正比例函数知识点总结
《正比例函数》知识点汇总
《正比例函数》知识点汇总正比例函数是初中函数知识点中的基础。
都说八年级是初中阶段的分水岭，学好了数学成绩自然而然能上去一大截，那么对于函数这个重点知识来说，当然是同学们学习的重点。
学好函数从正比例函数开始，今天xx就来给同学们整理了关于正比例函数的知识点。
八年级数学之正比例函数知识点总结正比例函数定义：一般地，形如=x（是常数，≠0）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数=x+b中，若b=0，即所谓“轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：=x（为比例系数）当>0时（一三象限），越大，图像与轴的距离越近。
函数值随着自变量x的增大而增大。
当<0时（二四象限），越小，图像与轴的距离越近。
自变量x的值增大时，的值则逐渐减小。
正比例函数性质：单调性：当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，随x的增大而增大（单调递增），为增函数；当<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，随x 的增大而减小（单调递减），为减函数。
对称性：对称点：关于原点成中心对称对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线正比例函数的定义经典例题对于正比例函数=2x，当x=1时，函数值=______．分析:对于正比例函数=2x，当x=1时，函数值=2×1=2．故答案为：2．2正比例函数=3x是过点（0，______）与（1，______）的一条直线．分析:∵正比例函数的一般形式为=x，∴当x=0时，=0，∴正比例函数的图象一定经过（0，0）点，当x=1时，=3，则图象过（1，3）点．故答案为：0，3．3正比例函数=2x的图象所过的象限是A第一、三象限B第二、四象限第一、二象限D第三、四象限分析：选A∵正比例函数=2x中,=2>0,∴此函数的图象经过第一、三象限4请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式分析：设此正比例函数的解析式为=x,∵此正比例函数的图象经过第一、三象限,∴>0,∴符合条的正比例函数解析式可以为:=x答案:=x已知正比例函数=x,点在函数图象上,则随x的增大而________分析：∵点在正比例函数=x的图象上,∴2=-3,解得:=-（3/2）,∴正比例函数解析式是:=-（3/2）x, ∵=-（3/2）<0,∴随x的增大而减小答案:减小练习题．下列函数表达式中，是x的正比例函数的是（）A．=﹣2x^2B．=x/3．=1/D．=x﹣22．若=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣2．2D．﹣04．下列说法正确的是（）A．圆面积公式S=πr^2中，S与r成正比例关系B．三角形面积公式S=（1/2）ah中，当S是常量时，a 与h成反比例关系．=（1/x）+1中，与x成反比例关系D．=（x-1）/2中，与x成正比例关系．下列各选项中的与x的关系为正比例函数的是（）A．正方形周长（厘米）和它的边长x（厘米）的关系B．圆的面积（平方厘米）与半径x（厘米）的关系．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数与x间的关系D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为厘米6．若函数=（﹣3）x||﹣2是正比例函数，则值为（）A．3B．﹣3．±3D．不能确定7．已知正比例函数=（﹣2）x++2的的取值正确的是（）A．=2B．≠2．=﹣2D．≠﹣2。
正比例函数知识点
正比例函数知识点
以下是 7 条关于正比例函数知识点：
1. 正比例函数的图像那可是直直的一条线呀！就像旗杆一样笔直！比如说呀，y=2x，当你取一些x 的值去算y，然后把这些点在坐标图上标出来，你就会神奇地发现它们能连成一条直线呢！
2. 正比例函数中，那 k 值可太重要啦！它决定着这条线是上升还是下
降哦！比如 y=-3x，这个-3 就让线往下走呢，厉害吧！
3. 你知道吗，正比例函数有着固定的比例关系，就好像你和你的好朋友分享糖果，总是固定的比例。
像 y=，x 每增加 1，y 就增加呀！
4. 正比例函数总是那么有规律，这多让人安心呀！就像每天定时起床一样。
比如 y=，你可以准确地预测下一个点在哪里。
5. 正比例函数的增减性也很有趣呀，k 大于0 就上升，小于0 就下降，这不是很神奇吗？想想看 y=4x 和 y=-4x，截然不同呢！
6. 正比例函数和实际生活也联系紧密呢！好比汽车行驶，速度固定，路程和时间就是正比例关系呀。
假如一辆车速度是 60 千米每小时，那路程不
就和时间成正比嘛！
7. 正比例函数真的很简单又很实用呢！它就像一把钥匙，能打开很多数学问题的大门。
大家一定要好好掌握它呀，绝对不会后悔的！
我的观点结论：正比例函数是数学中非常基础和重要的知识点，理解并掌握它对于后续数学的学习有着很大的帮助，大家一定要认真对待呀！。
正比例函数知识点整理
正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。
1. 定义形式。
- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。
2. 对定义的理解。
- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。
比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。
- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。
二、正比例函数的图象与性质。
1. 图象。
- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。
2. 性质。
- 增减性。
- 当k>0时，y随x的增大而增大。
例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。
- 当k < 0时，y随x的增大而减小。
例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。
- 倾斜程度。
- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。
例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。
三、正比例函数解析式的确定。
1. 方法。
- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。
它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。
下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。
一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。
其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。
正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。
二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。
当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。
2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。
因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。
3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。
4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。
这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。
三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。
当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。
当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。
四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。
速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。
2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。
成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。
3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。
周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。
4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。
温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。
初二上册数学知识点总结
初二上册数学知识点总结初二上册数学知识点总结【篇1】一次函数(1)正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数;(2)正比例函数图像特征：一些过原点的直线;(3)图像性质：①当k>0时，函数y=kx的图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;②当k<0时，函数y=kx的图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小;(4)求正比例函数的解析式：已知一个非原点即可;(5)画正比例函数图像：经过原点和点(1,k);(或另外一个非原点)(6)一次函数：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k?0)的函数，叫做一次函数;(7)正比例函数是一种特殊的一次函数;(因为当b=0时，y=kx+b即为y=kx)(8)一次函数图像特征：一些直线;(9)性质：①y=kx与y=kx+b的倾斜程度一样，y=kx+b可看成由y=kx平移|b|个单位长度而得;(当b>0，向上平移;当b<0，向下平移)②当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升，即y随着x的增大而增大;③当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降，即y随着x的增大而减小;④当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴有交点为(0，b);⑤当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴有交点为(0，b);(10)求一次函数的解析式：即要求k与b的值;(11)画一次函数的图像：已知两点;用函数观点看方程(组)与不等式(1)解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值;从图像上看，这相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标的值;(2)解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围;(3)每个二元一次方程都对应一个一元一次函数，于是也对应一条直线;(4)一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。
函数的正比例知识点总结
函数的正比例知识点总结1. 定义和特点正比例函数是描述两个变量之间成正比关系的函数。
在正比例函数y=kx中，k被称为比例系数，表示y和x之间的比例关系。
当x增加时，y也随之增加；x减少时，y也随之减少。
因此，正比例函数的图象通常是一条通过原点的直线。
正比例函数的特点如下：- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)，因为当x=0时，y=0，即k*0=0。
- 一般形式：正比例函数的一般形式为y=kx，其中k为常数。
- 方向一致：当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。
2. 图像和性质正比例函数的图像通常是一条通过原点的直线。
例如，y=2x和y=0.5x分别表示比例系数为2和0.5的正比例函数，它们的图像分别是一条斜率为2和斜率为0.5的直线。
正比例函数具有以下性质：- 斜率固定：正比例函数的图像的斜率即为比例系数k，表示y和x之间的比例关系。
- 通过原点：正比例函数的图像都通过原点(0,0)。
- 正相关性：x和y之间是正相关的，即当x增加时，y也增加；x减少时，y也减少。
3. 实际应用正比例函数在日常生活和科学领域中有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
以下是一些实际应用的例子：- 距离和时间：当一个物体以匀速直线运动时，它的位移和时间成正比。
位移和时间之间的关系可以用正比例函数来描述，即位移=速度*时间。
- 价格和数量：在经济学中，价格和数量之间通常有着正比例的关系。
当商品的价格上涨时，消费者购买的数量通常会减少；反之亦然。
- 温度和压强：在物理学中，温度和气体的压强之间也通常成正比。
当温度上升时，气体的压强也会相应上升。
4. 解题方法解决正比例函数问题的关键是确定比例系数k。
一旦得到比例系数k，就可以轻松地求出任意x对应的y值，或者求出任意y对应的x值。
另外，当已知正比例函数经过一点时，可以使用此点的坐标和函数的一般形式来求出比例系数k。
5. 难点及解决方法在学习正比例函数时，学生可能会遇到以下难点：- 理解比例系数k的意义：学生可能对比例系数k的含义不够理解，认为它只是一个数字，缺少具体含义。
第12讲正比例函数(知识解读题型精讲随堂检测)(原卷版)
第12讲正比例函数知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——设出函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——把已知条件代入y＝kx中；(3)求——解方程求未知数k； (4)写——写出正比例函数的表达式【题型一：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．B．C．y＝x2D．y＝2x﹣1（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）【变式11】A．y＝3x2B．C．D．y2＝3x【变式12】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1B．C．D．y＝2x2+1【变式13】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0【变式21】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2C．k＝1，b＝﹣2D．k≠﹣1，b＝2【变式22】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0B．﹣1C．1D．任意实数【变式23】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2x m﹣2+n+1是正比例函数，则m+n （）A．3B．2C．1D．﹣1【题型二：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【变式31】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限【变式32】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x 的图象经过（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【题型三：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数B．图象经过（1，2）C．图象经过一、三象限D．当x＞0，y＜0【变式41】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1）B．是一次函数，但不是正比例函数C．该函数的图象经过第一、三象限D．随着x的增大，y反而减小【变式42】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y 随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1）B．（2，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，﹣2）【变式43】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A．B．C．3D．﹣3【题型四：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【变式51】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【变式52】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【题型五：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y ＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【变式61】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【变式62】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【变式63】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【题型六：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2021春•灵山县期末）（1）小青学习了函数后，对画函数的图象很感兴趣，她作函数y＝|x|的图象过程如下（请补充完整空格的部分）：当x≥0时，得y＝x，当x＜0时，得y＝﹣x，她在坐标系中画出了如图1的图象，所以函数y＝|x|的图象由两条构成；同理，她用类似的方法和过程作出函数y＝|x﹣1|的图象；（2）请你在图2的坐标系中作出y＝|x﹣1|的图象；（3）学习经验拓展：根据上述的过程获得的经验，请你画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．【变式7】（2022秋•大兴区校级期末）探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．（1）下表见y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…3m10123…直接写出m的值是．（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：．1．（2023春•东城区校级期中）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝C．y＝x2D．y＝2x﹣1 2．（2023春•信都区期末）正比例函数y＝x的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2023•凤凰县模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（）A．B．C．D．4．（2023春•灵宝市期末）已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．以上都有可能5．（2023春•南宁期末）一次函数y＝2x的图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限6．（2023春•廊坊期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）A．当x＝3时，y＝1B．它的图象是一条过原点的直线C．y随x的增大而减小D．它的图象经过第二、四象限7．（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是（）A．k＞3B．k＜3C．k＜﹣3D．k＜0 8．（2022•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2）B．（，﹣1）C．（，﹣1）D．（﹣，1）9．（2021•芦淞区模拟）已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞1C．m＜2D．m＞0 10．（2019•武功县一模）对于正比例函数y＝﹣2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．B．C．2D．﹣2 11．（2023春•寻乌县期末）若函数y＝3x m﹣2是正比例函数，则m的值是．12．（2022春•青山区期末）已知函数y＝2x+m﹣1是正比例函数，则m＝．13．（2023•范县一模）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式．14．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为．15．（2022秋•宁波期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．16．（2023春•陵城区校级月考）已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x ＝2时，y＝3．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）若点P（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值；（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围．17．（2023春•西城区校级期中）函数问题：（1）作出y与x的函数y＝2|x|的图象；①自变量x的取值范围是；②列表并画出函数图象：x…﹣2﹣1012…y…4…③当自变量x的值从1增加到2时，则函数y的值增加了．（2）在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：下列各式中，y是x的函数的是．①x+y＝1；②|x+y|＝1；③xy＝1；④x2+y2＝1．。
正比例函数的图象和性质(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.7正比例函数的图象和性质（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数的图象1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象,2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用线依次连接起来,特别解读(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点,使图象更准确；在画图象时,应考虑自变量的取值范围.【知识点2】正比例函数图象1.一般地,正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点(0,0)的直线,我们称它为直线y=kx(k≠0)特别解读:有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制,并不一定是一条直线,可能是一条射线、一条线段或一些点.2.图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般地，过原点和点(1,k)的直线，即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象.特别解读:正比例函数y=kx(k≠0)中，k 越大，直线与x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k 越小，直线与x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓。
【知识点3】正比例函数的性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.【知识点4】待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【考点一】正比例函数的图象【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，求：（1）求正比例函数关系式；（2）画出正比例函数y kx =的图象；（3）当自变量x 满足34x -≤≤时，直接写出对应函数值y 的取值范围．【答案】（1）2y x =-；（2）画图见分析；（3）86y -≤≤【分析】（1）把()()2,40A a a a -≠代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求解当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；从而可得答案．（1）解：∵正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，∴24ak a =-，∴2k =-，∴正比例函数为2y x =-；（2）列表：x 012y x=-02-描点连线：（3）当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；当自变量x 满足34x -≤≤时，对应函数值y 的取值范围为86y -≤≤．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）若点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭在同一个正比例函数图象上，则11()()a ab b a b ---的值是（）A ．13B ．－3C ．3D ．34-【答案】A【分析】设正比例函数解析式为y kx =将A ，B 两点代入可计算ab 的值，再将原式化简后代入即可求解．解：设正比例函数解析式为y kx =，将点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得2a k =-，32bk =，2ak ∴=-，3222a ab b ⎛⎫∴=⋅-=- ⎪⎝⎭，3ab ∴=-，11111()()()33a ab b a b a a b a b a b b ∴-=-=-=-----，故选：A ．【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解ab 的值是解题的关键．【变式2】（2021春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在()0y kx x =>图象上有一点A ，若A 点的坐标为(，O 为原点．则OA 的长为．【答案】2【分析】根据坐标系中两点间的距离公式求解即可．解：2OA =；故答案为：2．【点拨】本题考查了正比例函数图象和坐标系中两点间的距离，熟记公式是关键．【考点二】正比例函数的性质【例2】（2022秋·陕西榆林·八年级校考期中）已知4y +与21x -成正比例，且=1x -时，2y =．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点()21m m -+，，求m 的值．【答案】（1）42y x =--；（2）1m =【分析】（1）由4y +与21x -成正比例，设()421y k x +=-，把=1x -，2y =代入解析式求解k 即可得到答案；（2）把点的坐标代入函数解析式即可得到答案．（1）解：∵4y +与21x -成正比例，∴设()421y k x +=-，∵=1x -时，2y =，∴()2421k +=--，解得：2k =-，∴()4221y x +=--，即：42y x =--，y ∴与x 之间的函数关系式为42y x =--；（2）解：∵它的图象经过点()21m m -+，，∴()1422m m +=---，解得：1m =．【点拨】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）关于正比例函数14y x =-，下列结论不正确的是（）A ．图象经过原点B ．y 随x 的增大而减小C ．点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数14y x =-的图象上D ．图象经过二、四象限【答案】C【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．解：A 、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、因为104-<，所以y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C 、当2x =时，1112422y =-⨯=-≠，则点12,2⎛⎫⎪⎝⎭不在函数14y x =-的图象上，故本选项错误，符合题意；D 、因为104-<，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．【变式2】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）规定：[]，k b 是一次函数y kx b =+（a ，b 为实数，且0k ≠）的“特征数”．若“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则点(321)，+-m m 所在的象限是第象限．【答案】二【分析】根据题意得出240m -=，10+<m ，求出2m =-，求出(321)，+-m m 为()1,3-，即可得出答案．解：∵“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，∴240m -=，解得：2m =±，∵y 随x 的增大而减小，∴10+<m ，解得：1m <-，∴2m =-，∴()323221m +=+⨯-=-，()112123m -=--=+=，∵()1,3-在第二象限，∴(321)，+-m m 在第二象限．故答案为：二．【点拨】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(),++；第二象限(),-+；第三象限(),--；第四象限(),+-．【例3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，长方形OABC 边42BC AB ==，．（1）直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，求k 的取值范围：（2）直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，试写出S 关于k 的解析式；（3）直线(0)y kx k =≠，是否可能将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3？若能，求出k 的值；若不能，说明理由．【答案】（1）102k <≤；（2）18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3），58k =或25k =【分析】（1）待定系数法求得直线OB 的解析式，即可求解；（2）分类讨论①当直线(0)y kx k =≠，与AB 相交，根据长方形面积减去AOP S 即可求解，②当直线(0)y kx k =≠与BC 相交，直接根据三角形面积公式求解；（3）根据（2）的结论，结合题意，列出方程，解方程即可求解．（1）解：∵长方形OABC 边42BC AB ==，．∴()4,2B ，将()4,2B 代入1y k x =，得112k =，∴直线OB 的解析式为12y x =，∵直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，∴102k <≤；（2）解：∵直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，令4x =，∴4y k =，即()4,4P k ，∴12444882S k k =⨯-⨯⨯=-，∴18802S k k ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，由(0)y kx k =≠，令2y =，则2x k=，即直线(0)y kx k =≠与BC 的交点为2,2k ⎛⎫⎪⎝⎭，当12k >时，1222S OC k k=⨯=，∴212S k k ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，综上所述，18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）由（2）可得18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3，当(0)y kx k =≠与线段BC 有交点时285S =，即2285k =，解得58k =，当(0)y kx k =≠与线段AB 有交点时385S =，即88385k -=，解得25k =，综上所述，58k =或25k =．【点拨】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南新乡·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A B ，均在坐标轴上，已知点()0,1A ，()2,0B ，AB BC =，90ABC ∠=︒，连接OC ，则OC 所在直线的表达式是（）A ．23y x =B ．32y x =C ．23y x=-D ．32y x=-【答案】A【分析】如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，证明AOB BDC △≌△得到12BD OA CD OB ====，，进而求出()32C ，，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可．解：如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，∴90CDB BOA ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90OBA OAB OBA DBC +=︒=+∠∠∠∠，∴OAB DBC ∠=∠，又∵AB BC =，∴()AAS AOB BDC ≌△△，∴BD OA CD OB ==，，∵()0,1A ，()2,0B ，∴12BD OA CD OB ====，，∴3OD =，设直线OC 所在直线的表达式为y kx =，∴23k =，即23k =，∴直线OC 所在直线的表达式为23y x =，故选A ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有()0,5A ，()2,3B 两点，将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，点B 的对应点F 在直线12y x =上，则点D 的坐标为．【答案】()4,5【分析】先根据平移的性质求出点F 的纵坐标为3，代入12y x =可得点F 的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得．解： 将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，且()2,3B ，∴点F 的纵坐标为3，当3y =时，132x =，解得6x =，∴将OAB 沿x 轴向右平移624-=个单位长度后得到EDF ，平移后，点D 与点A 是对应点，且()0,5A，()04,5D ∴+，即()4,5D ，故答案为：()4,5．【点拨】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正比例函数知识点总结
—正比例函数公式
正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kxk为常数，且k≠0的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数的性质
定义域：R实数集
值域：R实数集
奇偶性：奇函数
单调性：
当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大单调递增，为增函数;
当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小单调递减，为减
函数。
周期性：不是周期函数。
对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。
图像：
正比例函数的.图像是经过坐标原点0，0和定点1，k两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。
正比例函数的图像是一条过原点的直线。
正比例函数y=kxk≠0，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线
越“平”。
正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kxk≠0，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将
两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
正比例函数图像的作法
1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;
2、根据第一步求的x、y的值描出点;
3、作出第二步描出的点和原点的直线因为两点确定一直线。
温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。