浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：计数原理

浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设m ∈N*，且m ＜25，则(25－m)(26－m)…(30－m)等于( )
A ．625m A -
B ．2530m
m A --
C ．6
30m A -
D ．5
30m A -
【答案】C
2．把10)x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )
A ．135
B ．135-
C ．-
D ．
【答案】D
3．球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余无三点共一个大圆，也无两点与球心共线，那么经过球心与球面上的任意两点可作球的大圆有( ) A ．15个
B ．16个
C ．31个
D ．32个
【答案】B
4．西大附中数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的1、2、3三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( ) A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 【答案】B
5．6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为( ) A ．1或4
B ．2或4
C ．2或3
D ．1或3
【答案】B
6．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋bi ，其中虚数有( )
A ．30个
B ．42个
C ．36个
D ．35个 【答案】C
7．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( ) A ．60 B ．20种 C ．10种 D ．8种 【答案】C
8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令n
S S S T n
n +⋯++=
21，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a
的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列8，1a ，2a ，……，
500a 的“理想数”为( )
A ．2008
B ．2009
C ．2010
D ．2011
【答案】A
9．现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有108种不同方案，那么男、女生人数分别是( )
A ．男生4人，女生3人
B ．男生3人，女生4人
C ．男生2人，女生5人
D ．男生5人，女生2人.
【答案】B
10．某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外参观，若这20名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成法共有( ) A ．8
24
C 12
36
C 种 B ．812
24.36A C 种
C ．1010
2436C C 种
D ．20
60C 种
【答案】A
11．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )
A ．1260
B ．120
C ．240
D ．720
【答案】D
12．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( ) A ．24种 B ．36种
C ．42种
D ．60种
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．n x )1(+的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是________． 【答案】21
14．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，赠送给5位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种. 【答案】10
15．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种(用数字作答)。

【答案】140
16．由数字1，2，3，……9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是 ． 【答案】168
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．求二项式(3
x －
x
2)15
的展开式中：
(1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项． 【答案】展开式的通项为：T r+1=
r
r
r r
x
x C )2
(
)
()1(153
15
-- =6
530152)1(r r
r r x C --
(1)设T r+1项为常数项，则6530r -=0，得r=6，即常数项为T 7=26615C ；
(2)设T r+1项为有理项，则6
530r -=5-65
r 为整数，∴r 为6的倍数，
又∵0≤r ≤15，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项． (3) 5-
6
5
r 为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． 18．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐法有多少种？
(2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？
(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答）
【答案】 (1)46360A = (2)2325120A A = (3)
4245240A C = 19．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类： 第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为61
31
2
=⋅C C 种；
第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为12131
4
=⋅C C 种；
第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为8121
4=⋅C C 种；
第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为122
4
=A 种；
由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。

20．（1）已知(x+1)6
(ax-1)2
的展开式中含x 3
的项的系数是20,求a 的值。

(2）设(5x －x)n
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，求展开式
中二项式系数最大的项。

【答案】（1）0或5（2）依题意得，M ＝4n
＝(2n
)2
，N ＝2n
，于是有(2n
)2
－2n
＝240，(2n
＋15)(2n
－16)＝0,2n
＝16＝24
，n ＝4，得6 21．已知 n x
x )21(
4+
的展开式前三项中的x 的系数成等差数列．
① 求展开式里所有的x 的有理项； ② 求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】(1) n=8, r=0,4,8时，即第一、五、八项为有理项，分别为.2561
,835,
2
4
x x x
(2）二项式系数最大的项为第五项：
.8
35x
22．男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人,从中选5人外出比赛,下列情形各有多少种选派方法(结果用数字作答).
⑴男3名,女2名 ⑵队长至少有1人参加 ⑶至少1名女运动员 ⑷既要有队长,又要有女运动员
【答案】⑴从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C 36C 2
4＝120 (种） ⑵从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有
C 1
2C 48＋C 22C 3
8＝140＋56＝196 (种）
⑶从10名运动员中选5人参加比赛，其中至少有1名女运动员参加的选法有
C 5
10－C 5
6＝2461 (种）
⑷从10名运动员中选5人参加比赛，既要有队长又要有女运动员的选法有
C5 10－C5
8
－C4
5
＝191 (种）。