【初中数学】安徽省滁州市2015-2016学年八年级(下)期末数学试卷(解析版) 人教版

安徽省滁州市2015-2016学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．要使有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠02．下列各组长度中，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．，，5 C．5，6，7 D．0.3，0.4，0.53．一个正多边形形的内角和是1440°，则它的每个外角的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．60°4．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE=42°，则∠D度数是（）A．42° B．48° C．58° D．138°5．已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣2 B．1 C．1或0 D．1或﹣26．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场五月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这四个市场的平均价格相同，方差分别为s甲2=10.1，s乙2=8.5，s丙2=6.5，s丁2=2.6，则五月份白菜价格最稳定的市场是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为560m2，问小路的宽应是多少？设小路的宽为xcm，根据题意得（）A．32x+20x=20×32﹣560 B．32×20﹣20x×32x=560C．（32﹣x）（20﹣x）=560 D．以上都不正确8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF=6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．369．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD10．正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC=BP；②AP=AM：③∠BAP=∠GFP；④AB2+CE2=AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④⑤ D．①③④⑤二、填空题（本题共4小题，每小5题分，共20分）11．若的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）b= ．12．李明同学进行射击练习，两发子弹各打中5环，四发子弹各打中8环，三发子弹各打中9环．一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是环．13．如图，在▱ABCD 中，点P是AB的中点，PQ∥AC交BC于Q，则图中与△APC面积相等的三角形有个．14．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是．三、计算题15．计算：﹣+（﹣1）2+÷．16．已知关于x的一元二次方程x2+5x+2m2﹣4m=0有一个根是﹣1，求m的值．四、解答题17．如图，在海上观察所A处．我边防海警发现正南方向60海里的B处有一可疑船只正以每小时20海里的速度向正东方向C处驶去，我边防海警即刻从A处派快艇去拦截．若快艇的速度是每小时海里．问快艇最快几小时拦截住可疑船只？18．某工厂沿路护栏纹饰部分是由若干个和菱形ABCD（图1）全等的图案组成的，每增加一个菱形，纹饰长度就增加dcm，如图2所示．已知菱形ABCD的边长6cm，∠BAD=60°．（1）求AC长；（2）若d=15，纹饰总长度L为3918cm，则需要多少个这样的菱形图案？19．已知x1，x2是关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的两个根，是否存在实数m，使x12+x22﹣x1x2=21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点E是BD上任意一点，点O是AC的中点，AF∥EC交EO的延长线于点 F，连接AE，CF．（I）判断四边形AECF是什么四边形，并证明；（2）若点E是BD的中点，四边形AECF又是什么四边形？说明理由．21．为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答下列问题：（1）表中m= ，n= ，此样本中成绩的中位数落在第组内；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？22．某工厂计划从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但生产过程中会引起环境污染，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，从1月份开始，每月不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份生产收入为36万元．（1）求出投资治污后，2月、3月份生产收入增长的百分率；（2）如果把利润看做是每月生产收入的总和减去治理污染的投资或环保部门的罚款，试问治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污后所获利润不少于不治污情况下所获利润）．23．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，M是AD延长线上一点，且MD=BE，连接CM．（1）求证：∠BCE=∠DCM；（2）若点N在边AD上，且∠NCE=45°，连接NE，求证：NE=BE+DN；（3）在（2）的条件下，若DN=2，MD=3，求正方形ABCD的边长．2015-2016学年安徽省滁州市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．要使有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠0 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2≥0，x≠0，解得，x≥﹣2且x≠0，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．2．下列各组长度中，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．，，5 C．5，6，7 D．0.3，0.4，0.5【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵（）2+（）2≠52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵0.32+0.42=0.52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．一个正多边形形的内角和是1440°，则它的每个外角的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．60°【考点】正方形的性质．【分析】先设该多边形是n边形，根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360除以边数可得外角度数．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°=1440°，解得n=10．外角：360°÷10=36°，故选B．【点评】此题考查了多边形的内角与外角，关键是根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和都是360°进行解答．4．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE=42°，则∠D度数是（）A．42° B．48° C．58° D．138°【考点】平行四边形的性质．【分析】首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再利用平行四边形的对角相等，进而得出答案．【解答】解：∵CE⊥AB，∠BCE=42°，∴∠B=48°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=48°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．5．已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣2 B．1 C．1或0 D．1或﹣2【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程mx2+2mx+2﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，m≠0，列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+2﹣m=0有两个相等的实数根，∴，即，解得m=1．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式△的关系是解答此题的关键，在解答此题时要注m≠0这一隐含条件．6．某同学对甲、乙、丙、丁四个市场五月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这四个市场的平均价格相同，方差分别为s甲2=10.1，s乙2=8.5，s丙2=6.5，s丁2=2.6，则五月份白菜价格最稳定的市场是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为丁市场的方差最小，所以丁最稳定．故选D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为560m2，问小路的宽应是多少？设小路的宽为xcm，根据题意得（）A．32x+20x=20×32﹣560 B．32×20﹣20x×32x=560C．（32﹣x）（20﹣x）=560 D．以上都不正确【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．【解答】解：设小路的宽为x米，根据题意，可列方程：（32﹣x）（20﹣x）=560，故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF=6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．36【考点】菱形的判定与性质．【分析】根据DE∥AC、DF∥AB即可得出四边形AEDF为平行四边形，再根据AD平分∠BAC 即可得出∠FAD=∠FDA，即FA=FD，从而得出平行四边形AEDF为菱形，根据菱形的性质结合AF=6即可求出四边形AEDF的周长．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD=∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=∠FDA，∴FA=FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF=6，∴C菱形AEDF=4AF=4×6=24．故选A．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键是证出四边形AEDF是菱形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记菱形的判定与性质是关键．9．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可．【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，AC⊥EH，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH为矩形，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC=BP；②AP=AM：③∠BAP=∠GFP；④AB2+CE2=AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④⑤ D．①③④⑤【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．【解答】解：①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，∴∠EPF=∠BAP．在△EPF和△BAP中，有，∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF=BP，即①成立；②无法证出AP=AM；③∵FG∥EC，∴∠GFP=∠EPF，又∵∠EPF=∠BAP，∴∠BAP=∠GFP，即③成立；④由①可知EC=BP，在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∵PA=PF，且∠APF=90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF2=AP2+EP2=2AP2，∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=AF2，即④成立；⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．故成立的结论有①③④⑤．故选D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．二、填空题（本题共4小题，每小5题分，共20分）11．若的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）b= 4 ．【考点】估算无理数的大小．【专题】计算题．【分析】根据算术平方根的定义得到3＜＜4，则a=3，b=﹣3，然后利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴原式=（+3）（﹣3）=13﹣9=4．故答案为：4．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．12．李明同学进行射击练习，两发子弹各打中5环，四发子弹各打中8环，三发子弹各打中9环．一发子弹打中10环，则他射击的平均成绩是7.9 环．【考点】加权平均数．【专题】计算题．【分析】首先求出这10发子弹的总成绩为多少；然后求出他射击的平均成绩是多少即可．【解答】解：（5×2+8×4+9×3+10）÷10=（10+32+27+10）÷10=79÷10=7.9（环）答：他射击的平均成绩是7.9环．故答案为：7.9．【点评】此题主要考查了平均数的含义和求法，要熟练掌握．13．如图，在▱ABCD 中，点P是AB的中点，PQ∥AC交BC于Q，则图中与△APC面积相等的三角形有 3 个．【考点】平行四边形的性质．【分析】首先证明点Q是BC中点，再根据三角形中线把三角形方程面积相等的两个三角形这个性质即可解决问题．【解答】解：∵AP=PB，PQ∥AC，∴BQ=QC，∴S△APC=S△PBC=S△ABC，S△BQA=S△QCA=S△ABC，∴S△APC=S△PBC=S△BQA=S△QCA，∴与△APC面积相等的三角形有3个．故答案为3．【点评】本题考查平行四边形性质．三角形中线性质．平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中线性质解决问题，属于中考常考题型．14．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是10或8．【考点】勾股定理．【分析】先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．【解答】解：①如图所示：，连接CD，CD==5，∵D为AB中点，∴AB=2CD=10；②如图所示：，连接EF，EF==4，∵E为AB中点，∴AB=2EF=8．故答案为：10或8．【点评】此题考查了勾股定理，图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．三、计算题15．计算：﹣+（﹣1）2+÷．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的性质化简各个二次根式，合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2﹣+3﹣2+1+2=+4．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算以及二次根式的化简，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．16．已知关于x的一元二次方程x2+5x+2m2﹣4m=0有一个根是﹣1，求m的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．【解答】解：把x=﹣1代入原方程，得2m2﹣4m﹣4=0，即m2﹣2m﹣2=0．解得m==1±，所以m的值是1±．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．四、解答题17．如图，在海上观察所A处．我边防海警发现正南方向60海里的B处有一可疑船只正以每小时20海里的速度向正东方向C处驶去，我边防海警即刻从A处派快艇去拦截．若快艇的速度是每小时海里．问快艇最快几小时拦截住可疑船只？【考点】勾股定理的应用．【分析】首先求得线段AC的长，然后利用勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设快艇最快x小时拦截住可疑船只，则BC=20x，AC=x，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（x）2=602+（20x）2，解得：x=±（负值舍去），∴x=，答：快艇最快小时拦截住可疑船只．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的找到CB，AB，AC的等量关系，并且根据该等量关系在直角△CAB中求解是解题的关键．18．某工厂沿路护栏纹饰部分是由若干个和菱形ABCD（图1）全等的图案组成的，每增加一个菱形，纹饰长度就增加dcm，如图2所示．已知菱形ABCD的边长6cm，∠BAD=60°．（1）求AC长；（2）若d=15，纹饰总长度L为3918cm，则需要多少个这样的菱形图案？【考点】菱形的性质．【分析】（1）连接AC，BD，设交点为O，根据菱形的性质以及勾股定理即可求出AO的长，进而可求出AC的长；（2）设需要x个这样的图案，仍然根据L=菱形对角线的长+（x﹣1）d进行计算即可【解答】解：（1）连接AC，BD，设交点为O，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=30°，∴OD=AD=3，∴OA==9，则AC=2OA=18；（2）当d=15时，设需x个菱形图案，则有：18+15×（x﹣1）=3918，解得x=261，即需要261个这样的菱形图案．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，此题主要考查学生能否能根据图形找出规律，题目比较好，有一定的难度．19．已知x1，x2是关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0的两个根，是否存在实数m，使x12+x22﹣x1x2=21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】根与系数的关系．【专题】存在型．【分析】先利用判别式的值得到m≤0，再利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2+4，则利用完全平方公式和整体代入的方法由x12+x22﹣x1x2=21得到[﹣2（m﹣2）]2﹣3（m2+4）=21，解此方程得m1=17，m2=﹣1，然后根据m的取值范围确定m的值．【解答】解：存在．∵△=[﹣2（m﹣2）]2﹣4（m2+4）≥0，∴m≤0，根据根与系数的关系得x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2+4，∵x12+x22﹣x1x2=21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=21，即（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴[﹣2（m﹣2）]2﹣3（m2+4）=21，整理得m2﹣16m﹣17=0，解得m1=17，m2=﹣1，而m≤0，∴m=﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．计算出的m的值满足判别式的值大于或等于0．20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点E是BD上任意一点，点O是AC的中点，AF∥EC交EO的延长线于点 F，连接AE，CF．（I）判断四边形AECF是什么四边形，并证明；（2）若点E是BD的中点，四边形AECF又是什么四边形？说明理由．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=BD，CE=BD，得出AE=CE，即可得出结论．【解答】（1）解：四边形AECF是平行四边形；理由如下：∵点O是AC的中点，∴OA=OC，∵AF∥EC，∴∠OCE=∠OAF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）若点E是BD的中点，四边形AECF是菱形；理由如下：∵∠DAB=90°，点E是BD的中点，∴AE=BD，同理：CE=BD，∴AE=CE，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．21．为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答下列问题：（1）表中m= 50 ，n= 0.40 ，此样本中成绩的中位数落在第四组内；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．【分析】（1）根据第一组的频数是16，对应的频率是0.08，即可求得总人数，然后根据频率的公式求得m和n的值；（2）根据（1）即可直接补全直方图；（3）利用总人数乘以对应的频率即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是16÷0.08=200（人），则m=200×0.25=50，n==0.40．中位数落在第四组．故答案是：50，0.40，四；（2）；（3）该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有1000×（0.40+0.12）=520（人）．答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．某工厂计划从今年1月份起，每月生产收入是22万元，但生产过程中会引起环境污染，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，从1月份开始，每月不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月生产收入以相同的百分率逐月增长，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份生产收入为36万元．（1）求出投资治污后，2月、3月份生产收入增长的百分率；（2）如果把利润看做是每月生产收入的总和减去治理污染的投资或环保部门的罚款，试问治理污染多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污后所获利润不少于不治污情况下所获利润）．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为25（1+x），三月份的生产收入为25（1+x）2，根据3月份的生产收入36万元，可列方程求解．（2）设y月后开始见成效，根据利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款且治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润可列不等式求解．【解答】解：（1）设2月、3月份生产收入增长的百分率为x，由题意得：25（1+x）2=36解得，x=0.2=20%，或x=﹣2.2（不合题意舍去）答：2月、3月份生产收入增长的百分率是20%．（2）设y月后开始见成效，由题意得：25+25（1+20%）+36（y﹣2）﹣111≥22y﹣2y解得，y≥8答：治理污染8个月后开始见成效．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是找到治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润这个不等量关系可列不等式求解．23．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，M是AD延长线上一点，且MD=BE，连接CM．（1）求证：∠BCE=∠DCM；（2）若点N在边AD上，且∠NCE=45°，连接NE，求证：NE=BE+DN；（3）在（2）的条件下，若DN=2，MD=3，求正方形ABCD的边长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形的性质得到CD=BC，∠ADC=∠B=90°，根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM；（2）根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠DCM，CE=CM，根据全等三角形的性质得到NE=MN，等量代换即可得到结论；（3）设正方形的边长为x根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵CD=BC，∠ADC=∠B=90°，∴∠MDC=∠B=90°，在△BCE与△CDM中，，∴△BCE≌△CDM，∴∠BCE=∠DCM；（2）∵∠NCE=45°，∴∠BCE+∠DCN=45°，∵△BCE≌△CDM，∴∠BCE=∠DCM，CE=CM，在△CEN与△CMN中，，∴△CEN≌△CMN，∴NE=MN，∵MN=MD+DN=BE+DN，∴NE=BE+DN；（3）设正方形的边长为x，∵NE=BE+DN=MD+DN=3+2=5，AN=AD﹣DN=x﹣2，AE=x﹣3，∵NE2=AN2+AE2，∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得：x=6，或x=﹣1（不合题意，舍去），∴正方形的边长是6．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。