>0,b>0）上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则:

（1）当P 点在右支上时，0201,ex a PF ex a PF +-=+=；

（2）当P 点在左支上时，0201,ex a PF ex a PF -=--=；

（e 为离心率）；

另：双曲线12222=-b y a x （a>0,b>0）的渐进线方程为02222=-b

y a x ； 3.抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上

任意一点，F 为焦点，则2

0p x PF +=；y 2=2px(p ＜0)上任意一点，F 为焦点，则2

0p x PF +-=； 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；

5.共渐进线x a b y ±=的双曲线标准方程为λλ(2222=-b

y a x 为参数，λ≠0）；

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、

B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长

]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=

]4)[()11(11212212122y y y y k

y y k -+?+=-?+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为a b 2

2，焦准距为p=c b 2，抛物

线的通径为2p ，焦准距为p; 双曲线12222=-b

y a x

（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为

Ax 2+Bx 2＝1；

9.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、

B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=－p 2，

x 1x 2=4

2p ; 10.过椭圆12222=+b

y a x （a>b>0）左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=；

11.对于y 2=2px(p ≠0)抛物线上的点的坐标可设为（p

y 220，y 0）,以简化计算;

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设

A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆12222=+b

y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b

-；对于双曲线12222=-b

y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB .K OM =22a

b ；对于y 2=2px(p ≠0)抛物线有K AB ＝2

12y y p + 13.求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，

是求轨迹的最基本的方法；

（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲

线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定

系数，代回所列的方程即可；

（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动

点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1)又在某已知曲线上，

则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线

得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，

则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，

也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量（参数）

表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。

九、直线、平面、简单几何体

1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，

则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；

2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ? M ，BF ? N,∠EAB=1θ,

∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=

3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，

AC 和AB 的射影AB 成2θ，设∠BAC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；

4.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另

一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方

体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线

间的关系；

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别

是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜

线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生

线面角的关键；

6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两

个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察

图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，

用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线

作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二

面角的平面角所在的平面与棱垂直；

（4）射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角

的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使

之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

7.空间距离的求法

（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般

先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；

（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质

来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转

化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S

底；

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与

过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β

+cos 2γ=2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.

那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各

面边数和的一半；

12.球的体积公式V=33

4R π，表面积公式24R S π=；掌握球面上两

点A 、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心

角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；

十、排列组合和概率

1.排列数公式:m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m ＋1)=)!(!

m n n -(m ≤n,m 、n ∈N*),当m=n 时为全排列n n A =n(n-1)(n-2)…3.2.1;

2.组合数公式：123)2()1()1()1(!?????-?-?--???-?==m m m m n n n m A C m n m

n

（m ≤n ）,10==n n n C C ； 3.组合数性质：r n r n r n m n n m n C C C C C 11;+--=+=；

4.常用性质：n.n!=(n+1)!-n!;即;

11n n n n n n A A nA -=++;111+++=+???++r r r n r r r r C C C C （1≤r ≤n ）;

5.二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：

);,...,2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+

（2）注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1系数的区别；

6.二项式系数具有下列性质：

(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；

(2) 若n 为偶数，中间一项（第2

n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和2

1+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）;2;213120210-=???++=???++=+???+++n n n n n n n n n n n

C C C C C C C C 7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为

)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([2

1-+f f ； 8.等可能事件的概率公式：（1）P （A ）＝m

n ；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事

件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；（4）独立重复试

验概率公式Pn(k)=;)1(k n k k n

p p C --?(5)如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；（6）如果

事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率

是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；（6）如果事件A 、B 相互独立，

那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ?B ）＝1－P(A )P(B )；

理科选修内容基本知识

十、概率与统计

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机

变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列

都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,…; (2) p 1+p 2+…

=1;

2.二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，

,)(k n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；

3.记住以下重要公式和结论：

（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;

（2）方差D ξ＝???+-+???+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;

（3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；

（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1- p;

4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机

数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常

用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基

本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求

能画出频率分布表和频率分布直方图；

6.正态总体的概率密度函数：,,21

)(222)(R x e x f x ∈=-σμσπ式中σμ,是参

数，分别表示总体的平均数与标准差；

7.正态曲线的性质：（1）曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点

向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越

高瘦；（3）曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布

),(2σμN 的概率 P （x 1<ξ

μ而得

)()(σμ

φ-=x x F ，于是有P （x 1<ξ

φσμ

φ---x x ；

9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从

正态分布),(2σμN ；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围

)3,3(σμσμ+-；

（3）作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ?)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假

设；

十一、极限

1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验

证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k

时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数

学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一

步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步

证明时要一凑假设，二凑结论；

2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数

列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }

的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对

于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）

常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim =∞→n n ，0lim =∞

→n n q （a <1,q 为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式

q a S S n n -==∞→1lim 1（0<1

3.函数的极限：

（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a

a x f x f n n ==?-∞

→+∞→)(lim )(lim （2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==?+-→→)(lim )(lim 0

0: （3）掌握函数极限的四则运算法则；

4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有

定义，而且还有)()(lim 00

x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),

)

()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连

续；

5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属

于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本

初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都

是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的

极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00

x f x f x x =→；

十二、导数

1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作

x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000； 2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：

（1）求函数的增量

（2）);()(x f x x f y -?+=?(2)求平均变化率x

x f x x f x y ?-?+=??)()(; （3）取极限,得导数x

y x f x ??='→?0lim )(; 3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函

数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定

可导；

4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线

的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-

5.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u v u v u v u uv v u v u '

-'=''+'=''±'='± 6.常见函数的导数公式:

cosx ;)(sinx Q);(m m x )(x );(C 01-m m ='∈='='为常数C

;log 1)(log ;x 1)(lnx lna;a )(a ;e )(e -sinx;)(cosx e a x a x x x x x

='=

'=='=' 7.复合函数的导数：;x u x u y y '?'=' 8.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间

内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

十四、复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和复数的几何表示；

2.熟练掌握、灵活运用以下结论：(1)a+bi=c+di ?a=c 且

c=d(a,b,c,d ∈R);(2)复数是实数的条件：①z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R);②z ∈R ?z=z ;③z ∈R ?z 2≥0;

3.复数是纯虚数的条件: ①z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠

0(a,b ∈R); ②z 是纯虚数?z ＋z ＝0（z ≠0）;③z 是纯虚数?z 2<0;

4.解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解（整体思想贯穿整个复数内容）。如果遇到复数就设z=a+bi(a,b ∈R),则有时会给问题的解答带来不必要的运算上困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想，则能事半功倍；

5.复数的代数形式及其运算：（1）复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行，设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R) ; z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i. z 1.z 2 = (a+bi)·

(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)I ; z 1÷z 2 = i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ;

6.几个重要的结论：

;z z z )3(;)2();(2)1(22

222221221221≠==?+=-++为虚数，则若z z z z z z z z z z 6.运算律仍然成立：（1）

);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m

m m mn n m n m n m ∈=?==?+

7.进行复数的运算时，常要注意,,的性质ωi 或适当变形创造条件，从而转化为关于的ω,i 计算问题.注意以下结论的灵活应用：

()();11;112;2)1(12i i

i i i i i i -=+-=-+±=± );(0)4();(0)3(32121N n i i i i N n n n n n n n n ∈=+++∈=+++++++ωωω 8.z

z z z z 111=

?=?=； 文科选修内容基本知识

十、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

3.总体特征数的估计：（1）学会用样本平均数∑==+???++=n

i i n x n x x x n x 1211)(1去估计总体平均数；（2）学会用样本方差])()()[(1222212

x x x x x x n S n -+???+-+-= )(1)(121

221x n x n x x n n i i n i i -=-=∑∑==去估计总体方差2σ及总体标准差；（2）学会用修正的样本方差])()()[(1

1222212*x x x x x x n S n -+???+-+--=去估计总体方差2σ，会用*S 去估计σ；

十一、导数及应用

1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作

x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000； 2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：

（1）求函数的增量);()(x f x x f y -?+=?

(2)求平均变化率x

x f x x f x y ?-?+=??)()(;

(3)取极限,得导数x

y x f x ??='→?0lim )(;

3.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ） 在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-

4.常见函数的导数公式：Q);(m m x )(x );(C 01-m m ∈='='为常数C

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果

,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；

如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

中学数学重要数学思想

一、 函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；

2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；

3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

二、 数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。

2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。

4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.

5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；

(3) 对于以下类型的问题需要注意：

;)3(;)2(;)()()1(22By Ax b

x a y b y a x +---+-;)5();sin ,(cos )4(22b ab a F +±θθ可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。

三、 分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

四、 化归与转化思想

所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。

立体几何中常用的转化手段有

1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；

2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的；

3.等积与割补；

4.类比和联想；

5.曲与直的转化；

6.体积比，面积比，长度比的转化；

7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。

中学数学常用解题方法

1. 配方法

配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax 2+bx+c=)0(44)2(2

2≠-++a a

b a

c a b x a .高考中常见的基本配方形式有：

（1） a 2+b 2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab;

（2） （2） a 2+ b 2+ ab =22)2

3()21(b b a ++; （3） （3）a 2+ b 2+c 2= (a ＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;

（4） (4) a 2+ b 2+ c 2- a b – bc – a c =

2

1[ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];

（5） 2)1(1222-+=+x

x x x ; 配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。

2.待定系数法

㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：

（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a ，都有f （a ）＝g(a);

（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；

㈡ 运用待定系数法的步骤是：

（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；

㈢ 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。

3.换元法

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：

（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”；

（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。

4.向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：

（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；

（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；

（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；

5.分析法、综合法

（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。

（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的