初中数学《平方根》知识全解
数学必备技巧解决初中平方根题的常用方法
数学必备技巧解决初中平方根题的常用方法在初中数学学习中，平方根题是一个很重要的考点，它不仅考察了学生对数学知识的掌握，还需要学生掌握一些解题技巧。
本文将介绍一些常用的方法，帮助学生解决初中平方根题。
一、直接开方法直接开方法是最基本、最直接的解题方法。
该方法适用于计算完全平方数的平方根。
例如，求解16的平方根。
由于16是一个完全平方数，可以直接求解。
我们知道4的平方等于16，因此16的平方根等于4。
二、分解质因数法分解质因数法是一种将一个数分解成若干质数的乘积的方法，适用于求非完全平方数的平方根。
例如，求解28的平方根。
首先，我们可以将28分解为2×2×7。
然后，我们将2和7分别开方得到2和√7，因此28的平方根可以表示为2√7。
三、与平方数比较法与平方数比较法是一种通过将一个数与一个平方数比较来确定该数的范围的方法。
例如，求解35的平方根。
首先，我们可以找到离35最近的两个完全平方数，即25和36。
由于35介于25和36之间，我们可以推测35的平方根介于5和6之间。
接下来，我们可以通过试算的方法求得35的平方根的近似值。
四、开平方公式法开平方公式法是一种通过使用平方根的公式来求解平方根的方法。
例如，求解49的平方根。
根据开平方公式，我们有√49 = ±7。
因此49的平方根可以表示为±7。
需要注意的是，在实际解题过程中，我们只取平方根的正值。
五、近似法近似法是一种通过运算逼近平方根的方法。
该方法主要用于求解无理数的平方根。
例如，求解√2的近似值。
我们可以使用近似法来计算。
首先，我们可以猜测√2的值在1和2之间。
然后，我们可以进行迭代计算，逐步逼近√2的值。
通过上述常用方法，我们可以解决初中平方根题。
当然，在实际解题过程中，还需要学生多加练习，熟悉各种题型，以提高解题速度和准确度。
总而言之，数学的学习需要不断地实践和应用。
希望通过本文的介绍，能够帮助到学生们在解决初中平方根题时能够更加游刃有余，提高解题的准确性和效率。
人教版七年级数学下册教学课件《平方根》(第1课时)
求下列各式的值：
（1）
1
；
（2）
9 25
；
（3） 42 ；
（4） 0
．
解：（1） 1 1 ；
（2）
9 25
3 5
；
（3） 42 4 ；
（4） 0 0 ．
探究新知 知识点 2 算术平方根的双重非负性
6.1 平方根
1. 负数有算术平方根吗？ 2. a 是什么数？ 3. a 中的a可以取任何数吗？
探究新知
6.1 平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” .
规定：0的算术平方根是0，即 0 0 .
探究新知
6.1 平方根
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 平方根号
x2 a 互为 x a (x≥0) 逆运算
6.1 平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）49 ； 64
（3）0.0001．
解：（1）因为 102=100 ， 所以100的算术平方根是10 ． 即 100=10 ．
探究新知
6.1 平方根
（2） 49 ； 64
解：（2）因为 （7）2 49 ， 8 64
所以 49 的算术平方根是 7 ．
3
66
x
3
y
4z
7 3
3
7 6
4
35 6
175 6
.
课堂小结
算术平方根的概念
6.1 平方根
算术平 方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课后作业
作业 内容
初中八年级数学教案：平方根的计算方法
初中八年级数学教案：平方根的计算方法一、引言在初中八年级数学教学中，平方根是一个重要且常见的概念。
平方根的计算方法是初中数学基础知识的一部分，对于学生的数学素养和解题能力培养起着关键作用。
本文将介绍平方根的计算方法，以帮助教师更好地进行数学教学。
二、什么是平方根在进行平方根的计算方法之前，首先需要明确什么是平方根。
平方根指的是正整数n的平方等于给定实数x（x≥0）时，n就是x的平方根。
以√x 表示正整数n，则√x 的值就是使n² ≤ x成立的最大整数n。
三、简便算法：估算与逼近1. 估算法：当给定一个较大的实数时，我们可以通过估算来找到它的近似值。
例如，要求√31 的近似值，我们可以找出两个相邻完全平方数(√25 和√36)，并进行近似计算：√31 ≈ (√25 + √36) / 2 = (5 + 6) / 2 = 11/2 ≈ 5.5。
2. 逼近法：逼近法主要适用于需要精确计算平方根的情况。
以求解√2为例，我们可以采用逼近法来计算。
首先，任取一个近似值（如1），然后迭代改进它，直到达到所需精度。
通过不断迭代以下公式：x1 = (x0 + 2/x0) / 2，其中x0是前一个近似值，直至收敛于√2 的近似值。
四、分解与因数分析法在一些情况下，我们可以通过分解和因数分析的方法快速计算平方根。
1. 分解法：对于完全平方数（如16, 25或36），其平方根可以直接得出。
例如√36=6；√16=4等。
当给定的数字可以进行因式分解时，我们可以应用这个简单的方法来计算平方根。
2. 因数分析法：对于非完全平方数，我们可以利用因数分析来逼近其平方根的值。
例如要求√27 的值时，我们知道27＝3×3×3，则√27＝√(3×3×3)，再运用乘积性质可得√27 ＝√(9×3) ＝√9 × √3 ＝3√3 ≈ 5.19。
五、长除法长除法是另一种常用的计算平方根的方法。
初中数学平方根和立方根
x 2y ,求 x y 的值.
∵ 2x y2 3 ，∴（2x-y）2=9，2x-y=±3.
∵ 3 x 2 y3 3 ，∴x-2y=-3.
当2x-y=3，x-2y=-3时，解得x=y=3，∴
x2y x y
无意义.
当2x-y=-3，x-2y=-3时，解得x=-1，y=1，∴ x 2 y = 1 .
x y
2
4.算术平方根：把正数的正的平方根叫做算术平方根.即一个正数x的 平方等于a,即 x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根.
5.立方根: 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，
也叫做a的三次方根．记作３a .
6.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一 个负的立方根，零的立方根是零.
平方根和立方根
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平
方根或二次方根．这就是说，如果x2 a，那么x 叫做a的平方根．
2平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
解：
设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米， 根据题意列方程得x3＝64， 解得x＝4， 所以正方体铁块的棱长是4厘米. 设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得 πr2×3＝64，所以 r2 64.因为r＞0，解得.
9 所以烧杯内部的底面半径是厘米.
10.已知 (2x y)2 3 ,3 (x 2y)3 3 解：
又因为 SABFE 2SCDEF ，设
所以144 212x， ．
，
B
FC
所以
(cm)．
初中数学知识归纳平方根与整数的关系
初中数学知识归纳平方根与整数的关系初中数学知识归纳——平方根与整数的关系在初中数学学习中，我们经常会遇到平方根与整数的关系问题。
平方根作为一个重要的数学概念，与整数之间存在着密切的联系。
本文就对初中数学中与平方根与整数的关系相关的内容进行归纳总结，以便更好地理解和掌握这一领域的知识。
整数与平方根的基本概念首先，我们需要了解整数与平方根的基本概念。
整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。
平方根，顾名思义，就是某个数的平方等于给定数的根。
例如，2的平方根是±√2，记作√2。
在这里要注意，平方根可以有两个解，一个是正数，一个是负数。
平方根的性质与特点接下来，让我们来讨论平方根的性质与特点。
首先，平方根的值可以是一个无理数。
这意味着，对于大部分整数来说，它们的平方根是无法精确表示为一个有限的小数或分数的。
例如，根号2、根号3等就是无理数的例子。
其次，对于非负整数来说，它们的平方根可以是一个正整数。
例如，4的平方根就是2，9的平方根就是3。
这也就是整数平方根的概念。
平方根与整数的关系继续深入探讨，平方根与整数之间究竟有着怎样的关系？对于一个非负整数来说，如果它的平方根是一个整数，我们就称之为完全平方数。
完全平方数具有以下特点：首先，完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
例如，1、4、9、16等都是完全平方数。
其次，每一对连续的奇数之间的完全平方数的差是递增的。
以连续的三个奇数为例，它们的平方根与整数的关系为：(n+1)^2 - n^2 = 2n+1。
最后，在非负整数中，完全平方数和非完全平方数的比例是无限接近于1:√2。
这也是数学中的一个有趣的问题，即完全平方数的稀疏性。
应用举例平方根与整数的关系不仅仅只存在于数学概念中，还可以在我们日常生活和实际问题中找到应用。
以下是几个简单的应用举例。
第一，勾股定理。
勾股定理是初中数学中一个重要的定理，也是平方根与整数关系的一个典型应用。
初中数学平方根、算术平方根、实数(含解析)
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【巩固】求下列各式中x的值．
（1） ；（2）
（3） （4）
【难度】1星
【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．
（1） ；（2） ；
（3） ；或 ，解得 或 ．
（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1， ；
联系：
（5）平方根与立方根相等的数是0．
（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．
模块三实数
1无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．
（1）小于 的所有正整数；（2）绝对值小于 的所有整数．
【难度】2星
【解析】略
【答案】（1）1，2，3，4；（2） ， ， ， ， ．
【例24】一个底为正方形的水池的容积是3150m3，池深14m，求这个水底的底边长．
读作“三次根号 ”， 读作“二次根号 ”， 读作“根号 ”．
任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 ．
立方根的计算：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
能运用圆的性质解决有关问题
实数
了解实数的概念
会进行简单的实数运算
重难点：
1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；
2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件
人教版初中数学《平方根》优质课件1
（2）全等三角形
②当 a＝6，b＝－4 时，a＋b＝2，则± 2、勾股定理的逆定理
④等腰三角形的性质与判定，面积，周长等
a＋b＝±
2；
③当 a＝－6，b＝4 时，a＋b＝－2，没有平方根；
④当 a＝－6，b＝－4 时，a＋b＝－10，没有平方根．
综上所述，a＋b 的平方根为± 10或± 2.
①常见几何体的三视图 正无理数
解： 256＝16； 角的表示方法有以下四种：
③相似形与三角形，平行四边形的综合性题目是难点。 依题意，得： ， 4、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
(2) 1.69； 2、点、线、面、体
1/函数： 本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般． （3）正六边形 .
(2)245； 解：± 245＝±25； (3)1106； 解：± 1106＝±1103； (4)0.001 6. 解：± 0.001 6＝±0.04.
变式 1 求下列各数的平方根： (1)36；
解：± 36＝±6；
(2)196； 解：± 69＝±34； (3)108； 解：± 108＝±104； (4)0.81. 解：± 0.81＝±0.9.
x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单
4、正比例函数和一次函数
①当 a＝6，b＝4 时，a＋b＝10，则± a＋b＝± 10； 2．圆的对称性
6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
第六章 实 数
初中数学人教版 平方根43 人教版
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
当你已经承受不住外界所带来的种种压力时，母亲为你顶起一片天空，抵挡所有风雨；当你心无慰籍时，她开导你、教育你，教导你“退一步海阔天空”的哲理；当你遇到困难与挫折或因情绪不好而对她大发脾气时，她默默承受但仍坚强地开导；当你因学习而疲劳、心烦时，她会送上一杯热茶，不需任何语言，一切感情均化为泪水落于掌心，一切尽在不言中…… 当你遇到危险时，她不顾一切地救助你，即使失去生命也毫无怨言；当你感到伤痛绝望时，她比你更加痛心悲伤，却必须要坚强地劝慰你，让你安心；当你欢心愉悦时，她会陪你一起分享心中的喜悦，但是却绝对不会多霸占一点，让你的心变得空虚无物……
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《平方根》知识全解
课标要求
1．了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质。
2．会求一个非负数的平方根和算术平方根。
3．会用计算器求一个非负数的算术平方根。
知识结构
内容解析
本节先研究算术平方根，再研究平方根。
教科书首先创设一个问题情景，从中抽象出的数学问题为：已知正方形的面积求其边长。
这是一个典型的求算术平方根的问题，它与学生熟悉的已知正方形的边长求其面积是一个互逆的过程。
通过对这类问题的探讨，引出算术平方根的概念，给出其符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数本质上都是完全平方数．接着，教科书设置一个“探究”栏目，让学生尝试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，进而求出这个大正方形的边长。
这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现后，一个很自然的问题是，到底多大。
教科书采用用有理数夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，并进一步指出，，等也是无限不循环小数，这就为后面认识无理数打下基础。
会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法。
用有理
数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子（例3）介绍了用有理数估计无理数的常用方法．至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。
接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论。
在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36…的数，由此抽象概括出平方根的概念和开平方运算。
开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明。
最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨数的平方根的特征，归纳出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”．
重点难点
本节重点是平方根和算术平方根的概念．平方根是开方运算基础，是引入无理数的准备知识．平方根概念的正确理解有助于符号表示的理解，是正确求平方根运算的前提，而且直接影响到二次根式的学习.算术根的教学不但是本章教学的重点，也是今后数学学习的重点．在后面学习的根式运算中，归根结底是算术根的运算，非算术根也要转化为算术根．本节难点是平方根与算术平方根的区别于联系．首先这两个概念容易混淆，而且各自的符号表示意义学生不是很容易区分，教学中要抓住算术平方根式平方根中正的那个，讲清各自符号的意义，区分两种表示的不同.对于平方根运算不仅数有限制，而且结果有两个，这是与以前学过的数的运算很大的区别，要让学生真正理解有一定的困难.
教法导引
1．由特殊到一般归纳总结，平方根是平方的逆运算，得出平方根的概念后，让学生观察具体数的平方关系，分析特点归纳总结出平方根的一般规律，有利于学生理解知识的来源，了解数学的归纳思想．
2．开方与平方互为逆运算，与其他运算相比较对数有些条件限制，是学生从整体认识开方运算．平方根和算术平方根的区别与联系，由于是本节的难点，在讲清平方根的基础上，对比讲解算术平方根，列出两者概念、性质、运算、符号等间的区别，各知识点间的类比学生易于记忆．
3．本节主要内容是平方根和算术平方根，注意数字要简单，关键让学生理解概念．另外在文字叙述时注意语言的严谨规范．
学法建议
学生是学习的主人，我们应该把过程还给学生，让过程与结果并重。
新课程也强调学生
的学习应在教师的指导下，主动地、富有个性地学习.据此学生的学法我定为小组交流合作法和自主学习法.这样，既能形成组内合作，组间竞争的学习氛围，又能为学生搭建一个展示个人魅力的平台. 如让学生动手去完由两面积为1的小正方形去拼一面积为2的大正方形，并求出大正方形的边长。
由所学知识大正方形的边长应为。
自然地过渡到探究的大小，让同学们先估计的大小。
通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益，增加了学生的合作探究精神，有意识地培养学生的说理能力，逻辑推理能力，增强了语言表达能力，培养学生的一题多思，团结合作的创新精神。
（在此探究过程中要用到渐近法）进而得出是无理数。