第3章线性分组码

1 1 0 1 1 0 0
H 0 1 1 1 0 1 0 PT I3
1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 1
G 0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 1
0 1
I
4
p
0 0 0 1 1 1 1
26
第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
0 ;（β称为 的负元素）
3
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤1
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
4
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
k与 的数量乘积，记为 k .如果加法和数量乘法
还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
2
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
加法满足下列四条规则： , , V ① ② ( ) ( ) ③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 ④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
0 0 0 1 1 1 1 H 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
若码字传输中第一位发生错误， 则相应的伴随式S=(001)， 它就是“1”的二进制表示， 若第五位发生错误， 伴随式 S=(101)， 是“5”的二进制表示。
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
=0
c6+c5
+c1 =0
c5+c4
+c0 =0
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
1 0 1 1 0 0 0
H
1
1 0
1 1 1
1 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
c6 +c4+c3
=0
c6+c5+c4 +c2
=0
c6+c5
+c1 =0
c5+c4
+c0 =0
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
伴随式(校正子) 设发送的码字C=(cn -1，cn -2， …， c1， c0)， 通
过有扰信道传输， 信道产生的错误图样 E=(en -1， en -2， …， e1， e0)。 接收端译码器 收到的n 重为R=(rn -1， rn -2， …， r1， r0)， R=C+E， ri=ci+ei， ci， ri， ei∈GF(q)或GF(2)中。 R·HT=(C+E)·HT=C·HT+E·HT=E·HT
已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设
C1, C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
对偶码 设C是［n , k , d］码， 则它的对偶码C⊥是
C⊥＝{x∈V n , (n -k )； 对所有y∈C使x·y=0}
式中， x·y为x与y的内积。
由G生成的［n, k, d］码C与由H生成的［n, n-k, d］码 C⊥互为对偶码。
GHT
Ik
PInPk
0
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
［7， 3， 4］码
1 0 0 1 1 1 0
G 0 1 0 0 1 1 1 I3P
0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 0 0 0
H 1 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 0
PT I4
0 1 1 0 0 0 1
S E H T 0L ei1L ei2 L eit L 0 M
hT hT
1 0
ei1hiT1 ei2hiT2 L eit hiTt
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
［n ， k ， d］码要纠正≤t个错误， 则要求≤t 个 错误的所有可能组合的错误图样， 都应该有不 同的伴随式与之对应，则其充要条件是H矩阵中 任何2t列线性无关。 ei1hi1+ei2hi2+…+eithit≠ej1hj1+ej2hj2+…+ejthjt ei1hi1+ei2hi2+…+eithit-ej1hj1-ej2hj2-…-eithjt≠0T
则矩阵
1 0 0 1 1 1 0
G 0
1
0
0
11
1
0 0 1 1 1 0 1
就是该[7, 3 ]码的生成矩阵。 注： 1) 生成矩阵G中的每一行都是一个码字 2) 任意k个线性独立的码字都可以作为生成矩阵 3) 给定一个[n,k,d]线性分组码，其生成矩阵可有多个
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
线性空间的性质
零元素是唯一的
负元素是唯一的， V
关于0元素有
0 0, k0 0, (1) ,
k( ) k k
- 唯一
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
5Hale Waihona Puke 第3章 线性分组码3.1 线性分组码的基本概念 线性分组码定义
[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间中的一个k 维子空间。
S=R·HT=E·HT 称为接收向量R的伴随式(校正子)
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
第i1， i2， …， it位有错：
E =(0， …， ei1， 0， …， ei2， 0， …， eit， 0， …， 0)
H hn1 hn2 L h1 h0
hT hT
n1 n2
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
汉明码（纠正单个错误） GF(2)上汉明码的H矩阵的列， 是由所有的非零
的二进制m维向量组成。 该码有如下参数： n =2m-1， k =2m-1-m，
R=(2m-1-m)／(2m-1)， d=3。
纠正一个错误的［n ， k ， d］分组码， 要求其 H矩阵中任意两列线性无关， 且不能全为0。 若 为二进制码， 则要求H矩阵中每列互不相同， 且不能全为0。
C ，可有：
C m1C1 m2C2 mk Ck
C1
m1 , m2 ,
mk
C2 Ck
mG
G称为该分组码的生成矩阵
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
1 0 0 1 1 1 0
C m2
m1
m0 0 1
0
0 11
1
0 0 1 1 1 0 1
c6 m2
c5
m1
cc34
m2
m0 m0
c2 m2 m1 m0
c1 m2 m1
c0
m1 m0
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
例 构造GF(2)上的［7， 4， 3］汉明码。
n =2m-1， k =2m-1-m， R=(2m-1-m)／(2m-1)，d=3。
取m =3， 所有23=8个三重为： 000， 100， 010， 001， 011， 101， 110， 111。
1
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间
设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中定义 了一种代数运算，叫做加法: 即对在V 中都存在唯一 的一个元素λ，称λ为α与β的和，记为：
；在P与V的元素之间还定义了一种运算，
叫做数量乘法：即
V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
定理:［n ， k ， d］线性分组码有最小距离等于 d的充要条件是， H矩阵中任意d-1列线性无关。
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第3章 线性分组码
3.3 伴随式与标准阵列及译码
(Singleton 限) ［n ， k ， d］线性分组码的最大 可能的最小距离等于n -k +1， 即d≤n -k +1。
若系统码的最小距离d=n -k +1， 则称此码为极 大最小距离可分码， 简称MDS码。
M
h0,n1 cn1 h0,n2 cn2 K h0,nk cnk c0 0
hnk 1,n1 hnk 1,nk 1 0 0 cn1 0
hnk 2,n1
h0,n1
hnk 2,nk
h01,nk
0 0
1 0
0 1
cn2 c0
0 0
校验矩阵(nk行，n列)
线性分组码的基本特性：
➢ 线性结构。即如果 c1、c2 分别是信息序列 m1、m2的码字， 则 c1+c2 必定是信息序列 m1+m2 的码字。
➢ 两码字C1和C2之间的距离d(C1, C2)必等于第三个码字C1+C2 的汉明重量。