平面向量的平移运算
初中数学知识归纳平面向量的运算和应用
初中数学知识归纳平面向量的运算和应用在初中数学中，学习平面向量的运算和应用是非常重要的内容。
本文将对平面向量的定义、向量的加减法运算、数量积和其应用等方面进行归纳和总结。
一、平面向量的定义在平面上，我们可以通过一个有方向和大小的箭头来表示一个平面向量。
平面向量通常用字母加上一个小箭头来表示，比如：→AB。
其中，A和B分别表示向量的起点和终点。
平面向量有大小和方向两个重要的属性。
二、向量的加减法运算1. 向量的加法运算向量的加法运算是将两个向量的对应分量依次相加得到一个新的向量。
设向量→a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量→b的坐标表示为(a₁, a₂)，则向量→c=→a+→b的坐标表示为(a₁+a₁, a₂+a₂)。
2. 向量的减法运算向量的减法运算是将两个向量的对应分量依次相减得到一个新的向量。
设向量→a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量→b的坐标表示为(a₁, a₂)，则向量→c=→a-→b的坐标表示为(a₁-a₁, a₂-a₂)。
三、数量积及其应用1. 数量积的定义数量积又被称为点积，表示为→a·→b，定义为向量→a与向量→b之间夹角的余弦值乘以向量→a的模长和向量→b的模长之积。
即，→a·→b = |→a| * |→b| * cosθ，其中θ为向量→a和→b之间的夹角。
2. 数量积的计算设向量→a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量→b的坐标表示为(a₁,a₂)，则数量积→a·→b的计算公式为：→a·→b = a₁*a₁+ a₂*a₂。
3. 数量积的性质和应用数量积具有以下性质：(1) 向量→a·→b = →b·→a，即数量积满足交换律。
(2) 向量→a·→a = |→a|²，即一个向量与其自身的数量积等于该向量的模长的平方。
(3) 若两个向量→a和→b垂直，则→a·→b = 0，即数量积为零。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用，如计算两个向量的夹角、判断向量的垂直性和平行性等。
平面向量的坐标和坐标变换公式
平面向量的坐标和坐标变换公式平面向量是二维空间中的量，它可以表示为一个有方向和大小的箭头。
在数学中，我们通常使用坐标来描述向量的位置和方向。
本文将介绍平面向量的坐标表示以及坐标变换公式。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用两个实数表示一个平面向量。
设向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
例如，向量A在坐标系中的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，则向量A的坐标表示为(Ax, Ay) = (x, y)。
二、平面向量的坐标变换公式当平面向量发生坐标变换时，它的起点和终点位置可能发生改变。
为了描述这种改变，需要引入坐标变换公式。
1. 平移变换平移是指将平面向量的起点和终点同时平移相同的距离。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，平移向量坐标为(Tx, Ty)。
则坐标变换公式为：(Bx, By) = (Ax + Tx, Ay + Ty)2. 旋转变换旋转是指将平面向量绕原点旋转一定的角度。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，旋转角度为θ。
则坐标变换公式为：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ3. 缩放变换缩放是指将平面向量的大小进行伸缩。
设平面向量A在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，缩放因子为k。
则坐标变换公式为：Bx = k * AxBy = k * Ay4. 倾斜变换倾斜是指将平面向量在x轴或y轴方向上进行伸缩。
设平面向量A 在坐标系A中的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B中的坐标表示为(Bx, By)，倾斜角度为α。
则坐标变换公式为：Bx = Ax + Ay * tanαBy = Ay + Ax * tanα总结：本文介绍了平面向量的坐标表示以及坐标变换公式，并按照题目要求采用相应的格式进行了阐述。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。
平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。
二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。
设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。
其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。
其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。
五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。
设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。
六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。
在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。
一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。
例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。
平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。
向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。
向量的长度是一个非负数。
二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。
2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。
3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。
例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。
4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。
4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。
数量积的结果是一个标量。
对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。
4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。
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平面向量的数量积、平移·典型例题精析公式，可求a与b的夹角α．于是例2已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），求a·b及a与b的夹角θ．【分析】与例1不同的是，题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出a，b的坐标，再用向量的数量积定义求解．【解】由a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），二式相加，解得a=（－3，4）；二式相减，解得b=（5，－12）．于是a·b=（－3）×5＋4×（－12）=－63．求a，b的夹角θ也可用坐标表示式计算．【说明】如果知道两个向量的坐标，可直接求其夹角，不必利用定义去求模及数量积．例3 已知两个向量a=（3，4），b=（2，－1），当a+xb与a－b垂直时，求x 的值．【分析】利用已知向量a与b表示a+xb，a－b，根据向量垂直的充要条件，得到关于x的关系式．【解法一】∵（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0．a·b=3×2＋4×（－1）=2，∴25+（x－1）×2－5x=0．【解法二】∵a=（3，4），b=（2，－1），∴a+xb=（3，4）+x（2，－1）=（2x+3，4－x），a－b=（3，4）－（2，－1）=（1，5）．由于（a+xb）⊥（a－b），∴（a+xb）·（a－b）=0，从而（2x+3）×1＋（4－x）×5=0，2x+3+20－5x=0，【说明】使用数量积的知识解决问题时，应注意有使用向量式或坐标两种形式的思路．例4 平面内三点A，B，C在一条直线上，=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），且⊥，求实数m，n的值．【分析】因为A，B，C三点共线，可由向量共线的充要条件得到关于m，n的一个关系式；又因为向量⊥，再由向量垂直的充要条件，得到关于m，n的第二个关系式．对这两个关系式联立求解即可．【解】∵A，B，C三点在一条直线上，∴向量与共线．于是，存在实数λ，使=λ．又=（－2，m），=（n，1），=（5，－1），∴=－=（7，－1－m），=－=（n+2，1－m）．∴（7，－1－m）=λ（n+2，1－m）．故有二式相除，消去λ，得∴mn－5m+n+9=0．①又⊥，∴·=0，即（－2）×n+m×1=0，m－2n=0．②由②得m=2n，代入①，得相应的 m=6，m=3．【说明】上面解法中，式①可由向量共线的坐标表达式求得，因为=（7，－1－m），＝（n＋2，1－m），与共线，所以7×（1－m）－（n ＋2）（－1－m）=0，同样可以得到mn－5m+n+9=0．例5 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．【分析】因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据·的最小值，求得，而cos∠AXB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决．【解】（1）设=（x，y）．∵点X在直线OP上，∴向量与共线．又=（2，1），∴x×1－y×2=0，即 x=2y．∴=（2y，y）．又=－，OA=（1，7），∴=（1－2y，7－y）．同样=－=（5－2y，1－y）．于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）有最小值－8．此时=（4，2）．（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1），·=（－3）×1＋5×（－1）=－8．【说明】由于X是OP上的动点，则向量，均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积·也处在不确定的状态，这个数量积由与的模||与||及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数．另外，求出与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值．例6 如图5－3－2，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，自A 向对角线BD引垂线，并延长交BC于E，求BE∶EC．【分析】由于BC=2AB，∠ABC=60°，可以、为基底表示图中的向量，其中⊥是最可利用的条件．又=－，，于是可建立m与n的关系式．【解】设=a，=c，BE∶EC=m∶n，则又=+=c+a，且⊥，∴·=0，∴4m－n－（m+n）=0．∴3m=2n．∴m∶n=2∶3．故BE∶EC=2∶3．例7如图5－3－3，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD 与BE，且AD与BE交于H，连结CH，用向量法证明CH⊥AB．【证法一】∵AD⊥BC，H在AD上，∴⊥．而=－，∴（－）·=0．∴·－·=0．①又⊥，∴·=0，即（－）·=0，·－·=0．②注意到①，②式中·=·，故①－②，得·（－）=0，即·（＋）=0，·=0．∴⊥，即CH⊥AB．【证法二】如图5－3－4，在平面内任取一点O．∵=－，⊥，∴·=0，即（－）·（－）=0．∴·（－）=·（－）．①同理，由⊥，可得·（－）=·（－）．②①+②，得·（－）=·－·，即·（－）=·（－），（－）·（－）=0，·=0，∴⊥，故CH⊥AB．【说明】用向量法证明CH⊥AB，只要证得·=0即可．因此证明中，都将已知条件中的·=0，·=0，运用减法的意义，将，分解成含的形式，再构造出·的形式，寻求结论．证法二中，在平面内任取一点O，使图中所用向量均用以O为起点的向量表示，将已知向量的关系相对集中，这种方法应注意学习和使用．例8 设平面内有两个向量a=（cosα，sinα）， b＝（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π．（1）证明（a＋b）⊥（a－b）；（2）若两个向量ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值（k≠0，k∈R）．【分析】题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到（a＋b）·（a－b）=0，即可证得（1），再利用|ka+b|与|a－kb|相等，确定β－α的值．【解】（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），∴a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ），a－b=（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．∴（a＋b）·（a－b）=（cosα＋cosβ）（cosα－cosβ）＋（sinα＋sinβ）（sinα－sinβ）=1－1=0．∴（a＋b）⊥（a－b）．证得结论．于是（*）式化为 4kcos（α－β）=0．由于k∈R，k≠0，∴cos（α－β）=0，即cos（β－α）=0．而0＜α＜β＜π，【说明】由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中a ＋b与a－b垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知|ka+b|=|a－kb|时，a与b的夹角为|α－β|=90°．因为a·b=cos（α－β），a·b=|a|·|b|cosθ．故cos（α－β）=cosθ，又0＜α＜β＜π，有θ=|α－β|（θ为a与b的夹角）．这时a⊥b．此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形．例9 现有7个向量，其中任何3个向量之和的长度都与其余4个向量的和的长度相等，求证这7个向量的和向量是零向量．两边平方，得即 |α|=0．∴α=0．例10（1）将点A（2，4）按向量a=（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是_______．【解】（1）设A′点的坐标为（x′，y′），由平移公式得∴A′（－3，2）．（2）设平移向量a=（h，k）．。
平面向量的运算教案
平面向量的运算教案一、引言在数学中，向量是一种常见的数学概念，用于表示具有方向和大小的量。
平面向量是指在平面上的向量，可以进行一系列的运算。
本教案将介绍平面向量的运算方法和应用。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用有序数对表示，也可以用箭头来表示。
假设有向量a，它的表示方式可以是(a1, a2)，也可以用箭头表示为→a。
三、平面向量的加法1. 定义平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
例如，有向量a和向量b，它们的和可以表示为向量c，即c = a + b。
2. 平行四边形法则平行四边形法则是平面向量加法的一种图解方法，表示如下：假设有向量a和向量b，以它们的起点为同一个点，a的终点与b的终点连线，得到一个平行四边形。
向量c即为该平行四边形的对角线。
3. 分量法则分量法则是平面向量加法的一种计算方法，表示如下：假设有向量a和向量b，它们的分量分别为a1、a2和b1、b2，那么它们的和的分量为c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
四、平面向量的数量乘法1. 定义平面向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量的操作。
例如，有向量a和实数k，它们的数量乘积可以表示为向量b，即b = ka。
2. 性质平面向量的数量乘法具有以下性质：- k(αa) = α(ka) = (kα)a，其中a为向量，k、α为实数。
- 0a = O，其中O表示零向量。
五、平面向量的减法1. 定义平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
例如，有向量a和向量b，它们的差可以表示为向量c，即c = a - b。
2. 几何意义减去一个向量等于加上这个向量的负向量，即a - b = a + (-b)。
这个操作可以理解为将向量b沿着相反的方向平移，然后与向量a进行加法运算。
六、平面向量的数量积1. 定义平面向量的数量积（内积）是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个实数的操作。
平面几何中的向量方法 (解析版)
《平面几何中的向量方法》教案数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的. 重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用； 难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学过程一、 情景导入1. 平面向量的运算在几何中的运用（1）证明线线平行和点共线问题此类问题常用向量共线基本定理：若()()1122,,,a x y b x y ==,其中0b ≠,则1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=.（2）证明垂直问题 此类问题常用向量数量积的运算性质：112200a b a b x y x y ⊥⇔⋅=⇔+=,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==.（3）求夹角问题 此类问题可利用夹角公式：21cos a ba b x θ⋅==+,其中非零向量()()1122,,,a x y b x y ==. （4）求线段的长度此类问题可以用向量的模的计算公式：若(),a x y =,则22||a a x ==+2．中点坐标公式和三角形重心坐标公式：（1）中点坐标公式：若111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，，且P 为12P P 的中点：则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ； （2）三角形重心坐标公式：若ABC ∆的三个顶点坐标为：111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，，( )P x y ，为ABC ∆的重心，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩；注意：重心分ABC ∆的中线为2:1的性质. 拓展：定比分点的坐标公式设111222( ) ( ) ( )P x y P x y P x y ，，，，，,因为12P P PP λ=，所以：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩注意：根据这个公式可以在111222( ) () ( )P x y P x y P x y ，，，，，三个量中，知道两个求第三个；3．平移和平移公式：点的平移公式：设( )P x y ，是旧点，它按() a h k =，平移后的新点是'(' ')P x y ，，则它们的坐标有如下关系： ''x x hy y k =+⎧⎨=+⎩；注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题.四、典例分析题型一 向量在平面几何证明问题中的应用例1 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .[证明] 证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →＝2e 2. ∴AC →＝AD →＋DC →＝e 1＋e 2，BC →＝AC →－AB →＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.而AC →·BC →＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .证法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)． ∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)．∴BC →·AC →＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0. ∴AC ⊥BC .变式训练1： 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .【答案】见解析．【解析】证明 法一：设AD ―→＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12b ，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→＝(1，－2)．因为AF ―→·DE ―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF ―→⊥DE ―→，即AF ⊥DE .用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．变式训练2： 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB＝12.求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明 设AB →＝m ，AD →＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝FA →＋AO →＝13BA →＋12AC →＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12n ，OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD →＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12n . 所以FO →＝OE →.又O 为FO →和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上.题型二 向量在平面几何计算问题中的应用例2 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n . (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)． [解] (1)证明：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)． ∵D 为AB 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2.∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4，m 4，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m ，设F (x,0)，则AF →＝(x ，－m )． ∵A ，E ，F 三点共线，设AF →＝λAE →， 即(x ，－m )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n4，－34m .则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ，故λ＝43，x ＝n 3，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，0，∴|AF →|＝13n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a |2＝a 2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.变式训练3：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ， 而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12.∴|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6， ∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业1、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .2 在正ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且1,3==BD AB ，则AD AB ⋅的值为 .BCC 1解：如图，过D 作AB D D ⊥'于D '，则2160cos =='BD D B ， ∴25213=-='D A ， 由数量积的几何意义得D A AB AD AB '⋅=⋅215=． 3 在ABC ∆中，90=∠BAC ，6=AB ，D 在斜边BC 上， 且DB CD 2=，则AD AB ⋅的值为 .4 在ABC ∆中，AB AD⊥,BC =1=,则=⋅AD AC .这是一道有相当难度的高考题，但若从向量的几何意义出发展开思考， 不仅思路自然，而且过程简单．B C D。
平面向量的定义和表示方法
平面向量的定义和表示方法平面向量是数学中一种重要的概念，它用于表示空间中的位移、力、速度等量。
本文将介绍平面向量的定义和表示方法，帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，它与平面上的一个点或直角坐标系中的一个有序对相对应。
一般来说，平面向量用一个带箭头的字母表示，如→AB。
其中，A和B分别表示平面上的两个点，箭头表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法1. 坐标表示法平面向量可以用坐标表示法来表示。
在直角坐标系中，平面上的任意一个点可以表示为一个有序对(x, y)，而平面向量可以表示为一个有序对的差值。
假设平面上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则平面向量→AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
2. 分解表示法平面向量还可以用分解表示法来表示。
根据平行四边形法则，平面向量→AB可以表示为两个非零向量的和。
这两个向量可以分别与坐标轴平行，并且它们的和等于→AB。
这种表示方法常用于求解平面向量的合成、分解、模长和方向角等问题。
3. 数量表示法除了坐标表示法和分解表示法，平面向量还可以用数量表示法来表示。
平面向量有一个重要的性质，即平面上的两个向量可以相互移动并保持大小和方向不变。
因此，我们可以将平面向量→AB平移使其起点与原点重合，这样平面向量→AB就可以表示为一个有向线段的长度。
这个长度就是平面向量的模长，用符号|→AB|表示。
三、平面向量的运算平面向量具有加法和数乘两种运算：1. 平面向量的加法设有两个平面向量→A和→B，它们的加法定义为：→A + →B =→C，其中→C的起点与→A的起点相同，终点与→B的终点相同。
加法满足交换律和结合律。
2. 平面向量的数乘设有一个平面向量→A和一个实数k，它们的数乘定义为：k→A =→B，其中→B的起点与→A的起点相同，终点在与→A同一直线上，并且|→B| = |k||→A|。
数乘满足分配律。
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平面向量的平移运算
1. 引言
平面向量是研究平面几何的重要工具之一。
平移运算是对平面
向量的一种基本操作，用于将向量沿着指定的方向平行移动。
本文
将介绍平面向量的平移运算及其相关性质和应用。
2. 平移运算的定义
设有平面向量AB，向量CD表示平移的方向和距离，则平面
向量CD可表示为AB平移后的向量。
3. 平移运算的性质
3.1 平移向量的共线性
平移向量CD与原向量AB共线，并且它们的长度相等。
3.2 平移运算的可逆性
平移运算是可逆的，即对平移后的向量再进行相反方向的平移，可以得到原向量。
3.3 平移运算的加法性质
设有平面向量AB和AC，向量CD表示平移的方向和距离，则有AB + BC = AC。
4. 平移运算的应用
4.1 图形的平移
平移运算常用于图形的平移，可以通过平移向量将图形沿指定方向平行移动。
平移运算可以保持图形的大小、形状和方向不变。
4.2 向量的平行推移
平行向量的平行推移是指将一个向量平行地沿指定方向向量平移，得到一个平行于原向量的向量。
这在研究向量叠加、力的叠加等问题时非常有用。
5. 结论
平移运算是平面向量的基本操作，具有共线性、可逆性和加法性质等重要性质。
平移运算在图形平移和向量平行推移等方面具有广泛的应用。