第1章 部分习题解答

第一章 部分习题解答

（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播） 1.1 序列)(n x 示意如图T1-1，请用各延迟单位脉冲序列的幅度加权和表示。

)(n

图T1-1

解： )3(2)1(3)()3(2)(−+−+−+−=n n n n n x δδδδ

1.3 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期性的，试确定其周期。 （1）873cos(

)(ππ−=n A n x （2）)3

13

sin()(n A n x π=

（3）)6

()(n j e

n x −=π

(4) )18/sin()12/cos()(ππn n n x += 解 (a) 8

73cos(

)(ππ

−=n A n x

314

7

22,7

31

1==

=

πωπ

πω为有理数 所以该序列为周期序列，其周期1433

14

=×=

N （b ）)3

13sin(

)(n A n x π=

136

3

1322,3

132

2==

=

ππωπ

π

ω为有理数 所以该序列为周期序列，其周期61313

6

=×=N （c ）)6

()(n j e n x −=π

ππ

ωπ

ω21

22,

13

3==

=为无理数 所以该序列为非周期序列。

1.12有一连续正弦信号)2cos(ϕπ+ft ，其中6

,20π

ϕ=

=Hz f 。

（1） 求其周期0T ；

（2） 在nT t =时刻对其采样，s T 02.0=，写出采样序列)(n x 的表达式； 求)(n x 的周期N 。 解： 6

,20π

ϕ=

=Hz f

（1）其周期ms s s f T 5005.020

110====

（2）s T 02.0=，)6

8.0cos()2cos()(π

πϕπ+=+=n fnT n x

（3）2

52,

8.00

0=

=ωπ

πω 则)(n x 的周期522

5

=×=

N 1.13 今对三个正弦信号t t x πα2cos )(1=，t t x πα6cos )(2−=，t t x πα10cos )(3=进行理想

采样，采样频率为π8=Ωs ，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出)(1t x α、)(2t x α、)(3t x α的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。

解：s s s f ππ2,8=Ω=Ω，则Hz f s 4= s f T s 25.04

1

1===

∑∑+∞−∞

=+∞

−∞

=−=−⋅=n n nT t nT x nT t t x t x

)()()()()(ˆ1

11δδααα

)()2cos(nT t nT n −⋅=

∑+∞

−∞=δπ

∑

+∞

−∞

=−=

n n

t n )4

()2cos(

δπ 或)2cos(

)()(11π

αn nT x n x == 同理可得：∑

+∞

−∞

=−−=n n

t n t x

)4

(23cos

)(ˆ2δπα 或2

3cos

)(2n n x π−=

及∑+∞

−∞

=−=n n

t n t x

)4

(25cos

)(ˆ3δπα 或2

5cos )(3n n x π= 因为221s

Ω<

=Ωπ（折叠频率） 2

10,2

632s

s

Ω>

=ΩΩ>

=Ωππ 所以)(ˆ1t x

α的频谱不会发生混淆，)(ˆ2t x α与)(ˆ3t x α的频谱将出现混淆现象。 1.14 一个理想采样系统，如图T1-2所示，采样频率为,8π=Ωs 采样后经理想低通)

(Ωj G 还原。

⎩

⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ

4,04,4/1)(j G

今有两输入t t x πα2cos )(1=，t t x πα5cos )(2=，问输出信号)(1t y α，)(2t y α有没有失

真？为什么失真？

图T1-2

解：,8π=Ωs 则折叠频率

π42

=Ωs

，而)(Ωj G 的截止频率等于2s Ω

2

22cos )(11s

t

t x Ω<

=Ω=ππα则 故)(t x α经采样后的)(ˆ1t x α经过低通滤波器)(Ωj G 后能不失真地还原信号，即可得)()(11t x t y αα=。

2

5,5cos )(22s

t t x Ω<

=Ω=ππα 则)(ˆ2t x

α经过截止频率为折叠频率的理想低通滤波器后会产生失真即)()(22t x t y αα≠

1.22 若)(n h 与)(n x 都是有限长序列，那么，响应)(n y 也必然是有限长序列。具体说，若

)(n h 和与)(n x 的非零区间分别是10N n N ≤≤与32N n N ≤≤，则)(n y 必然对应着某个非零区间54N n N ≤≤，试用10,N N ，32,N N 表示出54,N N 来。